探討數學思想方法在高中數學解題中的應用

陳素文

【摘 要】數學思想是數學知識的本質和靈魂，是解答數學題目的重要指導思想，也是發現和創新數學知識的重要源泉。在高中數學教學實踐中，培養學生解題能力是關鍵之處，也是數學教學的核心目標。高中試題主要考察學生對數學思想及其方法的認識和熟練程度。所以，在高中數學教學中老師應該重視培養學生的數學思想方法和運用知識能力，教學生解題思維，全面提高學生的解題能力。本文結合實際例題，討論了數形結合、函數與方程、轉化與化歸思想等數學思想在高中數學解題中的應用。

【關鍵詞】 數學思想方法 解題技巧 數形結合 函數與方程 轉化與化歸

每門學科在發展的過程中都會形成獨具特色且符合自身發展特點的思想方法，數學也不例外。那么數學思想方法到底是什么呢？數學思想是指人們認知現實世界的空間形式和數量關系，然后通過思維活動而產生的思想結果，數學思想是對數學事實與數學理論的本質認識。數學方法則是指把數學當作工具進行科學研究的方法，事物的狀態以及關系變化的過程可以用數學語言進行表達，再經過一系列的思維活動，推導、運算和分析問題最終形成對事物的解釋。數學思想與數學方法相比較，前者的抽象性和概括水平更高，后者更加具體和豐富，但是數學思想比數學方法更接近數學本質，內容更加深刻。數學思想和數學方法之間的關系相輔相成，數學思想是數學方法的精神實質和理論基礎，而數學方法是數學思想的表現形式和實現手段。兩者都屬于方法論的范疇，也會被人們概括稱為數學思想方法。

數學思想方法是提高學生解題能力的關鍵，由于數學思想方法經過提煉與概括，是對數學知識的本質認識，貫穿整個數學教學的實踐活動之中，掌握數學概念、建立數學理論、運用解題方法、解決具體問題，都是運用數學思想方法的具體表現。數學思想方法屬于思維的范疇，是對數學知識的正確認知，也是數學學科的精髓之處，只有較好地領會數學思想方法，才能靈活地運用它認識、處理和解決數學問題，越來越多的人把數學思想方法當作指導思想，運用數學思想方法求解數學問題。文章通過理論與實例相結合，分析高中時期數學教學中常用并且十分重要的三種數學思想方法，探討這些數學思想方法在高中數學解題中的應用狀況。

一、函數與方程的思想

函數與方程的思想貫穿整個高中數學教學之中，是解題最基本也是最重要的數學概念，在高考中的地位十分重要。數學中很多函數的問題都需要通過構建方程或函數關系來解決，利用方程與函數的性質相互轉化、分析、解決問題。

通過下列例題分析函數與方程的思想：

例1：函數y=f（x），當y=0時，方程就可以轉化為f（x）=0或y-f（x）=0；而方程f（x）=0的解是函數y= f（x）圖象與x軸交點的橫坐標.函數與不等式也可以相互轉化，對函數y=f（x），當 y=0時，就是不等式f（x）=0，而求f（x）=g（x）的解則可比較y=（x）與y=g（x） 函數圖象位置的交點而得到解。

函數與方程的思想兩者之間的關系密切相關，在高中數學各個領域都會運用函數與方程的思想，解題中運用比較廣泛。

二、數形結合的思想

數形結合思想主要強調“數”與“形”，主要用來研究空間形式和數量關系，決定幾何與代數的聯系。通過數形結合方法將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，再用圖形描述這些抽象的語言，然后經過代數論證分析和解決數學問題。

在解題過程中，數和形的關系密不可分。把數和形相結合才能使抽象的數學知識形象化，讓題目更加簡單易懂，通過把抽象的數量關系轉化為具體形象的幾何圖形，在幾何圖形中發現各個復雜數量之間的聯系，經過數與形的轉化，能夠化難為簡、化繁為易。舉一個簡單的例題分析數與形的轉化關系：

例2：利用數形結合的方法解方程：丨x-3丨-丨x+2丨=4

解析：方法一，畫出函數y=丨x-3丨-丨x+2丨的圖象，求出其與y=4的交點的橫坐標值，坐標值就是方程的解

方法二，畫數軸，原方程的幾何意義為3和-2的距離之差為4，得x=-1.5

在解題過程中，我們靈活運用數形結合思想，不僅可以提高學習數學的樂趣，而且可以提高對數學問題的理解力和解題能力，是全面提高數學素質的重要思想方法之一。

3、轉化與化歸的思想

轉化與化歸思想是把需要解決的數學問題通過某種轉化過程，轉化到已經被解決的問題或者相對容易解決的問題的一種重要思想方法。經過不斷轉化，把未知轉化為已知、把復雜轉化為簡單、把抽象轉化為具體。。

掌握轉化與化歸這一思想方法，靈活運用這一數學思想方法分析問題、處理問題是學好數學的重要條件。舉一個例子簡單描述轉化與化歸思想：

例3：已知△ABC的三邊為a，b，c，且a?+b?+c?=ab+ac+bc，試判斷△ABC的形狀。

解：由題意知：a?+b?+c?=ab+ac+bc

所以2a?+2b?+2c?=2ab+2ac+2bc

即：（a-b）?+（b-c）?+（a-c）?=0

所以a=b，b=c；a=c

所以△ABC為等邊三角形

要想正確而快速地解答題目，必須先認真研究分析題目所要考的數學思想方法，通過轉化達到解題目的。轉化時，一般會把實際的數學問題轉化為數學模型；把一個領域的問題轉化為另一個領域的問題，是所要解決的問題更加簡單易解。

結束語：通過上述實例說明了在高中數學解題中數學思想方法的重要性。數學知識無窮無盡，所以它的思想方法肯定不止三種，本文只分析了高中階段常用的三種數學思想方法。實際解題過程中，學生應該認真分析數學問題隱含的數學思想方法，做到具體問題具體分析，靈活運用數學思想方法進行解題，使問題得以簡解或妙解，全面提高數學學習能力。遇到特殊的問題，可以將上述思想方法結合起來，一起運用，或許解題效果更佳。學生在學習過程中應當注意歸納數學思想方法，提煉和概括出常用的數學思想方法，課后認真體會、研究，久而久之，學習數學的能力會得到較大提升。

參考文獻

[1]孫淑萍.談數學解題中常用的幾種解題方法[J].科教文匯（下旬刊）. 2011（11）

[2]楊紅霞.高中數學教學如何培養學生的解題能力[J].青少年日記（教育教學研究）. 2015（07）

[3]普家燕.探究高中數學教學中解題思路的聯想方法[J].青少年日記（教育教學研究）. 2016（08）