3-CRR型并聯機構運動學與奇異性分析

劉知輝，牛軍川，周一群

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3-CRR型并聯機構運動學與奇異性分析

劉知輝1, 2，牛軍川1, 2，周一群1, 2

(1. 山東大學機械工程學院，山東濟南，250061；2. 山東大學高效潔凈機械制造教育部重點實驗室，山東濟南，250061)

對一種典型的具有三平移自由度的3-CRR型并聯機構進行正、逆運動學求解，討論該類型并聯機構的工作空間，利用虛功原理研究該型機構運行時在動平臺承受固定載荷情況下主動關節處的受力情況，定義雅克比矩陣轉置矩陣的∞?范數作為評價3-CRR型并聯機構承載能力與運動精度性能的指標，通過設定該指標的許用值，可得到3-CRR型并聯機構性能不能滿足工作要求的區域，避開該區域即可成功避開機構的奇異點，使得3-CRR型并聯機構工作于正常狀態，對其他并聯機構的設計和綜合具有指導意義。

并聯機構；工作空間；奇異；虛功原理

并聯機構以其剛度大、精度高、承載能力強等優點被廣泛應用于飛行模擬器、工業機器人、虛擬軸機床等領域[1]。在一些情形下，完成機構的功能并不需要6個自由度，因此，近幾年來少自由度并聯機構開始受到越來越多的關注。相比六自由度并聯機構，少自由度并聯機構結構相對簡單，且易于控制。國內外學者根據所需的自由度及自由度類型綜合出眾多類型的少自由度并聯機構[2]。3-CRR型并聯機構是一種典型的擁有三平移自由度的少自由度并聯機構。趙鐵石等[3]對靜平臺與動平臺處運動副呈三角形布置狀態下的3-CRR型并聯機構的運動學進行了分析。KONG 等[4]對3個圓柱副不位于且不平行于同一平面的3-CRR型并聯機構進行了研究，并提出一種各向同性的正交3-CRR型并聯機構。艾永強等[5]對一種三支路特殊配置的3-CRR型并聯機構進行了運動學分析。牛軍川等[6]研究了基于3-CRR機構的變胞多維減振平臺。馬履中等[7]對一種類似于3-CRR型并聯機構的3-RRC機構進行了特殊位形的分析。可見，3-CRR機構是一種比較典型的并聯機構，但其運動學特性、工作空間和奇異性等并沒有得到充分的重視和討論。本文作者對圓柱副軸線位于同一平面且彼此正交或平行的3-CRR型并聯機構進行分析，選取靜平臺處3個圓柱副中2個圓柱副的平移自由度和1個圓柱副的轉動自由度作為主動輸入，對其正、逆運動學進行求解，研究利用雅克比矩陣轉置矩陣的∞?范數作為評價指標對3-CRR型并聯機構的承載能力、運動精度和奇異性等進行評價的可行性，并進一步利用該指標對3-CRR型并聯機構在幾何約束下的工作空間進行劃分，從而得到3-CRR型并聯機構具有良好性能，可滿足承載能力和定位精度條件的工作空間。關于雅克比矩陣轉置矩陣的∞?范數作為并聯機構承載能力與運動精度性能評價指標的討論對于確定其他類型并聯機構的可用工作空間亦有一定意義。

1 運動學分析

1.1 自由度的計算

3-CRR型并聯機構存在多種變形形式，本文所分析的3-CRR并聯機構如圖1所示。該機構由動平臺，靜平臺以及連接動靜平臺的3條相同配置的支鏈組成，3條支鏈中2條相對的支鏈軸線相互平行且與第3條支鏈垂直。

3條支鏈分別命名為A，B和C，如圖2所示。每條支鏈的3個運動副自底向上分別命名為1,2,3，其中為支鏈名稱。于1軸線與1軸線相交處建立固結于靜平臺的坐標系，軸垂直于靜平臺向上，軸沿1方向。于3軸線與3軸線相交處建立固結于動平臺的坐標系，軸垂直于動平臺向上，軸沿3方向。

圖1 3-CRR型并聯機構

圖2 3-CRR型并聯機構結構簡圖

在坐標系中依次將支鏈A，B和C的各個運動副表示成螺旋，其中圓柱副可視為共軸線的轉動副與移動副的組合，根據螺旋與反螺旋的互易積為零的性質，可計算出各個支鏈的反螺旋。各個支鏈的反螺旋也即各個支鏈對動平臺的約束，計算顯示3-CRR型并聯機構的每條支鏈皆有2個線性無關的反螺旋，且皆為反力偶螺旋，也即每條支鏈都限制了動平臺的2個轉動自由度，在3條支鏈提供的6個反螺旋中，共有3個線性無關的反螺旋，從而過約束數為3。將過約束數代入修正后的Kutzbach-Grübler自由度計算公式[8]，可計算得出自由度=3。從而3-CRR型并聯機構具有3個平移自由度，不具有姿態變化能力。

1.2 主動副的選取

上述的分析表明該機構共有3個平移自由度，因此可選取3個主動輸入。對于3-CRR型并聯機構，為使得機構在運行過程中有較小的慣性，主動副可設置在靜平臺上。主動副的選取應使得機構在主動副有確定輸入的情況下亦有確定的輸出，更特殊地，當主動副靜止時機構的動平臺也應處于靜止狀態。對于自由度為的并聯機構，選取個運動副將其剛化，若剛化后的新機構的自由度為0，則選取的運動副可作為主動副，否則不能作為主動副。

若按照以上主動副選定原則，則主動副應在位于靜平臺的圓柱副中選擇。在實際工程中，為設計和安裝簡單、運行平穩和易于控制，一般只在1個運動副上施加1個驅動。在將圓柱副視為共軸的移動副(P幅)與轉動副(R副)的組合，且對于每個圓柱副只驅動其單個自由度時，主動副的選擇方式可有23種。考慮到在整體結構中，B支鏈與C支鏈為對稱布置，二者具有等價性，因而共有6種不同的組合方式，表1所示為所有6種主動副選用方案及對應的剛化主動副后機構的自由度。

表1 主動副組合方式

由表1可知：共有3種可行的主動副選擇方案。主動副的選用對機構的工作空間、解耦性以及并聯機構的承載能力具有直接影響。對于本文所分析3-CRR型并聯機構，因其每條支鏈內的運動副軸線互相平行，若選用靜平臺處圓柱副的移動自由度為主動輸入，則該移動方向不存在耦合現象，解耦性質的存在使得機構的運動控制相對容易，但同時也應注意到，若選取圓柱副的移動自由度作為主動輸入，則該圓柱副所對應的支鏈將不承受向載荷，因此，若機構在工作時向承受較大載荷，則需考慮增加主動輸入中轉動副的數量。若單條支鏈即可承受機構工作時向載荷，則在可行的3種主動副選擇方案中可選用方案2，即2P1R作為主動輸入，在該主動副方案下，機構的2個移動方向都將不存在耦合現象，機構擁有較好的解耦性。

1.3 正運動學分析

正運動學給出在主動副位置或速度已知的情況下末端操作器的位置或速度[9]。在選用方案2作為主動輸入時，設主動副處的位移為，選定固結于動平臺的坐標系原點作為動平臺參考點，向量為參考點在靜平臺參考系中的坐標，即

(2)

根據幾何關系，可以分別以A，B和C3條支鏈尺寸為參數，得到點在坐標系中的坐標。

(4)

(5)

據式(3)和(4)可得：

(7)

可見：3-CRR型并聯機構在選用主動副組合方案2時，正運動學關系在向和向皆為完全解耦。

解式(8)可得

(9)

(a) 式(9)中取“?”的解；(b) 式(9)中取“+”的解

式(10)可簡寫為

(11)

式中，1為機構的一階運動影響系數矩陣。

1.4 逆運動學分析

與正運動學相反，逆運動學給出在末端操作器位置或速度已知的情況下主動副位置或速度。由式(3)和(4)可知：

(13)

式(14)中正負號的選擇與圓柱副1的運動范圍有關，如圖4所示，在給定動平臺位置時，利用逆解關系可求得圓柱副1處角度有2個解與其對應。圖4(a)所示為式(14)取“?”時的姿態，圖4(b)所示為式(14)取“+”時的姿態。

(a) 式(14)中取“?”時的姿態；(b) 式(14)中取“+”時的姿態

圖4 2種不同的逆解

Fig. 4 Two kinds of different inverse solutions

圖2中的其他中間量可以按照1處轉角的求解方法依次求得。A和B支鏈圓柱副處轉角的逆解解析表達式皆與式(14)有類似的結構，也即有“”2個解。從而求得的逆解結果共有2×2×2種。圖5所示為逆解對應的姿態，每種姿態以，和的順序取逆解表達式中“+”或“?”的規則命名。

圖5所示為8種逆解姿態僅是在幾何約束條件下的可行逆解。由于運動的連續性，3-CRR型并聯機構在動平臺位置確定的情況下其逆解是唯一確定的，且取何種逆解與機構的初始狀態以及運動副的運動范圍有關。由圖5可見：當支鏈中間的轉動副位于“內部”即動平臺正下方時，3-CRR型并聯機構在運行時支鏈間可能發生干涉，因此，本文選取機構的結構參數以及運動副運動范圍參數使得3-CRR型并聯機構運行于圖5(a)所示狀態。

圖5 3-CRR型并聯機構的8種逆解

2 工作空間

機構的工作空間是機構末端操作器參考點所能到達的位置點的集合[10]。對于所分析的3-CRR型并聯機構，也即動平臺處點可到達位置的集合。由上述分析可知：在選取2個移動自由度和1個轉動自由度作為主動輸入的情況下，3-CRR型并聯機構在和向都具有完全解耦性，但向的位置與速度仍同時與圓柱副1和圓柱副1有關，也即在向存在耦合。該耦合的存在使得不易通過解析法在主動副活動范圍確定的情況下獲得3-CRR型并聯機構的工作空間。可采用數值解法對工作空間進行求解，對3-CRR型并聯機構可能的工作空間離散后進行逐點掃描，對掃描到的點利用逆運動學關系求解其對應的主動輸入，若

則可認為被掃描到的點位于主動輸入范圍內，該點位于工作空間內，予以保留。最終掃描得到的點集形成的包絡體即為其工作空間。若離散足夠細密，則所得到工作空間也足夠精確。取結構參數和主動副運動范圍為2=2=2=100 mm，3=3=3=50 mm，1=4=100 mm，4=50 mm，4=60 mm，0≤1≤100 mm，0≤1≤100 mm，0≤≤π/2 rad，此時，3-CRR型并聯機構工作于圖5(a)所示狀態，支鏈間以及支鏈與動平臺間不發生運動干涉。利用上述方法得到的工作空間如圖6所示。

(a) 軸側圖；(b)向視圖；(c)向視圖；(d)向視圖

圖6 3-CRR型并聯機構工作空間

Fig. 6 Workspace of 3-CRR parallel mechanism

由圖6可知：3-CRR型并聯機構的工作空間為一“拉伸體”，若在工作空間內沿方向設置若干與平面平行的平面作為截面與工作空間相交，則截面為固定形狀，該特性正是3-CRR型并聯機構在方向完全解耦的體現，動平臺的方向雖也與主動副處位移完全解耦，但由于向位移與1和的耦合使得向位移與向位移之間亦存在耦合，故在方向無這一特性。

利用上述數值方法判斷3-CRR型并聯機構僅是在幾何約束下3-CRR型并聯機構的工作空間，即理論上3-CRR型并聯機構動平臺參考點所有可達位置，但由于奇異性的存在，使得3-CRR型并聯機構在處于工作空間內的某些位置時性能較差，失去并聯機構運動精度高、承載能力強等優點。

3 奇異性分析

GOSSELIN等[11]將奇異分為位形奇異、邊界奇異與構型奇異。其中位形奇異發生在工作空間內部，且發生時并聯機構失去控制，對機構影響最大。當位形奇異發生時，若動平臺處承受載荷||||≠0，則主動副處的載荷||||→∞，即運動學奇異發生時，會產生靜力學奇異，反之亦然[12]，從而靜力學奇異與運動學奇異具有等價性。對于本文的3-CRR型并聯機構，若忽略摩擦和阻尼效應，則由虛功原理可知

(17)

(a) 支鏈的受力；(b) 機構的受力

圖7 主動副處的廣義力

Fig. 7 Generalized force in active joints

考察在∞?范數意義下單位力作用于動平臺時機構的主動副處的廣義力*的大小，定義關于動平臺位置的力傳遞系數函數：

()的上確界為從屬于向量∞?范數的矩陣算子范數，也即的∞?范數，從而，

(20)

即

將式(11)對時間積分，可得

當1可逆時，，若3-CRR型并聯機構在按照預定軌跡運行中，主動副處發生微小擾動，偏離預定的位置δ，則動平臺偏移預定位置為

(23)

由矩陣范數與向量范數的相容性可知

且

(25)

由式(24)和式(25)可得

式(26)的物理意義為：當主動副處發生擾動時，在∞?范數意義下，主動副的相對誤差與動平臺的相對誤差之間的關系由一階運動影響系數矩陣1的條件數確定。1的條件數反映了相對誤差放大系數的上確界。由一階運動影響系數矩陣1的形式可知，其逆矩陣的∞?條件數大于1，從而

(27)

由矩陣范數的等價性可知

式中：1和2皆為正數；()=11。從而當()較大時，3-CRR型并聯機構的放大系數也較大，并聯機構精度較高的優點不再存在。

以上討論表明：()可同時作為評價3-CRR型并聯機構力傳遞特性與相對誤差傳遞特性的指標，在其他條件保持不變的情況下，()較大表明主動副處的受力較大，機構的運動誤差亦較大，即此時3-CRR型并聯機構性能較差。

利用基于逆解關系的數值解法求得的3-CRR型并聯機構的工作空間僅考慮了幾何約束。為使得3-CRR型機構充分體現并聯機構承載能力強、精度高的優點，應對()予以限制。當根據3-CRR型并聯機構工作條件給定可接受的()的最大值max后，對于工作空間內的位置，若()＞max，則該位置雖位于工作空間中，但由于()超過限制，承載能力與運動精度無法滿足要求，處于該點的3-CRR型并聯機構仍應被視為失效狀態而不可用。如圖8所示，使3-CRR型并聯機構工作于非失效區域不僅能使其性能滿足要求，而且能使其免于奇異。

(a) 工作空間；(b) M(p)＞Mmax區域；(c) 奇異位置曲面

仍以工作空間求解中所使用的參數作為實例，給定不同的max繪制失效區域。圖9~11右側圖中2條曲線之間的區域即為失效區域。

由于該機構在方向的解耦性，失效區域也有與工作空間類似的結構，沿方向為恒定截面，沿方向呈“拉伸”狀。該區域內()＞max，無法滿足承載能力與運動精度的要求。

由圖9~11可知：3-CRR型并聯機構在幾何約束下的工作空間被失效區域分成多個部分，當給定3-CRR型并聯機構可正常工作時的max后，3-CRR型并聯機構只能工作在被失效區域劃分開的多個部分的其中之一。隨著max增大，可用區域逐漸增大，而失效區域逐漸減小；隨著max不斷增大，失效區域最終將收斂于奇異曲面。若定義關于位置的函數

在對3-CRR型并聯機構進行軌跡規劃時，應根據工作性質對機構性能的具體要求設定max，并通過設定主動副的運動范圍使得動平臺運動時的軌跡不進入失效區域。

(a) 工作空間與失效區域；(b) 工作空間與失效區域截面

(a) 工作空間與失效區域；(b) 工作空間與失效區域截面

(a) 工作空間與失效區域；(b) 工作空間與失效區域截面

4 結論

1) 對主動副軸位于同一平面且彼此平行或垂直布置的3-CRR型并聯機構進行分析，對主動副的選取進行了討論，得到了一種具有良好解耦性的并聯機構，并對其進行了運動學分析。基于其逆運動學關系，借助數值解法求得其工作空間。其工作空間在某一移動方向呈“拉伸”狀，印證了在選定的主動副方案下3-CRR型并聯機構具有良好的解耦性這一特性。

2) 提出了采用力的傳遞系數函數用以評估力的傳遞特性，并借助該函數對基于幾何約束得到的工作空間進行了研究，得出幾何約束下的工作空間并非全部為可用空間，得出的力傳遞系數函數可用于評估3-CRR型并聯機構承載能力與運動精度。當并聯機構若奇異位置不易求得時，只需在軌跡規劃時，避開由該函數確定的并聯機構失效區域即可使得機構免于奇異并獲得在承載能力和運動精度條件上滿足要求的軌跡。

[1] 路懿, 胡波. 少自由度并聯機構研究進展[J]. 燕山大學學報, 2011, 35(5): 377?384. LU Yi, HU Bo. Development evaluation of limited-DOF parallel manipulators[J]. Journal of Yanshan University, 2011, 35(5): 377?384.

[2] 李秦川. 對稱少自由度并聯機器人型綜合理論及新機型綜合[D]. 秦皇島: 燕山大學機械工程學院, 2003: 10?13. LI Qinchuan. Type synthesis theory of lower-mobility parallel mechanisms and synthesis of new architectures[D]. Qinhuangdao: Yanshan University. Mechanism Engineering Institute, 2003: 10?13.

[3] 趙鐵石, 黃真. 一種三維移動并聯平臺機構的運動學分析[J]. 中國機械工程, 2001, 12(6): 613?616. ZHAO Tieshi, HUANG Zhen. Kinematics of a three-dimension translational parallel platform mechanism[J]. China Mechanical Engineering, 2001, 12(6): 613?616.

[4] KONG Xianwen, GOSSELIN Clement. Kinematics and singularity analysis of a novel type of 3-CRR 3-DOF translational parallel manipulator[J]. The International Journal of Robotics Research, 2002, 21(9): 791?798.

[5] 艾永強, 馬履中. 一種三平移并聯機器人運動學分析[J]. 機械設計, 2005, 22(11): 19?22. AI Yongqiang, MA Lüzhong. A kind of kinematical analysis on parallel robot with three translations[J]. Journal of Machine Design, 2005, 22(11): 19?22.

[6] 牛軍川, 楊峰, 李勇. 基于變胞并聯機構的多維隔振研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(7): 206?209, 226. NIU Junchuan, YANG Feng, LI Yong. Multi-dimensional vibration isolation based on metamorphic parallel mechanism[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(7): 206?209, 226.

[7] 馬履中, 尹小琴, 楊廷力. 新型3{R∥R∥C}三平移并聯機器人機構的特殊位形分析[J]. 江蘇大學學報(自然科學版), 2002, 23(2): 43?45. MA Lüzhong, YIN Xiaoqin, YANG Tingli. Analysis of special configuration of a new 3-DOF translational parallel robot mechanism {3-R∥R∥C}[J]. Journal of Jiangsu University (Natural Science Edition), 2002, 23(2): 43?45.

[8] 楊峰. 一種可變胞并聯機構的多維隔振平臺研究[D]. 濟南: 山東大學機械工程學院, 2013: 23?37. YANG Feng. Research on multi-dim vibration isolating device based on metamorphic parallel mechanism[D]. Jinan: Shandong University. School of Mechanical Engineering, 2013: 23?37.

[9] 黃真. 高等空間機構學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 115?138. HUANG Zhen. Advanced spatial mechanism[M]. Beijing: Higher Education Press: 115?138.

[10] PATEL Y D, GEORGE P M. Simulation of kinematic and workspace analysis of 3-PRS parallel manipulator[J]. International Journal of Modeling. Simulation and Scientific Computing, 2015, 6(1): 1550007?1550012.

[11] GOSSELIN C, ANGELES J. Singularity analysis of closed-loop kinematic chains[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1990, 6(3): 281?290.

[12] 曹永剛, 張玉茹. 6-RSS型并聯機構奇異性分析[J]. 機械工程學報, 2008, 44(6): 79?87. CAO Yonggang, ZHANG Yuru. Singularity analysis for 6-RSS parallel mechanism[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2008, 44(6): 79?87.

(編輯 陳愛華)

Kinematics and singularity analysis of 3-CRR parallel mechanism

LIU Zhihui1, 2, NIU Junchuan1, 2, ZHOU Yiqun1, 2

(1. School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China;2. Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Shandong University, Jinan 250061, China)

A classical parallel 3-CRR mechanism with 3 degrees of freedom was presented, and its forward and inverse kinematics were derived respectively. Furthermore, the workspace was studied and illustrated graphically. The relationship between the force applied on the moving platform and the resultant force on the active joints was studied by the principle of virtual work. The infinite norm of the transpose of the Jacobin matrices was defined as the index to evaluate the capacity of carrying and the kinematic accuracy of 3-CRR parallel mechanism. The restricted positions where the index is over the allowable value is found, and then the trajectory can be singularity free by keeping away from these restricted positions. The work is very meaningful and useful for the design and synthesis of the other parallel mechanisms.

parallel mechanism; workspace; singularity; principle of virtual work

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.05.010

TH113.2

A

1672?7207(2017)05?1190?08

2016?08?28；

2016?09?22

國家自然科學基金資助項目(51275275，51675306)；山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金資助項目(BS2010ZZ006) (Projects(51275275, 51675306) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(BS2010ZZ006) supported by the Shandong Young Scientists Award Fund)

牛軍川，博士，教授，從事振動噪聲控制、機械系統動力學和功率流有限元法等研究；E-mail: niujc@sdu.edu.cn