基于Rayleigh-Ritz法旋轉(zhuǎn)薄壁圓盤行波特性分析

任紅軍，張景奇，于曉光，孫偉

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基于Rayleigh-Ritz法旋轉(zhuǎn)薄壁圓盤行波特性分析

任紅軍1, 2，張景奇2，于曉光1，孫偉2

(1.遼寧科技大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧鞍山，114051；2.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連，116024)

采用理論分析、實驗測試與有限元仿真3種方法相互結(jié)合，分析中心固支條件的旋轉(zhuǎn)薄壁圓盤的行波振動特性。基于Kirchhoff薄板基本假設(shè)，利用Lagrange方程，建立中心固支薄壁圓盤的能量方程。采用Rayleigh-Ritz法，利用多項式函數(shù)作為容許函數(shù)，建立旋轉(zhuǎn)圓盤動力學(xué)分析的動力學(xué)方程，獲得薄壁圓盤靜止態(tài)固有特性和和旋轉(zhuǎn)態(tài)行波特性的分析方法，并利用試驗測試、有限元計算結(jié)果對本文所提出的解析方法進(jìn)行驗證。分析薄壁圓盤在靜止態(tài)下的固有特性并對比分析不同旋轉(zhuǎn)速度下旋轉(zhuǎn)薄壁圓盤的行波特性。結(jié)果表明：前行波頻率隨轉(zhuǎn)動速度增加而增加，后行波頻率先減小后增加，當(dāng)后行波頻率減小為0時，前行波與后行波相互靜止，即出現(xiàn)“駐波”現(xiàn)象，此時圓盤振動很容易引起共振破壞。

薄壁圓盤；固有特性；行波振動特性；Rayleigh-Ritz法

隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械裝備向高性能、輕量化方向發(fā)展，大量輪盤類結(jié)構(gòu)件，如燃?xì)廨啓C(jī)的壓氣機(jī)輪盤、薄幅面齒輪等，具有薄壁結(jié)構(gòu)特征，在高速旋轉(zhuǎn)和復(fù)雜環(huán)境下容易產(chǎn)生振動，其后果往往是災(zāi)難性的，特別是由于局部共振所引起的高周疲勞破壞問題。因此，薄壁圓盤類關(guān)鍵結(jié)構(gòu)件的行波振動特性研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。長期以來，科學(xué)工作者針對中心約束的旋轉(zhuǎn)圓盤的振動特性開展了大量的研究并取得了豐富的理論結(jié)果。KOO[1]采用Rayleigh-Ritz法計算了復(fù)合材料旋轉(zhuǎn)圓盤的極限頻率問題。BUCHER[2]運(yùn)用陣列傳感器對旋轉(zhuǎn)圓盤的行波現(xiàn)象和臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)行了測試。CHEN等[3]運(yùn)用振動臺測試了薄盤的軸向振動，通過掃頻實驗獲得了圓盤的固有特性。PEI[4]運(yùn)用解析法與仿真的方法結(jié)合，研究了轉(zhuǎn)動速度對薄壁盤表面阻尼的影響。DODSON等[5]采用級數(shù)方法對中心完全夾緊的旋轉(zhuǎn)圓盤方程進(jìn)行了求解。在上述工作中，大多研究僅限于轉(zhuǎn)速較低的與圓盤結(jié)構(gòu)，對于圓盤的幾何、材料參數(shù)及其行波動力學(xué)特性，如前、后行波頻率等的討論相對較少。KHORASANY等[6]運(yùn)用經(jīng)典解析理論，采用模態(tài)展開法，分析了薄壁圓盤的行波振動現(xiàn)象，并重點討論了橫向剛體運(yùn)動對圓盤臨界轉(zhuǎn)速的影響。CHONAN等[7]運(yùn)用經(jīng)典薄板理論分析了圓盤振動的行波現(xiàn)象，并通過假設(shè)振型函數(shù)法，給出了中心固支旋轉(zhuǎn)圓盤的振型函數(shù)，得到了Campbell圖。由于工程背景的薄壁圓盤構(gòu)件一般具有中心固支約束的邊界條件，利用經(jīng)典的彈性力學(xué)理論可以得到其振動特性，但是薄盤在一些特殊情況下會呈現(xiàn)大變形的非線性振動，這方面也引起了人們的重視[8?14]。本文作者針對旋轉(zhuǎn)輪盤類構(gòu)件動態(tài)特性分析的需求，將其簡化為中心固支邊界薄壁圓盤結(jié)構(gòu)，開展旋轉(zhuǎn)薄壁圓盤動力學(xué)建模以及行波特性分析。首先，基于Kirchhoff薄板基本假設(shè)，利用Lagrange方程，建立中心固支薄壁圓盤的能量方程。然后，利用Galerkin模態(tài)截斷原理和基于Rayleigh-Ritz法的模態(tài)振型函數(shù)，獲得旋轉(zhuǎn)圓盤動態(tài)動力學(xué)方程和固有特性。采用有限元和試驗測試對解析結(jié)果進(jìn)行了驗證。最后，分析了薄壁圓盤在靜止態(tài)下的固有特性和在旋轉(zhuǎn)態(tài)下的行波特性，給出了旋轉(zhuǎn)圓盤共振Campbell曲線，為旋轉(zhuǎn)圓盤構(gòu)件設(shè)計分析提供支撐。

1 薄壁圓盤的動力學(xué)方程

假設(shè)薄壁圓盤為小撓度彎曲變形，基于Kirchhoff薄板理論建立薄壁圓盤的動力學(xué)方程。圖1所示為薄盤的力學(xué)模型。如圖1所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系為，廣義坐標(biāo)系。薄壁圓盤的固定邊界半徑為，自由邊界半徑為，厚度為。在旋轉(zhuǎn)時，薄盤圍繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角速度為。取圓盤的一個微元體為研究對象進(jìn)行力學(xué)分析，,和表示上的點在極坐標(biāo)系下的單位速度矢量，即微元體的速度為。

圖1 薄盤的力學(xué)模型

圓盤的彎曲勢能為

，，(2)

為彈性矩陣，表達(dá)式為

彈性矩陣的各元素分別為

(4)

式(5)中各元素的表達(dá)式為：

(6)

圓盤的動能為

(8)

根據(jù)Galerkin截斷原理，設(shè)圓盤振動控制方程為

式中；為截斷的階數(shù)(在此處代表節(jié)圓數(shù))；為振動位移關(guān)于時間的函數(shù)；為關(guān)于半徑振型函數(shù)；為節(jié)徑數(shù)；為圓盤振動振型諧波特性引入的余弦函數(shù)。

得到旋轉(zhuǎn)圓盤動力學(xué)方程為

(11)

式中：為位移向量；為質(zhì)量矩陣；為圓盤剛度矩陣；為離心力引起的剛度矩陣。

式(9)的解形式為

因此，式(11)中各矩陣的元素可計算得到。質(zhì)量矩陣的元素為

(13)

2 固有頻率和行波頻率的求解方法

設(shè)式(11)的自由振動解的形式為

(17)

上式對應(yīng)的特征值方程為

求解方程(20)得到旋轉(zhuǎn)圓盤的行波頻率為

(21)

式中：和為圓盤振動的節(jié)圓數(shù)與節(jié)徑數(shù)；為圓盤的前行波頻率(FTW)；為圓盤的后行波頻率(BTW)；為圓盤的靜頻率。

3 數(shù)值算例及結(jié)果討論

根據(jù)上述旋轉(zhuǎn)薄壁圓盤理論分析建模結(jié)果，可以進(jìn)行薄壁圓盤在靜止態(tài)和旋轉(zhuǎn)態(tài)下的固有頻率或行波頻率的計算。為了對所提出的解析方法進(jìn)行驗證，分別采用錘擊法測試靜止態(tài)下薄壁圓盤的模態(tài)，采用有限元法測試靜止態(tài)和旋轉(zhuǎn)態(tài)下薄壁圓盤的模態(tài)，將所得結(jié)果與解析結(jié)果進(jìn)行對比分析。其次，采用本文解析分析方法對旋轉(zhuǎn)態(tài)薄壁圓盤行波特性進(jìn)行分析，并與有限元法計算結(jié)果進(jìn)行對比，討論不同階次行波頻率受轉(zhuǎn)動速度變化的影響規(guī)律。

本文采用的中心固支薄壁圓盤結(jié)構(gòu)件如圖2所示，其材料及幾何參數(shù)如表1所示。

表1 薄壁圓盤的材料參考和幾何參數(shù)

基于Ansys有限元軟件建立薄壁圓盤有限元模型，采用Solid95建模，單元總數(shù)為600。薄壁圓盤約束條件為中心固支，采用的命令流是NSEL，S，LOC，X，r1。建立的薄壁圓盤有限元模型如圖3所示。

圖2 薄壁圓盤

圖3 薄壁圓盤的有限元模型

3.1 靜止態(tài)下薄壁圓盤的模態(tài)計算結(jié)果

表2 靜止態(tài)薄壁圓盤的固有頻率結(jié)果對比

對比解析方法與試驗測量結(jié)果，第(0,1)階的相對誤差為13%，第(0,2)階的相對誤差為7.14%，第(0,3)階的相對誤差為0.59%，第(0,4)階的相對誤差為0.843%。解析結(jié)果與有限元計算得到的固有頻率相比，第(0,1)階的相對誤差為1.86%，第(0,2)階的相對誤差為0.94%，第(0,3)階的相對誤差為0.028%，第(0,4)階的計算相對誤差為0.906%。由此可見，本文解析方法具有較高的精度。

3.2 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下薄壁圓盤振動特性分析

由于制造加工過程中，存在制造誤差，薄壁圓盤的振動特性會與設(shè)計值產(chǎn)生偏差。這里重點討論了薄壁圓盤的固有頻率對其結(jié)構(gòu)參數(shù)的敏感性。為了便于計算取薄盤厚度與半徑比/分別為0.008，0.009，0.010，0.011，0.012，0.013，0.014，0.015，0.016和0.017，分析薄壁圓盤厚度與半徑比值對其固有頻率的影響，結(jié)果如圖4所示，其中為對應(yīng)階次。從圖4可以看出：當(dāng)半徑保持不變時，厚度與半徑的比與薄壁圓盤的固有頻率成正比；隨著比值的增加，薄壁圓盤的固有頻率逐漸增大。

n: 1—2; 2—2; 3—3; 4—4; 5—5; 6—6

3.3 旋轉(zhuǎn)態(tài)下薄壁圓盤的行波特性

在靜止坐標(biāo)(廣義坐標(biāo))下，薄壁圓盤的振動表現(xiàn)出與轉(zhuǎn)動坐標(biāo)不同的振動形式，即行波現(xiàn)象。針對圖1所示的分析對象，采用本文的解析方法、根據(jù)式(21)得到的解值繪制行波曲線，如圖5所示。其中前行波用FTW表示，后行波用BTW表示，即(0,1)FTW表示第(0,1)振型前行波，(0,1)BTW表示第(0,1)振型后行波。

(a) m=0, n=1; (b) m=0, n=2; (c) m=0, n=3; (d) m=0, n=4

由圖3可以看出：前行波頻率隨轉(zhuǎn)動速度增加而增加，后行波頻率先減小后增加，當(dāng)后行波頻率減小為0時，廣義坐標(biāo)系下觀察前行波與后行波相互靜止，即出現(xiàn)駐波現(xiàn)象，此時的圓盤振動很容易引起破壞。圓盤的后行波頻率(0,3)BTW隨轉(zhuǎn)動速度變化，與速度軸并沒有產(chǎn)生交點，說明圓盤的動頻系數(shù)大于3。

本文解析方法得到的行波曲線與利用有限元計算得到的行波曲線進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出：第(0,3)階與(0,4)階的行波振動圖，解析計算與有限元結(jié)果能夠很好地吻合。而第(0,1)階和(0,2)階的行波曲線偏差較大，這與所采用的Rayleigh-Ritz法假設(shè)的振型函數(shù)有關(guān)。

3.4 不同厚度比對行波特性影響

實際加工中，由于存在制造加工誤差，圓盤會出現(xiàn)尺寸偏差，因此對尺寸偏差對行波特性的影響具有重要的價值。本文中，研究不同厚度與長度比/下行波特性，其中，為了簡化計算，僅選取/=0.1與/=0.2這2種工況分析，結(jié)果如圖4所示，其中前行波用FTW表示，后行波用BTW表示。圖6所示為不同厚度比薄壁圓盤的行波頻率。由圖6可以看出：不同長厚比下的圓盤前行波頻率隨轉(zhuǎn)動速度增加而增加，后行波頻率先減小后增加。隨著厚度比增加，圓盤的固有頻率增加，第(0,1)階模態(tài)受長厚比影響最大，其余階次影響較小。可以得出高階振動模態(tài)對尺寸誤差不敏感。

(a) m=0, n=1; (b) m=0, n=2; (c) m=0, n=3; (d) m=0, n=4

4 結(jié)論

1) 采用實驗與有限元結(jié)合的方法，對本文的解析算法進(jìn)行模態(tài)對比確認(rèn)，證明了本文計算方法的合理性，對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下薄壁圓盤振動特性進(jìn)行分析，得知厚度與半徑的比值與薄壁圓盤的固有頻率成正比關(guān)系。

2) 分析了轉(zhuǎn)動態(tài)下圓盤的固有頻率變化和行波特性，結(jié)果表明前行波頻率隨轉(zhuǎn)動速度增加而增加，后行波頻率先減小后增加，當(dāng)后行波頻率減小為0時，前行波與后行波相互靜止，即出現(xiàn)“駐波”現(xiàn)象，此時圓盤振動很容易引起共振破壞。圓盤結(jié)構(gòu)參數(shù)對低階固有頻率有明顯的影響，高階振動模態(tài)對結(jié)構(gòu)參數(shù)敏感性較小。

3) 本文采用的方法不必分析旋轉(zhuǎn)圓盤具體應(yīng)力變化過程，只計算運(yùn)動過程中的動能與彎曲勢能，運(yùn)算效率更高，適合復(fù)雜工況下的圓盤動力學(xué)特性分析。

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(編輯 陳愛華)

Travelling wave analysis of rotating thin disks via rayleigh-ritz method

REN Hongjun1, 2, ZHANG Jingqi2, YU Xiaoguang1, SUN Wei2

(1. School of Mechanical Engineering and automation, University of Science and Technology Liaoning, Anshan 114051, China;2. School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

The analysis method, experimental method and finite element method were imported to obtain the traveling wave vibration characteristics of the rotating disk with the center fixed. Based on the Kirchoff thin plates theory and Lagrange equation, the energy equations of the central fixed rotating disk were derived. Secondly, by taking the polynomial functions as the admission function, the Rayleigh-Ritz method was introduced to derive the dynamic equations of rotating disk, in which the characteristics of no-rotating disk and the traveling wave characteristics of rotating disk were considered at the same time. The results of the test and finite element analysis are verified by the proposed method of this paper. The natural characteristic of no-rotating disk and the traveling wave characteristics of rotating disk with different rotating speeds are calculated. The results show that the vibration mode of forward traveling wave increases gradually with rotating speed while the frequency of backward traveling wave decreases at first and then increases, the standing wave phenomena is produced and the disk is easily destroyed when the frequency of backward traveling wave equals zero.

thin disk; natural characteristic; travelling wave vibration characteristic; Rayleigh-Ritz method.

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.05.007

O326

A

1672?7207(2017)05?1168?07

2016?07?11；

2016?09?25

國家自然科學(xué)基金資助項目(11472068) (Project(11472068) supported by the National Natural Science Foundation of China)

于曉光，博士，教授，從事機(jī)械振動監(jiān)測及故障診斷研究；E-mail:yuxiaoguang58@163.com