一個頻譜有限小波變換像空間的再生核函數

鄧彩霞+賀鵬+陳夏夏

摘要：為了描述具有頻譜有限且衰減速度較快的小波函數其小波變換像空間的性質。首先針對由Shannon尺度函數構造的小波函數，借助小波分析理論給出這個小波變換及其像空間的性質。當固定尺度因子時，得到這個小波變換像空間中的再生核函數的兩種形式具體表達式，然后利用再生核空間理論描述這個小波變換像空間，為該小波的數值計算提供理論基礎。

關鍵詞：再生核Hilbert空間；小波函數；小波變換；再生核函數；尺度因子

DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.018

中圖分類號： O174.22

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2017）02-0095-04

Abstract：In order to describe the nature of image space of the wavelet transform and a limited spectrum and decay faster wavelet， this paper uses Shannon scaling function to construct a wavelet function， take advantage of wavelet analysis theory to give the nature of image space of the wavelet transform and the wavelet transform. Fixing the scale factor， we get this wavelet transform as the space of two specific expressions of reproducing kernel function， take advantage of the reproducing kernel space theory to describe the wavelet transform of image space and provide the theoretical basis for numerical calculation of the wavelet.

Keywords：reproducing kernel Hilbert space； wavelet function； wavelet transform； reproducing kernel function； scale factor

0引言

小波分析產生30年來，已活躍在純粹數學、應用數學和信號處理等領域，并取得了豐碩的研究成果[1]。小波分析反映了學科之間的相互滲透和交叉，被學者們認為，小波分析是繼Fourier分析后將數學工具成功應用在工程領域的一個重大突破。眾所周知，小波分析的基礎是連續小波變換[2]。1992年，Daubechies在她的著作中指出，連續小波變換的像空間是再生核Hilbert空間[1]，也就是說，再生核Hilbert空間是連續小波變換的基礎。因此，利用再生核Hilbert空間的性質討論連續小波變換像空間的性質是十分必要的。由于連續小波變換是由小波函數確定的一個線性變換，所以選擇不同的小波母函數，其連續小波變換的像空間也不同。即不同的連續小波變換對應著不同的再生核Hilbert空間，而且再生核Hilbert空間的每個元素可以用它的再生核函數來描述，從而在該連續小波變換的像空間中的每個元素也可以由其再生核函數來描述，這為進一步研究空間性質和數值分析提供理論依據[3]。一些學者對于Cgau小波、DOG小波、Journe小波等經典小波變換的像空間進行了研究，給出了相應小波變換像空間中的再生核函數具體表達式及其空間性質[4-6]。但是對于一般的母小波變換像空間的再生核函數的解析表達式很難獲得，不利于數值分析[7-8]。此文針對廣泛應用于信號檢測、頻譜有限且衰減速度較快的小波母函數，討論該小波變換像空間的性質及再生核函數的具體表達式，與前人的工作相比此文不需要將尺度因子和平移因子延拓到復空間上討論[10-13]。為該小波變換在實際問題中的數值計算和信號處理等方面提供了理論依據[14-17]。

5結語

此文利用Shannon尺度函數構造了一個頻譜有限小波函數，結合小波分析理論和再生核理論得到了其小波變換像空間的再生核函數的不同形式的解析表達式，對頻譜有限小波變換的像空間進行了具體描述。對進一步探討這種小波起到一定的推動作用，也為工程方面提供理論依據。

參 考 文 獻：

[1]DAUBECHIES I. Ten Lectures on Wavelets[M]. Philadelphia： Society for Industrial and Applied Math， 1992.

[2]樊啟斌. 小波分析[M].武昌：武漢大學出版社，2008.

[3]張新建，龍漢. 樣條函數與再生核[M].長沙：國防科技大學出版社， 2008： 3-4.

[4]曲玉玲， 鄧彩霞， 顧麗娟.Journe 小波變換像空間的描述[J]. 高等學校計算數學學報， 2008， 30（2）： 133-140.

[5]李莎莎，鄧彩霞， 付作嫻. Cgau小波變換像空間中的等距變換與反演公式[J].數學年刊， 2011， 32（1）： 121-128.

[6]韓紅，鄧彩霞，鄧中興.DOG小波變換像空間的描述[J].數學研究與評論， 2007，27（4）：954-959.

[7]林碩，龔志恒，韓忠華.基于多個再生核Hilbert空間的多角度人臉識別[J]. 光子學報， 2013，42（12）：1436-1441.

[8]DANIEL Alpay， SABUROU Saitoh， JOSEPH A Ball. Reproducing Kernels and Their Applications[M]. US： Springer， 1999.

[9]LI Shasha ， DENG Caixia， SUN Wei. The Isometric Identities and Inversion Formulas of Complex Continuous Wavelet Transforms [J]. Applied Mathematics and Computation， 2014， 233： 116-126.

[10]王麗芳，呂建平.小波變化和canny算子相結合的圖像邊緣檢測算法[J].計算機與數字工程， 2014， 42（8）： 1480-1483.

[11]毛成林， 萬壽紅， 岳麗華， 等. 一種基于雙樹復小波變換SAR圖像邊緣檢測算法[J]. 中國科學院大學學報， 2014， 31（2）： 238-242.

[12]韓紅， 鄧彩霞， 鄧中興. 改進的Morlet 小波變換像空間的描述[J]. 數學研究與評論， 2007， 27（4）： 955-959.

[13]南東， 劉力軍. 基函數神經網絡和再生核函數關系[J].北京工業大學學報， 2014， 40（9）： 1428-1431.

[14]張旭瑩.Meyer小波變換像空間的再生核函數[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學，2015： 1-40.

[15]陳勇，王憲保.樣條二進小波在人臉識別中的應用研究[J].信息系統工程， 2013：152-155.

[16]楊德運.關于有噪頻譜有限函數的外推[J].應用數學學報， 1995， 18（3）： 373-382.

[17]SUN Yankui， CHEN Yong， FENG Hao. Twodimensional Stationary Dyadic Wavelet Transform， Decimated Dyadic Discrete Wavelet Transform and the Face Recognition Application [J].Word scientific. 2011， 9（3）： 387-416.

（編輯：溫澤宇）