雙螺桿壓縮機轉子嚙合線與型線關系研究

何雪明 姜振鋼 武美萍 張 榮 紀小剛

1.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室,無錫,2141222.江南大學理學院,無錫, 214122

雙螺桿壓縮機轉子嚙合線與型線關系研究

何雪明1姜振鋼1武美萍1張 榮2紀小剛1

1.江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室,無錫,2141222.江南大學理學院,無錫, 214122

從雙螺桿壓縮機轉子嚙合線出發，詳細介紹了嚙合線法，利用嚙合關系與型線坐標轉換關系推導出陰陽轉子型線的方法。給出了嚙合線法中的連續性要求并提供了相應的求解步驟，解決了嚙合線法設計轉子型線過程中的連續性問題。研究了嚙合線的3個關鍵控制點，并總結了其位置變化對轉子型線(陰陽轉子的齒心角、齒厚以及齒間面積)的影響。最后利用嚙合線法設計了一條新型線，并演示了通過改變關鍵控制點位置的方法提高了新型線排量的方法，提高了設計效率。

雙螺桿壓縮機；轉子型線；嚙合線法； 關鍵控制點

0 引言

雙螺桿壓縮機的陰陽轉子作為整個壓縮機中最重要的零件，它的性能對雙螺桿壓縮機的性能有著決定性的影響，因此許多國內外學者將其作為研究重點，開展了眾多研究，主要研究內容為陰陽轉子型線設計方法和新型線的開發。

現有的絕大部分轉子型線都是由轉子法[1-3]推演得到的，該方法先選擇陰陽轉子中的其中一個為設計對象，然后在其坐標系內設計出二維曲線作為其齒形曲線，接著根據包絡條件推導出嚙合條件式，建立出轉角與曲線參數之間的一一對應關系，結合坐標轉換即可得到對應的需要設計的另一齒的齒形。由這種方法設計的型線主要有SRM系列型線、復盛型線、日立型線、壽力型線等。

MENSSEN等[4]在20世紀70年代提出了采用齒條法設計加工早期的陰陽轉子型線的方法， RINDER[5]在1984年提出了齒條法設計方法，并在3年后設計出了相應的轉子型線。STOSIC等[6-9]在齒條法上進行改進提出了新的N型線設計方法。周志宏等[10]及陳碧楠等[11]分別采用轉子法和齒條法對轉子型線進行了推演設計，得到了較優的型線參數。齒條法與轉子法相似，只是在設計型線時是在齒條上設計陰陽轉子型線，再根據嚙合關系推演設計齒形的共軛曲線，得到另一齒的齒形。這兩種方法可以統稱為轉子型線正向設計方法，在設計時二者之間可以交互使用。

不論是轉子法還是齒條法，都是在陰陽轉子型線設計后，通過復雜的計算才能求得嚙合線方程。在得到轉子嚙合線后對雙螺桿壓縮機的性能作出初步評估然后返回對轉子型線進行多次修改以改善轉子性能，最后在對各個參數優化之后確定最后型線。這一設計過程耗時費力，設計效率低下，為了改變這一現狀, ZAYTSEV等[12-13]和WU等[14-16]提出基于反向思維方式，利用可以預測轉子型線性能的嚙合線來設計轉子型線。徐健等[17-20]采用齒廓法線法，演示了嚙合線法的設計方法。何雪明等[21]研究了齒廓法線法，并從理論上推導了嚙合線段為直線、圓弧、三次B樣條曲線的陽轉子型線方程。本文也采用這種思想，從嚙合線出發，對嚙合線進行設計，將嚙合原理中的齒廓法線法作為包絡條件反推轉子型線。

1 嚙合線法型線設計原理

在雙螺桿壓縮機中，兩個轉子相互嚙合轉動，一般是由陽轉子帶動陰轉子轉動。兩個轉子齒面相互接觸形成的空間曲線稱為接觸線(圖1)，將接觸線投影到垂直于軸線的平面上，它也是陰陽轉子型線嚙合時嚙合點的軌跡，稱為嚙合線。

圖1 轉子上的接觸線Fig.1 Contact line of the rotor surface

轉子嚙合時，在空間接觸線的任意一點處的速度方向即為該點處的切線方向，該方向與該點的法線方向是互相垂直的，假設該點處的切線方向向量為v，法線方向向量為n，則兩者之間的關系式為

n·v=0

(1)

根據此關系可以由嚙合線方程推導出陰陽轉子嚙合線的方程。首先建立相應的轉子坐標系，主要包括嚙合線坐標系和陰陽轉子動坐標系。圖2所示為陰陽轉子動靜坐標系和嚙合線坐標系之間的關系，下標0表示嚙合線，下標1表示陽轉子，下標2表示陰轉子。圖2中，O0x0y0是原點在陰陽轉子切點固接于機殼上的嚙合線坐標系，O2x2y2、O1x1y1是陰陽轉子對應的動坐標系，這三個坐標的z軸均是沿著軸線向外的方向。根據陰陽轉子傳動中的一些已知條件，可得

(2)

R1+R2=A

(3)

φ1+φ2=(1+i)φ1=kφ1

(4)

式中，i為陽陰轉子齒數比；φ1為陽轉子動坐標系逆時針旋轉的角度；φ2為陰轉子動坐標系順時針旋轉的角度；ω2、ω1分別為陰陽轉子的角速度；n2、n1分別為陰陽轉子的轉速；R2、R1分別為陰陽轉子的節圓半徑；z2、z1表示陰陽轉子的齒數。

圖2 轉子型線坐標系關系Fig.2 Relationship of rotor profile coordinate

在利用嚙合線法反向設計時，嚙合線的各段曲線是預定義的，其方程是已知的，假設其中某段的嚙合曲線參數方程為

(5)

ts≤t≤te

通過坐標變換可推導嚙合線坐標系O0x0y0和陽轉子動坐標系O1x1y1之間的轉換關系:

(6)

陰陽轉子動坐標系O2x2y2和O1x1y1之間的轉換關系為

(7)

為了得到包絡條件即φ1關于t的函數，需先將陰陽轉子型線上的對應點轉換到同一坐標系中，然后再利用式(1)，計算得到包絡條件式。本文利用式(7)先將陰轉子型線上的點轉換到動坐標系O1x1y1下，再由式(6)計算得到包絡條件式,因此n和v分別為

(8)

將式(8)代入式(1)可得

(9)

式(7)的兩式分別對t和φ1求偏導，并代入式(9)可得關于t和φ1的偏導數方程(只含有x1、y1)，整理化簡可得

(10)

式(6)的兩式求偏導數，并代入式(10)可得嚙合線參數t與陽轉子型線位置參數φ1之間的關系，整理化簡得

(11)

根據轉子半徑R與齒數比i之間的關系，可知Ai=kR1，故可將式(11)進一步簡化：

(12)

式(12)中除了φ1與t是未知的，其余均已知，因此可將式(12)表達為關于參數t的φ1函數，為了方便觀察可將式(12)表達為

(13)

對式(13)進行積分，可得

(14)

式(14)中，φ0為常數。嚙合線方程的參數t決定了陽轉子型線齒形，并與之是一一對應關系，只需知道嚙合線方程x0、y0和陽轉子半徑R1，即可得到陽轉子型線方程。

本文推導的嚙合線法，修正了文獻[21]中方程的小錯誤。本文通過將陰轉子的型線坐標轉換到陽轉子坐標系中，再由陽轉子坐標系轉換到嚙合線坐標系，最終在嚙合線坐標系下表達陽轉子型線的位置參數φ1與嚙合線參數t之間的關系，即得到了陽轉子的型線方程;同樣也可以從陽轉子出發，將陽轉子的型線方程在陰轉子坐標系下表達，最后轉換到嚙合線坐標系下，得到陰轉子型線位置參數φ2與嚙合線參數t之間的關系。

2 嚙合線法轉子型線連續性

根據前文可以求得嚙合線中每段曲線對應的轉子型線方程，但由于式(14)中常數項的存在，每一段所對應的轉子型線的位置是不定的，而實際當中轉子型線是連續光滑的；因此在利用嚙合線法設計轉子型線時也必須考慮到這一點，保證轉子型線的前后連續光滑。

φ1=f(t)+φ0

(15)

如圖3所示，假設AB1段是由上一段嚙合線線型中的一種所得轉子型線，在設計B2C段時，需要求解φ0確定B2C的位置，以保證前后兩端曲線連續，φ0可按照圖4所示流程計算得到，如此便可使得B1、B2兩點重合，保證AB、BC之間的連續性。首先提取B1點坐標，假設陽轉子型線上B1點的坐標為(xe,ye)，將該點代入式(6)中可求解sinφ1e、cosφ1e的值:

(16)

φ0=φ1e-f(t0)

(17)

圖3 轉子型線連續性要求示意圖Fig.3 Continuity requirement of rotor profile

圖4 φ0求解流程圖Fig.4 Flow chart of the process to solve φ0

性能優良的轉子型線應當具有較好的加工性能、高效的壓縮效率和低的齒面磨損，即要求轉子齒面盡量光滑，沒有尖點，具有較短的空間接觸線、較小面積的泄露氣孔、低的齒面滑動和扭轉偏移。在轉子型線的連接時，除了需要保證其一階連續，還需使其達到二階連續。要實現這一要求，則需要保證定義的嚙合線所生成的轉子型線是一條光滑的曲線。以O1為圓心的圓弧嚙合線會在型線上產生一個尖點，這種情況應盡量避免，陰轉子也一樣,因此，不應將以轉子軸心為圓心的圓弧段作為嚙合線的設計組成，在嚙合線之間的線型連接中需要保證其相切。

3 嚙合線與轉子型線關系

文獻[21]中指出了嚙合線的本身形式和參數會影響到型線的形狀特征。本文繼續對嚙合線進行研究，并整理出了3個關鍵控制點，研究其位置變化對型線產生的影響。本文主要研究單邊型線，即其嚙合線只存在于嚙合線坐標系的第二與第三象限。如圖5所示，嚙合線由4個控制點劃分為4個部分，a為嚙合線坐標原點，b為嚙合線最低點，c為嚙合線與x軸交點，d為嚙合線最高點。第Ⅰ部分在嚙合線坐標系的第三象限內，為從原點O0(a)開始沿著順時針到達最低點b所形成的曲線，第Ⅱ部分在第三象限內，為從b點到達嚙合線與x0軸形成的交點c之間的曲線，第Ⅲ部分則是第二象限內c點到最高點d之間的曲線，第Ⅳ部分則是從最高點d回到原點O0(a)的曲線。

圖5 嚙合線段和轉子型線上的相應曲線段Fig.5 Meshing line segments and the response curve segments on the rotor profile

嚙合線被4個控制點a、b、c、d分成4個部分，除了a點之外，其余3個關鍵控制點對轉子型線的影響也是最為明顯的，本文通過其多個位置變化對轉子型線的影響進行研究。

以b點為例，對嚙合線與轉子型線進行研究，b點可以沿著x軸方向和沿著y軸方向平移到不同位置點，在改變b點位置時保持其他控制點位置和線型不變。對比不同位置下的b點所生成的嚙合線所對應的轉子型線。b點沿x軸方向不同位置的三種嚙合線和型線如圖6所示。b點沿y軸不同位置的三種嚙合線和型線如圖7所示。

圖6 b點沿x軸方向不同位置的嚙合線和陰陽轉子型線分布關系Fig.6 Distribution of male & female rotor profiles where b point at the different positions along the x-axis direction of the meshing line

圖7 b點沿y軸方向不同位置的嚙合線和陰陽轉子型線分布關系Fig.7 Distribution of male & female rotor profiles where b point at the different positions along the y-axis direction of the meshing line

a點必須與嚙合線坐標系原點重合，在此不展開研究。利用與b點相同的方法對c點和d點分別展開研究，可得表1所示規律。

總體而言，嚙合線的關鍵控制點對轉子型線的影響如下：

(1)在b點，以b點為原點建立坐標系，則b點在第一象限內和靠近第一象限的二四象限內，

表1 嚙合線關鍵控制點對轉子型線的影響Tab.1 Influence of key control points of meshing line on rotor profile

陰陽轉子齒心角較大，陰轉子齒厚較小，陽轉子齒厚較大，齒間面積總和變大，b點在第三象限內和靠近第三象限的二四象限內，則正好相反。

(2)在c點，隨著c點沿水平方向從左向右移動(即ac距離減小)，陰陽轉子嚙合區域變小，齒心角減小，陰轉子齒根圓直徑增大，陽轉子齒頂圓直徑減小，陰轉子齒厚增大，陽轉子齒厚減小，齒間面積總和逐漸減小。

(3)在d點，以d點為原點建立坐標系，則d點在第四象限內和靠近第四象限的一、三象限內，陰陽轉子齒心角較大，陰轉子齒厚較小，陽轉子齒厚較大，齒間面積總和變大，d點在第二象限內和靠近第二象限的一三象限內，則正好相反。

4 嚙合線法轉子型線設計

根據表1的匯總結果，在設計轉子型線時可根據如下規則快速實現對型線的優化：若要增大齒間面積總和，則可以通過增大b點的x或y坐標值，或減小c點的x坐標值，或增大d點的x坐標或減小y坐標值來實現。通過整理表1中的數據，將設計目標為增大陰陽轉子的齒心角、齒厚以及齒間面積總和的調整方法列于表2。

表2 設計目標與控制點移動方向

表2中“陰”表示陰轉子；“陽”表示陽轉子；+x表示向x軸正方向移動，即增大x坐標值；-y表示向y軸負方向移動，即增大y坐標值；若設計目標為減小上述參數，則b、c、d點的移動方向全部取反。

參照表3中的數據，目前大部分的雙螺桿壓縮機生產廠家生產的都是以6∶5為比例的轉子。本文以主流的6∶5齒為研究對象，中心距260 mm作為基本設計參數，利用嚙合線法設計新型線。

表3 螺桿壓縮機現狀

如圖8所示，在嚙合線坐標系O0x0y0中從原點出發順時針設計一條嚙合線1，該嚙合線主要分成7段，前面5段主要是以圓弧為線型，第6段則以直線作為嚙合線線段，實現嚙合線封閉，在原點處G10與A10重合，是由兩圓弧在節圓切點處相互嚙合形成的點，點G10作為嚙合線的一段，在陰陽轉子型線上有對應的型線。在嚙合線1中4個控制點在嚙合線坐標系中的坐標(單位為mm)為a(0, 0)、b(-38, -77)、c(-63.7, 0)、d(-33.8, 33)。具體每一段的曲線類型如表4所示。嚙合線1對應的完整陰陽轉子如圖9所示。

上述型線的陰陽轉子齒間面積總和為107 978.10 mm2，我們希望得到更大的齒間面積，以增加該齒形的排量，接下來則在嚙合線1的基礎上以增大齒間面積總和為設計目標，利用表2中增大齒間面積方法進行調整，減小c點的坐標值，得到嚙合線2。

圖8 嚙合線1和對應的陰陽轉子型線齒廓Fig.8 The corresponding male & female rotor profiles of meshing line 1

表4 設計實例中的各段嚙合線與齒廓曲線描述

圖9 嚙合線1與完整陰陽轉子型線Fig.9 The complete corresponding male & female rotor profiles of meshing line 1

如圖10所示，嚙合線2 主要是增大了控制點a、c之間的距離，而各個曲線段的線型和其余控制點位置保持不變，4個控制點在嚙合線坐標系中的坐標(單位為mm)為a(0, 0)、b(-38, -77)、c(-66.7, 0)、d(-33.8, 33)。嚙合線2對應的完整陰陽轉子如圖11所示。

圖10 嚙合線2和對應的陰陽轉子型線齒廓Fig.10 The corresponding male & female rotor profiles of meshing line 2

圖11 嚙合線2與完整陰陽轉子型線Fig.11 The complete corresponding male & female rotor profiles of meshing line 2

從圖10中可以看出陰陽轉子型線2和陰陽轉子型線1有很大的差別，將這兩個轉子型線在同一坐標系下進行對比，如圖12所示。圖12中實線表示嚙合線1和其對應的陰陽轉子型線，虛線表示修改后的嚙合線2和陰陽轉子型線。從圖12中可以看出修改后的嚙合線2所在的嚙合區域變大，陰轉子齒根圓變小齒厚變薄，陽轉子齒頂圓變大齒厚增大，陰轉子的齒間面積增大，齒間面積總和增大為109 116.98 mm2，和預期是一致的。修改后的嚙合線2生成的陰轉子型線2的齒厚太薄，在工作中很容易折斷，加工制造時也有一定的難度，所以需要進一步優化。

圖12 嚙合線1與嚙合線2對比圖Fig.12 Comparation of meshing line 1 with meshing line 2

嚙合線2是嚙合線1通過增大a、c之間的距離得到的，使得齒間面積增大，為了保持大的齒間面積，c點的位置保持不變，以增大陰轉子的齒厚為設計目標，對b點和d點進行微調，根據表2結論，將嚙合線2中的b點向左下角移動，d點向左上角移動，具體如圖13所示，嚙合線的其他位置和曲線段類型則保持不變，得到新的嚙合線3，4個控制點在嚙合線坐標系中的坐標(單位為mm)為a(0, 0)、b(-40, -79)、c(-66.7, 0)、d(-36.7, 38)。優化后嚙合線3的齒間面積總和達到了108 274.59 mm2，雖然比嚙合線2的齒間面積總和小，但與最初設計的嚙合線1相比還是得到了增加。該轉子型線是在保持了較大的齒間面積的同時將對應的陰轉子2的齒厚增加，提高了陰轉子的強度。設計過程中型線齒間面積的變化列于表5。嚙合線3與完整陰陽轉子型線如圖14所示。

圖13 嚙合線3和對應的陰陽轉子型線齒廓Fig.13 The corresponding male & female rotor profiles of meshing line 3

表5 設計型線的齒間面積

圖14 嚙合線3與完整陰陽轉子型線Fig.14 The complete corresponding male & female rotor profiles of meshing line 3

圖15 嚙合線2與嚙合線3對比圖Fig.15 Comparation of meshing line 2 with meshing line 3

圖15是嚙合線2與嚙合線3對比圖，其中虛線表示的是嚙合線2及其對應的轉子型線，實線表示的是嚙合線3及其對應的轉子型線，由于c點的位置不變，轉子2和轉子3的嚙合區域不變，二者的陰轉子齒根圓和陽轉子的齒頂圓直徑相等。嚙合線3所對應的陰轉子在后齒部分曲率變大，齒厚增大使得陰轉子的幾何特性得到強化，并且陰轉子的幾何特性也比較良好，陽轉子齒厚減小，與最初相比，齒間面積總和也得到了增加，達到了最初的設計目的。

轉子型線的設計是一個曲折的過程，需要進行不斷的調整。嚙合線法設計方法作為一種新的設計方法，可以預判型線性能，其中的關鍵控制點可以預判型線的大概走勢，在進行型線設計時可以加快型線的設計速度，簡化設計過程。在設計的過程中可以結合傳統的正向設計方法， 二者之間相互結合共同完成型線設計，提高設計效率，縮短設計周期。

5 結論

(1)從雙螺桿壓縮機轉子嚙合線出發，利用齒廓法線法和坐標轉換推導轉子型線，詳細闡述了從嚙合線推導出陽轉子型線的位置參數φ1與嚙合線參數t之間的關系的過程。給出嚙合線法中的連續性要求以及相應常數項的求解步驟，解決轉子型線設計過程中連續性問題。

(2)分析討論了嚙合線的3個關鍵控制點對轉子型線的影響。

(3)利用嚙合線法設計一條新型線，并演示了利用移動嚙合線的3個控制點快速地優化設計的型線，使得轉子的齒間面積總和從107 978.10 mm2增加到108 274.59 mm2，而且陰陽轉子的幾何特性也比較良好，提高了設計效率。

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(編輯 袁興玲)

Research on Relationship between Rotor Profiles and Meshing Lines in Twin-screw Compressors

HE Xueming1JIANG Zhengang1WU Meiping1ZHANG Rong2JI Xiaogang1

1.Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu,214122 2.School of Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu,214122

From the twin-screw compressor rotor meshing line of view, the meshing line method was introduced in detail, the male and female rotor profiles were deduced from the meshing line by meshing and coordinate transformation relationship. The requirements of continuity were given in the meshing line method and the corresponding solving steps which solved the continuity problems in the meshing line method were carried out. Three critical control points on the meshing line were studied and the impacts of its changes of positions on the rotor profiles generated were summarized, including rotor angles, thicknesses and interdental areas. At last, a profile was designed by the meshing line method, and demonstrates the optimization of new profiles by changing the position of critical control points, the design efficiency is increased.

twin-screw compressor; rotor profile; meshing line method; critical control point

2016-05-24

國家自然科學基金資助項目(51275210，51105175)；江蘇省產學研資助項目(BY2013015-30)；江蘇省六大人才高峰資助項目(2013-ZBZZ-016)；江南大學自主科研計劃資助重點項目(JUSRP51511-5)

TH455

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.002

何雪明，男，1966年出生。江南大學機械工程學院先進制造中心教授，江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室副主任。主要研究方向為自由曲線、曲面CAD/CAE/CAM和逆向工程。發表論文50余篇。E-mail:hxuem2003@163.com。姜振鋼，男，1991年生。江南大學機械工程學院碩士研究生。武美萍， 女，1970年生。江南大學機械工程學院副院長、 教授、 博士研究生導師。張 榮，女， 1962年生。江南大學理學院副教授。紀小剛，男，1977年生。江南大學機械工程學院副教授。