從求導到不定積分的解法

孟湘皓

摘 要：積分是求導的逆運算，而求不定積分的過程可以理解為已知一個導函數(shù)，去求它的一個原函數(shù)的過程。然而，當面對一道積分運算題時，我們常常會感到無從下手。本文簡單地介紹了四種不定積分的解法以及一些解題的注意事項。

關(guān)鍵詞：不定積分 解法

一、不定積分

積分是求導的逆運算，而求不定積分的過程可以理解為已知一個導函數(shù)，去求它的原函數(shù)的過程。這里的原函數(shù)只要存在一個，就一定存在著無數(shù)個，這是由于常數(shù)的導數(shù)為0，加減一個常數(shù)對函數(shù)的導數(shù)不造成影響，因此我們稱這樣的積分為不定積分。

雖然積分與求導是逆運算的關(guān)系，但是求導相對來說要容易得多，無論是多復雜的式子，我們都能按照求導的法則來進行計算。然而碰到復雜的積分時，我們卻常常無從下手。就跟很多事物一樣，正過程容易，逆過程就很難。

二、不定積分的解法

雖然不定積分的計算相對來說比較有難度，但是一般來說，有四種方法能夠解決不定積分的計算。

1.直接公式法

不定積分的直接公式法與求導的直接公式法相對應，這種方法解決的是最基本的積分問題。這里我們將給出基本積分表中的一部分，由于加減一個常數(shù)，對于導數(shù)運算來說沒有影響，因此不定積分的計算后都會有一項C，這里的C為常數(shù)。

2.第一類換元法

不定積分中的換元法是根據(jù)求導法則中的復合函數(shù)求導法則衍生而來的。首先我們來看一下復合函數(shù)的求導法則，，運用微分的方式來看就是

而在不定積分中，由于，因而我們可以得到的結(jié)論，我們由此得到了第一類換元法的公式：

總結(jié)而言，第一類換元法就是先找到積分式中比較復雜、不好處理的f（x），令u=f（x），通過觀察對dx進行配湊，使dx·配湊項=du，同時使d前的積分式能寫成易于求積分的f（u）的形式，求出u來再代回x。

3.第二類換元法

第二類換元法與第一類換元法的區(qū)別在于，第一類換元法運用x的函數(shù)u（x）來進行換元變換，而第二類換元法是將x視為t的函數(shù)x（t）來進行換元變換，由此我們得到了第二類換元法的公式：

直觀地從公式來看，我們會認為第二類換元法運用起來比第一類換元法容易，但是從應用上來講，第二類換元法主要應用于含有根式的不定積分。

下面我們將通過實例來對兩類換元法進行講解區(qū)分。

針對于我們能發(fā)現(xiàn)我們不能直接運用公式法將其計算出來，這個題目有多種解法，首先，我們可以通過三角變換，將原式變形，然后再通過換元u=2x便能得到結(jié)果，

其次，我們可以通過觀察發(fā)現(xiàn)，在被積式中，sinx與cosx存在著一定的關(guān)系，即sinx與cosx有原函數(shù)與導函數(shù)之間的關(guān)系，因而我們可以通過換元u=sinx進行變換或者v=cosx進行變換，進而得到結(jié)果，

這三種解法都用到的是第一類換元法，得到的結(jié)果乍一看不相同，但是進行三角變換以及加上一個常數(shù)之后，三個解是一樣的。在這個不定積分中，運用第二類換元法就會使得整個積分式更為復雜，不如使用第一類換元法來得方便。

而在根式不定積分中，我們就會發(fā)現(xiàn)第二類換元法更為實用便捷。例如在不定積分中，我們就很難想象第一類換元法該令u為什么，但是在第二類換元法中，我們就可以令，運用t積分，最后再用代入得到結(jié)果，

不同的題，可以選擇不同的三角代換，若是根號下，自然用x=asint進行求解。而若是根號下，則通過聯(lián)想，設x=atanx。掌握了這種方法，根式中含的題目便可迎刃而解了。

4.分部積分法

分部積分法來源于求導法則中的：

，對此式進行積分就有，故而可以得到分部積分的公式：。換言之，就是。

分部積分法能夠解決很多不能由以上其他三種積分法所解決的問題。

例如在積分式中，我們無法找到第一類換元法中的u（x），也無法找到第二類換元法中的x（t）。但是，我們可以巧妙地運用分部積分法，解決此類積分問題，在分部積分中，我們令，就能夠得到，

分部積分法是建立在公式法和換元法之上的，往往一道復雜一點的積分題是需要先用分部積分法然后再用換元法才能解決。

結(jié)語

不定積分的基本解法共四種，從基本的公式法到復雜的換元法和分部積分法，都與導數(shù)中的求導法則息息相關(guān)。由于積分是求導的逆運算，相對來說，積分比求導要復雜得多，但是，正所謂觸類旁通，只要掌握了本質(zhì)，這些問題都能夠游刃有余地得到解決。

參考文獻

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[2] 郭鵬云等. 不定積分解法研究[J]. 大學數(shù)學， 2012， 28（3）：149-153.