測量不確定度引起的抽樣檢驗誤判率計算

王漢斌 陳曉懷 李紅莉 程銀寶 程真英

1.合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，合肥，2300092.福建省計量科學研究院，福州， 350003

測量不確定度引起的抽樣檢驗誤判率計算

王漢斌1,2陳曉懷1李紅莉1程銀寶1程真英1

1.合肥工業大學儀器科學與光電工程學院，合肥，2300092.福建省計量科學研究院，福州， 350003

為合理配置測量資源，提高產品檢驗結果的可靠性，對抽樣檢驗中測量不確定度引起的誤判風險進行了量化評估。分析了抽樣檢驗中可能存在的各種風險，重點對測量不確定度的影響進行了討論；分別針對檢驗前誤判率預估和檢驗結果誤判率計算兩種應用情況，提出了誤判率計算公式；以產品尺寸合格性檢驗為例，進行了誤判率計算和分析。結果表明，抽樣檢驗誤接收和誤拒收概率均隨測量不確定度的增大而增大，產品檢驗前應根據可接受誤判率合理選擇測量方法；對具體產品批的合格性判定結果，應同時計算對應的誤判率，以保證產品檢驗結果的可靠性。

抽樣檢驗；合格判定；測量不確定度；誤判率

0 引言

合理估計測量不確定度造成的產品檢驗誤判率，使測量不確定度在產品檢驗中的影響量化可控，對提高產品供給質量，靈活配置測量資源，具有重要意義。

當前，測量不確定度在產品檢驗中的影響已日漸受到國內外學者的重視。DESIMONI等[1]綜述了產品檢驗國際標準，指出在合格判定應用中尚需發布統一的指導性標準。PENDRILL[2]綜述了產品合格判定方法，認為產品檢驗中應兼顧誤判風險和檢測成本，以使綜合利益達到最優。MACII等[3]提出了全數檢驗中產品供求雙方風險計算公式,以進行風險控制。PHILLIPS等[4]基于誤判風險研究了產品接收區域的選擇方法。KOSHULYAN等[5]為平衡產品供求雙方風險提出了計算產品接收限的近似公式。ZANOBINI[6]將貝葉斯方法引入到不確定度評定及產品合格判定中。DING等[7]通過對測量不確定度中系統性效果的單調性進行研究，建立了合格判定新規則。DJAPIC等[8]提出了對產品風險管理實行標準化的方法，綜合使用統計模型和非統計模型表示測量不確定度的影響。陳繼鋒等[9]建立了誤判率函數表，以指導產品可靠性分析。余學鋒等[10]通過過程能力指數、測試不確定度比等參數得到了產品誤判風險。黃英等[11]研究了以擴展不確定度包含頻帶為基礎的產品合格判定新方法。陳曉懷等[12]研究了全數檢驗中單件產品合格判定及誤判率估計方法。

綜合分析現有研究成果[1-12]可知，產品檢驗的誤判風險研究已逐漸由定性分析發展到定量計算，但當前研究內容普遍基于全數檢驗情況，尚無文獻涉及基于抽樣檢驗的情況。抽樣檢驗具有工作量小、成本低、效率高的優點，尤其適用于生產批量大、自動化程度高、產品質量比較穩定的情況，對抽樣檢驗誤判風險進行量化評估，對產品質檢工作的提質增效具有重大意義。

本文對抽樣檢驗方法及誤判風險來源進行綜合分析，在此基礎上，以計數型抽樣檢驗為對象，研究測量不確定度引起的誤判風險。

1 抽樣檢驗風險分析

1.1 抽樣檢驗方法概述

根據檢驗判據的不同，抽樣檢驗方法可分為計數型抽樣和計量型抽樣，其中，發展最成熟、應用最廣泛的是計數型抽樣。盡管根據適用情況不同，計數型抽樣又可進一步細分為計數標準型、計數挑選型和計數調整型等多種方案，但各種計數型抽樣方案本質上均可用一組參數(n，Ac，Re)表示[13]。其中，n為從一批產品中抽取的樣本數，Ac為接收數，Re為拒收數。設，經檢驗，抽取的樣本中有d件不合格品，當d≤Ac時，將整批產品作為合格批接收；當d≥Re時，將整批產品作為不合格批拒收；當Ac

1.2 抽樣檢驗風險分析

抽樣方法本身特點造成檢驗結果必然存在風險。抽樣方法造成的風險包括兩方面：第一，在合格批中可能存在不合格品，在不合格批中可能存在合格品。承擔這種風險是抽樣檢驗得以應用的前提。在進行抽樣檢驗時，只需保證判定為合格的產品批中不合格品率不高于用戶規定即可。第二，不合格品率低于用戶規定的產品批可能被誤拒收，不合格品率高于用戶規定的產品批可能被誤接收。這種風險與抽樣方案的選擇有關。國家標準中推薦的抽樣方案，已將該風險控制在供求雙方均可承擔的范圍內。

本文研究的誤判風險與上述兩種風險不同，主要關注在國家標準推薦的抽樣方案下，測量不確定度對抽樣檢驗合格性判定結果的影響。根據GB/T 18779.1-2002，測量不確定度對單件產品檢驗的影響見圖1。受測量不確定度影響，在產品公差下限TL和公差上限TU附近，產生了以產品檢驗擴展不確定度U為半寬的不確定區。當測量結果最佳估計值位于圖1中1、2區域時，可能將不合格品誤判為合格品而誤接收；當測量結果最佳估計值位于圖1中3、4區域時，可能將合格品誤判為不合格品而誤拒收。文獻[12]已對單件產品的合格性判定及誤判率計算進行了系統論述。

圖1 測量不確定度對單件產品合格性判定影響Fig.1 The influence of measurement uncertainty on the conformity assessment of the single product

抽樣檢驗判定的對象是產品批。單件產品合格性的誤判，可能造成對樣本中不合格品數的誤估計，進而造成對產品批合格性的誤判。

經檢驗，樣本中不合格品數為d件，考慮測量不確定度造成的誤判，樣本中真實的不合格品數為dz件，對于判定為合格的產品批，誤接收的條件為

(1)

對于判定為不合格的產品批，誤拒收的條件為

(2)

根據式(1)、式(2)，分別針對檢驗前誤判率預估和檢驗后產品批誤判率計算兩種情況，提出誤判率計算公式。

2 檢驗前誤判率預估

產品檢驗前，樣本的測量結果及合格性均未知，送檢產品批既可能被判為合格，也可能被判為不合格，誤接收不合格批和誤拒收合格批的誤判率均可能存在，共同表征測量不確定度對抽樣檢驗的影響。檢驗前，可參考產品質量控制信息及產品檢驗測量不確定度，對兩類誤判率進行預估，從而靈活配置測量資源。

2.1 誤判率計算模型

設經檢驗，n件樣本中有d件不合格品；受測量不確定度的影響，不合格品中有i件誤判，合格品中有j件誤判。樣本中真實的不合格品數

dz=d-i+j

(3)

設產品批中任一件產品被判為合格的概率為Q1，被判為不合格的概率為Q2；對任一件合格品，測量不確定度造成誤判的概率為PCR；對任一件不合格品，測量不確定度造成誤判的概率為PPR，則

(4)

式中，Pdij為隨機事件“n件產品中，有d件產品被判為不合格，且被判為不合格的產品中有i件誤判，被判為合格的產品中有j件誤判”發生的概率。

(1)誤接收概率。由式(1)、式(3)可求出誤接收不合格批時d、i、j可能取值范圍：

(5)

用累加法計算誤接收不合格批的概率:

(6)

(2)誤拒收概率。由式(2)、式(3)可求出誤拒收合格批時d、i、j可能取值范圍：

(7)

用累加法計算誤拒收合格批的概率:

(8)

2.2 模型中參數計算

上述模型中，參數n、Ac、Re可根據抽樣檢驗條件直接由國家標準檢索獲得。Q1、Q2、PCR和PPR可通過產品質量控制信息及測量不確定度評定結果計算得到。

設產品加工過程統計受控，產品批中隨機抽取的某件產品測量結果最佳估計值為x，x服從正態分布N(μ，σ)，μ和σ分別表示產品質量特性值的平均值和標準差；產品檢驗中，產品公差下限為TL，公差上限為TU，則

(9)

(10)

設產品檢驗的合成標準測量不確定度為uc，考慮到產品檢驗過程受大量隨機因素的綜合影響，根據中心極限定理，測量不確定度的分布服從正態分布，PCR和PPR的計算公式為

(11)

(12)

3 檢驗結果誤判率計算

產品檢驗后，根據樣本中不合格品數，可確定產品批的合格性。對于判定為合格的產品批，僅可能存在誤接收的概率;對于判定為不合格的產品批，僅可能存在誤拒收的概率。誤判率計算結果可作為產品批合格判定結果的補充，使測量不確定度造成的產品批合格判定風險量化可知。

3.1 誤判率計算模型

根據樣本測量結果，參考公差限，可確定樣本中不合格品數為d。設不合格品中有d1件誤判，合格品中有d2件誤判。

當d≤Ac時，判定產品批合格，此時僅存在誤接收不合格批的概率，誤接收概率為

PSCR=P(d2-d1≥Re-d)

(13)

當d≥Re時，判定產品批不合格，此時僅存在誤拒收合格批的概率，誤拒收概率為

PSPR=P(d1-d2≥d-Ac)

(14)

式(13)、式(14)不存在一般的表示形式，當抽樣方案及具體測量結果不同時，其對應表示形式各不相同。實際檢驗中可用窮舉法計算誤判率，合格判定及誤判率計算流程見圖2。

圖2 抽樣檢驗合格判定及誤判率計算流程Fig.2 The flow of conformity assessment and misjudgment probability calculation for sampling inspection

圖2中，Pm為窮舉中第m種情況出現的概率，M為滿足條件的情況數。實際檢驗時，僅對測量結果位于圖1中不確定區的產品是否發生誤判的情況進行窮舉即可，窮舉數量通常較少。窮舉中每種情況出現的概率，可通過單件產品誤判率進行計算。例如，設PA、PB、PC分別是與產品A、B、C合格性相對應的誤判率，則隨機事件“產品A、B均發生誤判，產品C不發生誤判”對應的概率計算公式為PAPB(1-PC)。其他情況出現的概率可類比計算。

3.2 模型中參數計算

單件產品合格判定方法及其誤判率計算公式見表1，公式推導過程可參考文獻[12]。表1中，x為測量結果最佳估計值;F(y)為測量不確定度分布函數，其表達式為

(15)

表1 x位于不同區間時誤判率計算公式

4 實例分析

某零件厚度的公差要求為(50±0.02)mm，零件生產過程統計受控，產品質量特性值的平均值μ和標準差σ分別為50.0050 mm和0.0050 mm。

產品每次交付檢驗的批量大小N=280件，經供求雙方協商，接收質量限(AQL)為1.0，檢驗水平選擇一般檢驗水平Ⅱ級，采用一次抽樣正常檢驗。由GB/T2828.1-2012檢索抽樣方案為：n=32，Ac=1，Re=2，即檢驗時從整批產品中隨機抽取32件樣本，統計樣本中不合格品數d，當d≤1時，接收整批產品；當d≥2時，拒收整批產品。

4.1 檢驗前誤判率預估

由式(6)、式(8)推導過程可知，當抽樣檢驗方案(n，Ac，Re)及產品質量控制信息(μ，σ)均已確定時，抽樣檢驗誤判率PCWS、PCWJ是測量不確定度uc的函數。實際產品質量控制中，產品檢驗測量不確定度應基于產品公差要求選取，常用測量過程性能比表示測量不確定度與產品公差的關系。ISO22514-7標準中定義，測量過程性能比Q的計算公式為

(16)

參考GB/T18779.2-2004，取擴展不確定度U的包含因子k=2，由式(16)可得

(17)

實例中，TU-TL=0.04 mm，而Q的取值通常要求在10%～33%之間，由式(17)計算uc的取值范圍是：0.0010～0.0033 mm。依據式(6)、式(8)，抽樣檢驗誤接收概率PCWS、誤拒收概率PCWJ與uc的函數關系如圖3所示。圖3中，因為曲線2所示的PCWJ的變化范圍相比于曲線1所示的PCWS的變化范圍較小，所以對其數據進行10倍放大(見曲線3)，以便于觀察其變化趨勢。

1.PCWS 2.PCWJ 3.10PCWJ圖3 抽樣檢驗誤判率與測量不確定度關系Fig.3 The relationship between sampling inspection misjudgment probabilities and the measurement uncertainty

由圖3可知，當產品加工統計受控時，誤接收概率總大于誤拒收概率，且兩類誤判率均隨測量不確定度的增大而增大。

實例中，選擇坐標測量機進行產品檢驗，基于文獻[14]所述測量不確定度評定方法，評定產品檢驗測量不確定度uc=0.0023 mm，由此預估出：PCWS=0.36%，PCWJ=0.04%。

計算結果表明，對于任意一批送檢產品，可能有0.36%的概率誤接收，0.04%的概率誤拒收。

4.2 檢驗結果誤判率計算

對某批送檢產品進行隨機抽樣，經檢驗，32件樣本產品中有31件合格，1件不合格。不合格品數d≤1，可判定產品批合格。

根據表1，逐一檢查每件樣本測量結果，發現樣本中有3件產品可能存在誤判，如表2所示。

表2 樣本中可能存在誤判的產品測量結果及合格判定Tab.2 The measurement results and conformity assessment results of the products with misjudgment risks in sample

由表2可知，不合格品中誤判件數d1最大可能為1，合格品中誤判件數d2最大可能為2，d1和d2的取值組合可能滿足式(13)條件，因此判定該產品批合格存在誤判風險。

利用窮舉法，列出滿足式(13)條件的所有可能組合，共4種：

(1)C、B不發生誤判，A發生誤判；

(2)C、A不發生誤判，B發生誤判；

(3)C不發生誤判，A、B均發生誤判；

(4)C、A、B均發生誤判。

計算誤接收的概率：

PSCR=(1-PC)(1-PB)PA+(1-PC)(1-PA)PB+
(1-PC)PAPB+PCPAPB≈11.50%

為驗證誤判率計算結果的正確性，采用蒙特卡羅法，對產品合格性進行仿真，步驟為：

(1)通過正態分布，分別生成產品A、B、C的不確定度分布，則被測參數的真實值為不確定度分布區間中的隨機數。

(2)從產品A、B、C的分布中隨機抽取被測參數的真實值進行合格判定，統計真實不合格品數dz。

(3)反復重復步驟(2)，進行大樣本仿真。本例中，仿真實驗次數為106。

(4)對106次仿真實驗中，每次實驗出現的真實不合格品數dz的分布進行統計，如表3所示。

表3 仿真實驗結果統計

由合格判定條件可知，當dz≤1時，產品批合格；dz≥2時，產品批不合格，即判定其合格存在誤判。基于仿真結果，計算誤判率為

基于蒙特卡羅仿真計算結果與基于提出方法計算的誤判率11.50%大體一致，從而證明了提出誤判率計算方法的有效性。

由計算結果可知，受測量不確定度的影響，判定該批產品合格時存在11.50%的誤判風險。產品檢驗人員可參考該誤判率，進行進一步的檢驗判定，以保證接收產品批的可靠性。例如，可在樣本檢驗中采用增加重復測量次數求平均值的方法；或采用如文獻[15]所述的替代測量或補償測量等測量策略，合理減小產品檢驗測量不確定度，使樣本產品檢驗結果脫離不確定區。本例中，使用替代測量方法[15]將產品檢驗合成標準測量不確定度減小到0.0015 mm時，根據測量結果可判定產品A、B合格，且認為不存在誤判風險，從而可依據樣本檢驗結果較為可靠地判定整批產品合格。

5 結論

(1)抽樣檢驗中，受測量不確定度影響，單件產品的誤判會引起對樣本中不合格品數的誤估計，進而影響產品批的合格判定。

(2)抽樣檢驗中，誤接收和誤拒收的概率均隨測量不確定度的增大而增大。檢驗前，應對測量不確定度造成的兩類誤判率進行預估，從而合理選擇測量方法，靈活配置測量資源。

(3)對產品批進行抽樣檢驗時，應結合具體的測量結果，計算與產品批合格性對應的誤判率。當誤判率較大時，可對產品批進行進一步的檢驗判定，以保證產品質量的可靠性。

(4)未來研究中，在制定產品抽樣檢驗方案時，可考慮測量不確定度的影響，對抽樣檢驗方案進行合理改進。

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(編輯 袁興玲)

Calculation of Misjudgment Probabilities Caused by Measurement Uncertainties in Sampling Inspections

WANG Hanbin1,2CHEN Xiaohuai1LI Hongli1CHENG Yinbao1CHENG Zhenying1

1.School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering，2.Fujian Metrology Institute, Fuzhou,350003

To reasonably distribute measurement resources and improve the reliability of the product inspection results, misjudgment risks caused by measurement uncertainties in sampling inspection were evaluated. Different kinds of risks in sampling inspections were analyzed, and the influences of measurement uncertainties were mainly described. Misjudgment probability formulas were given, respectively for the pre-estimations before inspections and calculations after inspections. Taking product size conformity assessment as an example, misjudgment probabilities were calculated and analyzed. Results show that misjudgment probabilities for both acceptance and rejection in sampling inspection increase with the measurement uncertainties, measurement methods should be reasonably chosen before inspections according to acceptable misjudgment probabilities. For the conformity assessment results of specific product batch, corresponding misjudgment probability should also be calculated to ensure the reliability of product inspection results.

sampling inspection；conformity assessment；measurement uncertainty；misjudgment probability

2016-05-23

國家自然科學基金資助項目(51275148)；合肥工業大學青年教師創新項目(JZ2014HGQC0126)；中央高校基本科研業務費專項資金資助項目(JZ2016HGBZ0764)

TB92；TH124

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.07.012

王漢斌，男，1989年生。合肥工業大學儀器科學與光電工程學院博士研究生,福建省計量科學研究院工程師。主要研究方向為現代精度理論及應用。E-mail：wanghanbinbin@163.com。陳曉懷，女，1954年生。合肥工業大學儀器科學與光電工程學院教授、博士研究生導師。李紅莉，女，1976年生。合肥工業大學儀器科學與光電工程學院講師。程銀寶，男，1984年生。合肥工業大學儀器科學與光電工程學院博士研究生。程真英，女，1980年生。合肥工業大學儀器科學與光電工程學院講師。