多層漸進黑白拓撲優化設計方法

付永清 張憲民

1.華南理工大學設計學院，廣州，5106402.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州，510640

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多層漸進黑白拓撲優化設計方法

付永清1張憲民2

1.華南理工大學設計學院，廣州，5106402.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州，510640

提出一種多層漸進黑白(0-1)拓撲優化設計方法。采用SIMP方法松弛設計變量，利用靈敏度過濾消除棋盤格。將拓撲圖中無效的中間單元看成多余材料，在此基礎上，采用體積比多層延拓方案，逐步逼近優化問題的目標體積比，同時，利用基于相對密度的單元漸進篩選方法，分層地去除設計域中的無效材料，保留其中的最有效材料，并逐層縮小拓撲優化模型的可利用材料域。通過這種方式，使0-1拓撲設計轉化為具有連續設計變量的多層漸進拓撲優化過程，從而最終得到滿足目標體積比的黑白拓撲。最后，以柔性最小化及柔順機構拓撲設計問題為例，進行了算法驗證，結果表明該算法能夠實現較好的0-1收斂效果。

黑白拓撲；優化設計；SIMP；多層；漸進

0 引言

目前，拓撲優化方法已經成為尋求經濟又適用的拓撲結構形式的一種有效又實用的方法[1-2]。這種方法通常以有限元分析為基礎，在拓撲優化的初始階段，首先將設計域離散成一定數量的有限元網格，再利用優化算法確定單元材料的保留與刪除，以滿足預定的目標和約束條件。由于生產制造的原因，通常希望所得到的拓撲結果具有清晰勻質的黑白(0-1)設計模式。因而需要利用能夠處理大量離散變量的整數規劃方法，如遺傳算法[3]，模擬退火算法[4]，漸進算法[5]等，尋找優化問題的可行解。但是，這類方法的不足之處在于計算量太大，并可能導致棋盤格或微穿孔現象出現。因此，為了減小求解過程中的困難，又發展了松弛法，如均勻化方法[6]和SIMP方法[7]，以便可以采用基于連續變量的數學規劃方法進行求解。其中，均勻化方法設計變量繁多，同時也可能產生棋盤格或微穿孔問題。而SIMP方法具有概念簡單、計算效率高的特點，是目前拓撲優化領域應用最廣泛的一種松弛方法[2]。不過，由于它的優化結果中容易出現灰色的中間單元(雖然通過增大該方法中懲罰因子的取值可以促使中間密度值趨近0和1，但較大的參數值同樣將引起棋盤格的出現)，因此在優化過程中還必須同時采用一些約束方法[2]，以確保拓撲圖中材料分布的連續性。然而由于這些約束方法又將導致拓撲圖中容易出現灰色邊界[2,8]，因此，為了能夠得到所期望的0-1拓撲，研究人員在松弛設計變量的基礎上，又相繼提出了一些解決中間單元問題的方法。如閾值法[9]，在優化模型的目標函數[10]或約束條件[11]中追加顯式懲罰函數方法，混合的SINH方法[12]，修改最佳準則表達形式的啟發式算法[13]，二階段方法[14]，基于圖像過濾技術的方法[15-16]，單元連結參數化方法[17]和基于標準化元素的方法[18]等。從它們的優化結果來看，這些方法依然不能獲得滿意的0-1拓撲圖。另外，還有基于曲線的方法，其中以水平集方法為代表[19]，但這種方法也具有初始敏感性，不能生成新孔，以及難以收斂到不光滑的角點等缺陷。除了上述方法之外，還有模擬退火和SIMP相結合的方法[20]，利用序列整數規劃進行后處理的方法[21]，以及基于復雜形狀梁單元及圖形理論的方法[22]等，這幾種方法的共同之處是將松弛法和整數規劃法相結合，因此也無法避免拓撲圖中出現棋盤格或微穿孔現象，并且計算量較大。綜上可知，解決中間單元問題的最佳方法仍有待研究。

因此，本文提出一種多層漸進黑白(0-1)拓撲優化設計方法。該方法采用SIMP方法松弛設計變量，利用靈敏度過濾消除棋盤格。算例驗證結果表明，本文算法能夠實現較好的0-1收斂效果。

1 多層漸進黑白拓撲優化方法

多層漸進方法的基本思想是，在將無效的中間單元看成多余材料的基礎上，采用體積比多層延拓方案[23]，逐步逼近優化問題的目標體積比，同時，利用基于相對密度的單元漸進篩選方法[23]，分層地去除設計域中的無效材料，保留其中的最有效材料，并逐層縮小拓撲優化模型的可利用材料域，直至得到滿足目標體積比的0-1拓撲。

1.1 體積比多層延拓方案

假定目標體積比為θ，初始階段的拓撲優化層數為j=1，體積比為θ1，且θ1略大于θ，則體積比多層延拓方案可表示為

θj+1=max(αθj,θ)j≥1

(1)

其中，θj為第j層的體積比,α為體積比多層延拓因子，0 <α< 1，并且，在多層漸進拓撲優化過程中，α隨層數j變化如下：

α=min(α0+(j-1)Δα,αu)

(2)

其中，αu為α的上限，以確保θJ-1及θJ(J為拓撲優化的總層數)精確取值為θ，α0為體積比延拓因子初值，且0<α0<1，Δα為體積約束延拓因子增量，且0<Δα<1。在實際應用中，為了確定α0和Δα的取值，需要首先給定總層數J的取值，另一方面，為了實現穩定的0-1收斂，第J層所需刪除的單元數應為零，且第J-1層擬刪除的單元數應盡可能地少。本研究中，選擇第J-1層擬刪除的單元數為1～5。

1.2 基于相對密度的單元漸進篩選方法

假定將設計域離散成N1個有限單元，{ρi}(i=1,2,…,N1)為第j層拓撲優化模型的最佳解，其中ρi為單元i的相對密度，且遵循SIMP松弛方法，因此任一ρi值滿足：

0<ρmin≤ρi≤ρmax=1

(3)

式中，ρmin為單元密度下限，其作用是防止剛度矩陣奇異；ρmax為單元密度上限。

根據SIMP方法，ρi對優化問題的貢獻可通過單元剛度矩陣Ki進行衡量[7]，即

(4)

P∈Z,P>1,i=1,2,…,N1

式中，Ve為實心單元的材料體積；D為彈性矩陣；B為實心單元內任一點的應變矩陣；P為懲罰因子。

式(4)表明，和低密度單元相比，高密度單元對優化問題有更大的貢獻，因而單元相對密度取值大小可作為單元漸進篩選依據，以刪除設計域中的無效材料，保留其中的最有效材料。按從小到大的順序對{ρi}進行重新排序，可得

(5)

i′=1,2,…,N1

然后從密度最小的單元開始，刪除一定數量的低密度單元，直至設計域中所保留的單元數Nj+1等于第j層拓撲優化所期望的實心單元數，即有

(6)

式中，V0為設計域的總體積。

考慮到Nj+1為正整數，并且所刪除的單元應為中間單元，將式(6)改寫為[23]

(7)

其中，符號[·]表示取整運算。所有Nj+1個保留單元的集合構成第j+1層拓撲優化模型的可利用材料域Ωj+1，Ns是第j層優化解中密度為ρmax的單元數。由于第j+1層拓撲優化是在第j層拓撲優化最佳解的基礎上進行的，因此，由Ns個密度為ρmax的單元構成的集合Ωj+1,2在下一層優化中恒定不變。

1.3 多層漸進黑白拓撲優化模型

綜合多層漸進方法，可得優化問題第一層拓撲優化模型為

(8)

式中，K為整體剛度矩陣，且K=∑Ki；ρ為由ρi構成的列向量；f(ρ)為目標函數；F為僅在載荷輸入點有非零元素Fin的力向量；U為Fin作用下的節點位移矢量；Fd為僅在位移輸出點有非零單位虛擬載荷Fout的力向量；Ud為Fd作用下的節點位移矢量。

對于柔順機構設計問題，為使其既有足夠大的剛度又有足夠大的柔性，可將f(ρ)表示為[14,24]

(9)

Es(ρ)=UTKU

(10)

(11)

式中，Es為系統的應變能[2]；Ems為系統的互應變能。

當j≥2時，優化問題第j層拓撲優化模型為

(12)

式中，Ωj(j≥2)為優化模型的可利用材料域;Ωj,2為可利用材料域中密度為ρmax且恒定不變的單元集合;ΩjΩj,2為第j層優化模型可利用材料域中密度可變的單元集合；Ω1Ωj為第j層優化模型中所有已刪除的單元集合。

2 多層漸進黑白拓撲優化最佳準則

結合傳統的拓撲優化最佳準則[2]和多層漸進方法，可以得到第j+1層優化迭代中的密度更新準則為

(13)

(14)

(15)

其中，?f/?ρi為目標函數的靈敏度，根據式(9)和式(10)可得[2,14,23-24]

(16)

(17)

此外，K(0)為實心單元的剛度，udi為單元i的虛擬位移，γ是拉格朗日乘子，可利用雙截面算法調節，以使ρt+1滿足體積約束，即[2,23,25]

(18)

3 靈敏度過濾

為了消除拓撲圖中的棋盤格現象及確保拓撲優化解的存在性，采用靈敏度過濾算法對各單元靈敏度進行修正，即[2]

(19)

i=1,2,…,N1

其中，Ne為單元i的鄰域, 該鄰域內的各單元中心到單元i的中心的距離小于或等于過濾半徑R，Hj是卷積因子，有[2]

Hj=R-‖xj-xi‖

(20)

式中，xi為單元i的中心坐標。

4 優化過程

多層漸近0-1拓撲優化過程如下：①建立第一層拓撲優化模型； ②對拓撲優化模型進行有限元分析，并得出體積約束和優化目標的靈敏度；③對優化目標的靈敏度進行過濾，以消除拓撲圖中的棋盤格；④基于最佳準則更新設計變量；⑤重復步驟②～步驟④，直到優化迭代收斂；⑥判斷拓撲優化最大迭代數或前后兩次迭代的單元密度變化最大值小于一個閾值,或當前層刪除單元數為零的條件是否滿足，若滿足則終止循環并輸出結果，否則繼續執行以下步驟；⑦建立下一層拓撲優化模型； ⑧重復步驟②～步驟⑦，如此不斷縮小拓撲優化模型的可利用材料域，直至得到滿足目標體積比的理想的柔順機構0-1拓撲圖。

圖1 多層漸進0-1拓撲優化設計流程圖Fig.1 Flowchart of multi-level evolutionary approach for the 0-1 topology optimization design

圖1為多層漸進0-1拓撲優化設計過程流程圖。數值經驗表明，設計問題的拓撲構成主要由第一層優化確定，因此，相較于后續各層來說，第一層優化迭代次數應選取更大的值。而且，在多層漸進方法中，多余的材料體積由待刪除的中間單元構成，因此第一層拓撲優化的體積比只需取為稍大于目標體積比即可。另一方面，為了測量本文算法的0-1收斂效果，采用優化結果中的中間單元數N和非空單元的密度平均值ρa作為評價指標。其中，ρa定義為[16]

(21)

式中，Nn為優化結果中的非空單元數。

5 算例

5.1 MBB梁

圖2所示為MBB梁設計域，大小為600 mm×100 mm，材料的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，載荷Fin為10 N，目標體積比θ為0.5，過濾半徑為0.15[16]。第一層的迭代次數取為100，后續各層的迭代次數取為20。拓撲優化方法采用相對密度法，懲罰因子設為3，優化目標是得到具有最小柔性的MBB梁的0-1最佳拓撲圖。

圖2 MBB梁設計域Fig.2 Design of MBB

優化問題采用四節點正方形單元進行求解，網格離散為180×30、240×40、300×50和360×60四種方式。首先采用傳統最佳準則法求解拓撲優化問題，拓撲結果如圖3所示。從圖3中可以看出，優化結果中有明顯的灰度區域，說明存在較多的中間單元。為此采用本文算法，在每一種離散方式中，對參數θ1、J、α0和Δα選取兩組數值，如表1所示。其中，α0和Δα由θ1、J以及第J和第J-1層擬刪除的單元數確定；選取α的上限值αu為0.998。最佳拓撲結果及數值解分別如圖

(a)180×30網格 (b) 240×40網格

(c)300×50網格 (d) 360×60網格圖3 基于傳統最佳準則法的MBB梁最佳拓撲結果Fig.3 Optimal topology of MBB based ontriditional optimum criterion

表1 多層漸進方法參數設置及數值解

4及表1所示。同時，目標函數和體積約束收斂過程分別如圖5和圖6所示。從圖4可以看出，優化結果中沒有出現明顯的與中間密度值相關聯的灰色區域，所有的拓撲圖均具有清晰的黑白(0-1)設計模式。這是因為多層漸進方法將無效的中間單元看成多余材料，在此基礎上，結合體積比多層延拓和基于相對密度的單元漸進篩選方法，分層地去除設計域中的無效材料，并保留其中的最有效材料，同時不斷縮小拓撲優化模型的可利用材料域，因而隨著優化層次的更新，拓撲圖中的中間單元數不斷減少，而實心單元數則不斷增加，最終得到較滿意的黑白拓撲。從圖4還可看出，當參數θ1、J、α0和Δα變化時，無論網格密度是否變化，拓撲結果圖均非常相似。這是由于在多層漸進方法中，MBB梁的拓撲構成主要由第一層優化確定，因而易于保證拓撲結果的恒定性。另外，從表1可見，所有的拓撲圖均滿足體積約束，且目標函數值相對恒定，雖然仍有少數中間單元存在，但其非空單元的密度平均值均以較高精度趨近于1，因而0-1收斂效果較好。再結合圖5和圖6可知，優化問題的目標函數和體積約束均能實現穩定的收斂。綜上可見，本文算法對于柔性最小化問題的0-1拓撲設計是可行的。

(a)180×30，θ1=0. 505，J=6,α0=0.9956，Δα=0.0013

(b)180×30，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017

(c)240×40，θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(d)240×40，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017

(e)300×50，θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(f)300×50，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017

(g)360×60，θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(h)360×60，θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017圖4 MBB梁最佳拓撲結果Fig.4 Optimal topology of MBB

(a)θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(b)θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017圖5 MBB梁目標函數收斂過程Fig.5 Converge process of objective of MBB

(a)θ1=0. 505，J=6，α0=0.9956，Δα=0.0013

(b)θ1=0.510，J=7，α0=0.9927，Δα=0.0017圖6 MBB梁體積約束收斂過程 Fig.6 Converge process of volume of MBB

5.2 柔順力轉換機構

圖7所示為柔順力轉換機構設計域，大小為120 mm×120 mm，材料的彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，輸入載荷Fin為10 N，目標體積約束比θ為0.25，過濾半徑為2.5[15]，輸入輸出彈簧剛度分別為1和0.001。此外，第一層的迭代次數取為300，后續各層的迭代次數取為20。由于對稱性，僅對下半個設計域進行拓撲設計，拓撲優化方法仍采用相對密度法，懲罰因子設為3，優化目標是得到既有足夠大剛度又有足夠大柔性的柔順機構0-1最佳拓撲圖。

圖7 柔順力轉換機構設計域Fig.7 Design of compliant force inverter

仍采用四節點正方形單元對優化問題進行求解，網格離散為120×60和180×90兩種方式。首先采用傳統最佳準則法求解拓撲優化問題，拓撲結果如圖8所示。從圖8中可以看出，優化結果中有明顯的灰度區域，說明存在較多的中間單元。為此采用本文算法，在每一種離散方式中，分別對參數θ1、J、α0和Δα選取四組數值，如表2所示。其中，α0和Δα由θ1、J以及第J和第J-1層擬刪除的單元數確定。并且，α的上限值αu仍取為0.998。最佳拓撲結果如圖9和圖10所示，相應的數值解如表2所示。另外，目標函數和體積約束收斂過程分別如圖11和圖12所示。由圖9和圖10可見，優化結果均為所期望的黑白(0-1)設計模式。無疑，這也是由于在多層漸進方法中，通過體積比多層延拓和單元漸進篩選相結合的方式，使拓撲圖中的中間單元逐漸趨近0或1，從而得到較理想的黑白拓撲。同時，從這兩個圖還可看出，當參數θ1、J、α0和Δα變化時，拓撲結果圖也都有較好的相似性。顯然，這也是由于柔順機構的拓撲構成主要取決于第一層優化的原因。另外，由表2可見，所有的拓撲圖也都滿足體積約束，且目標函數值也恒定，盡管仍存在少數中間單元，但其非空單元的密度平均值均以較高精度趨近或約等于1，因此同樣具有較好的0-1收斂效果。結合圖11和圖12進一步可知，目標函數和體積約束都能穩定收斂。由上可知，本文算法對于柔順機構問題的0-1拓撲設計是可行的。

(a)120×60 (b)180×90圖8 基于傳統最佳準則法的柔順力轉換機構梁最佳拓撲結果Fig.8 Optimal topology of compliant force inverter based ontriditional optimum criterion

表2 多層漸進方法參數設置及數值解

(a)θ1=0.260，J=6，α0=0.9816，Δα=0.0058

(b)θ1=0.260，J=7，α0=0.9854，Δα=0.0034

(c)θ1=0.265，J=6，α0=0.9722，Δα=0.0089

(d)θ1=0.265，J=7，α0=0.9779，Δα=0.0053圖9 120×60網格柔順力轉換機構最佳拓撲結果Fig.9 Optimal topology of compliant force inverter with 120×60 mesh

(a)θ1=0.260，J=6，α0=0.9816，Δα=0.0058

(c)θ1=0.265，J=6，α0=0.9722，Δα=0.0089

(d)θ1=0.265，J=7，α0=0.9779，Δα=0.0053圖10 180×90網格柔順力轉換機構最佳拓撲結果Fig. 10 Optimal topology of compliant force inverter with 180×90 mesh

(a)J=6

(b)J=7圖11 柔順力轉換機構目標函數收斂過程Fig.11 Converge process of objective of compliant force inverter

(a)J=6，120×60，180×90

(b)J=7，120×60，180×90圖12 柔順力轉換機構體積約束收斂過程Fig.12 Converge process of volume of compliant force inverter

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(編輯 王艷麗)

Multi-level Evolutionary approach for the Black-and-white Topology Optimization Design

FU Yongqing1ZHANG Xianmin2

1.School of Design，South China University of Technology, Guangzhou, 510640 2.School of Mechanical and Automotive Engineering,South China University of Technology, Guangzhou, 510640

A multi-level evolutionary method for the 0-1 topology optimization design was proposed. The binary constraints on design variables were relaxed based on the scheme of SIMP. And the checkerboards were filtered and removed by sensitivity. The ineffective intermediate elements were considered as redundant materials. Then, a multi-level continuation scheme on the volume ratio was used to approach the objective volume ratio of the optimization problem gradually. Meanwhile, based on relative densities an evolutionary screening strategy for elements was applied to remove ineffective materials in the design stratified, to remain the most effective materials, and to diminish the available material domains of topology optimization models with the changing layers. By this way, the 0-1 topology design was transformed into a multi-level evolutionary procedure of the topology optimization. Consequently, a preferable black-and-white topology satisfying the objective volume ratio could be obtained as expected. Finally, numerical examples of the topology design including compliance minimization and compliant mechanism problems were employed to verify the feasibility of the proposed method. The results demonstrate that the present method may achieve a relatively good 0-1 convergent effect.

black-and-white topology; optimization design; solid isotropic material with penalization; multi-level; evolutionary

2016-07-20

國家自然科學基金資助項目 (51275174)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.11.007

付永清，女，1968年生。華南理工大學設計學院副教授。主要研究方向為柔順機構拓撲優化及拓撲圖提取。張憲民,男，1964年生。華南理工大學機械與汽車工程學院教授、博士研究生導師。