滾筒洗衣機懸掛系統動力學建模與實驗

王 豪 劉 雷

南京航空航天大學機電學院，南京,210016

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滾筒洗衣機懸掛系統動力學建模與實驗

王 豪 劉 雷

南京航空航天大學機電學院，南京,210016

考慮上配重對洗衣機懸掛系統振動的影響，基于拉格朗日方程，對該系統進行動力學建模。進行了多工況下的洗衣機筒體振動測量實驗，以實驗得到的筒體振幅隨轉速變化的關系曲線為目標，對數學模型進行了參數修正。通過數值仿真與實驗結果的對比分析，驗證了動力學模型的正確性。

滾筒洗衣機;懸掛系統；上配重；動力學模型；振動測量

0 引言

滾筒洗衣機脫水時的振動大小直接影響消費者的體驗，是衡量洗衣機性能優劣的重要指標。為研究其振動問題，可以將滾筒洗衣機懸掛系統看作一個多自由度振動系統。對該系統進行動力學建模，可以明確分析各參數對洗衣機振動的影響，便于開展減振方法的研究。

文獻[1]運用拉格朗日方程建立了洗衣機三自由度平面運動微分方程，并基于振型疊加法推導了方程動力響應的求解公式，利用公式可以較為方便地進行系統動力學分析。文獻[2]利用矢量法和拉格朗日方程建立了洗衣機系統六自由度動力學模型，利用該模型進行數值仿真，分析了各關鍵部件對洗衣機振幅的影響規律。文獻[3]運用第二類拉格朗日方程，建立了帶有磁流變阻尼器的滾筒洗衣機平面振動模型，通過數值求解分析了瞬態脫水振動特性，提出了振動控制綜合效果較好的加速時間常數。文獻[4]運用拉格朗日方程建立了洗衣機六自由度懸掛系統的動力響應方程，為虛擬樣機仿真分析提供了理論依據。文獻[5]運用牛頓第二定律建立了滾筒洗衣機關于旋轉平面的動力學方程，通過試驗驗證了模型正確性，并基于遺傳算法對洗衣機參數進行了優化設計。

以往的數學建模通常將滾筒洗衣機外筒上部配重的質量并入筒體，仿真結果顯示此時筒體水平振幅與垂向振幅接近。而實際洗衣機運行時，上配重相對于筒體是個不平衡質量，會導致筒體垂向振幅明顯大于水平振幅。本文通過拉格朗日方程建立了滾筒洗衣機的三自由度振動微分方程，建模時將上部配重與筒體分開，單獨考慮上配重動能與勢能，使得數學模型能夠反映實際洗衣機的這一振動特性。同時，本文進行了多工況下的洗衣機筒體振動測量實驗，以實驗測得的筒體振幅隨轉速變化的關系曲線為目標，對數學模型參數進行了修正，使其在多工況下脫水的穩態響應與實際情況基本一致。

1 懸掛系統力學模型

1.1 基本假設

滾筒洗衣機懸掛系統由外筒、內筒、彈簧、阻尼、配重以及電機等組成，作如下假設：①將懸掛彈簧和阻尼器視為理想元件，忽略其質量和運動副間的摩擦力(阻尼器除外)；②將外筒、前配重以及電機組視為一個整體，統稱為外筒；③將外筒與內筒視為剛體，旋轉軸為同一軸線；④彈簧與箱體，阻尼器與箱體的連接點為固定點；⑤脫水工作時，衣物視為定質量質點，且與內筒保持相對靜止；⑥懸掛系統做平面運動，忽略其沿筒體旋轉軸方向的振動。根據以上假設建立的力學模型如圖1所示。

圖1 滾筒洗衣機懸掛系統力學模型Fig.1 Physical model of drum type washing machine’s suspension system

圖1中，mD1為外筒質量;mD2為內筒質量；m1為偏心衣物質量;m2為上配重塊質量;ω為內筒轉速;φ1、φ2分別為靜平衡時懸掛彈簧、阻尼器與y方向的夾角;L0、n0分別為靜平衡時懸掛彈簧、阻尼的長度;e為偏心質量旋轉半徑;x、α、θ為懸掛系統自由度。

1.2 動力學方程

應用拉格朗日方程建立振動微分方程[6]：

(1)

j=1,2,…,N

(1)懸掛系統動能為

(2)

式中，vG為外筒和內筒的質心速度；vm1為偏心質量質心速度；vm2為上配重質心速度；I1、I2、I3分別為外筒、內筒、上配重的轉動慣量。

(2)懸掛系統勢能為

(mD1+mD2+m1)gΔh+m2gΔh1

(3)

式中，Δh為將外筒、內筒、偏心質量看作整體后其質心的高度變化；Δh1為上配重質心的高度變化；k1為懸掛彈簧的剛度;g為重力加速度。

(3)懸掛系統能量散失函數。通常情況下，假設懸掛系統阻尼為黏性阻尼，黏性阻尼力與速度成線性關系，能量散失函數即為阻尼力在位移x3、x4上做的功，有

(4)

(4)懸掛系統振動微分方程。由于偏心質量產生的激振力已經表達為系統的動能和勢能形式，因此在式(1)等號右邊不再重復考慮這些激振作用力。應用矢量分析法對懸掛系統進行運動分析，點的位置矢徑對時間的一階和二階導數分別為點的速度和加速度向量。將系統動能、勢能以及能量散失函數表示為廣義坐標x、α、θ的函數，然后代入式(1)，根據小位移假設理論，整理可得系統的振動微分方程：

(5)

I1+I2+I3

m12=m21=0

m13=m31=-M′(ccosφ1-h1sinφ1)-

m2(h1+h3+h0)sinφ1m23=m32=-M′(csinφ1+

h1cosφ1)L0+m2(h1+h3+h0)cosφ1L0

r11=2r1(cos2φ2cos2φ1+sin2φ2sin2φ1)

r33=2r1[c2cos2φ2+d2cos2φ2+(h1+h2)2sin2φ2-

2d(h1+h2)cosφ2sinφ2]

r12=r21=2r1L0cosφ1sinφ1cos2φ2

r13=r31=2r1[-ccos2φ2cosφ1+

(h1+h2)sin2φ2sinφ1-dcosφ2sinφ2sinφ1]

r23=r32=2r1L0[-ccos2φ2sinφ1-

(h1+h2)sin2φ2cosφ1+dcosφ1sinφ2cosφ2]

k33=4k1c2cos2φ1+Mgh1-m2g(h0+h3)

k12=k21=k1L0sin2φ1cos2φ1

k13=k31=-2k1ccosφ1cos2φ1

k23=k32=-2k1L0ccosφ1sin2φ1

M′=mD1+mD2+m1+m2

M=mD1+mD2+m1

通過觀察可以發現，懸掛系統振動微分方程是耦合的，且矩陣中包含較多的結構參數，這給求解析解帶來很大困難。為此，本文采用Runge -Kutta法求得該懸掛系統振動微分方程的數值解。

2 洗衣機振動測量實驗

通常我們忽略洗衣機滾筒的軸向振動[7]，把洗衣機滾筒看作剛體，用滾筒上的點在懸掛平面中的運動狀態直觀地反映懸掛系統的運動狀態，尤其是滾筒質心。本文考慮實驗可行性，選取洗衣機外筒正上方一點作為測量點，以該點的振動響應表征洗衣機懸掛系統的振動響應。通過加速度計測量該點水平和垂向振動加速度，數據采集卡將采集到的信號輸入電腦，通過LabVIEW生成信號文件，處理后得到該點水平和垂向振動位移以及運動軌跡。

表1所示為實驗儀器參數。圖2、圖3分別為系統測試原理圖和數據處理流程圖。根據該型號洗衣機脫水轉速模式與洗衣重量設定了20種工況，如表2所示。本次實際稱取的衣物質量分別為0、1.060 kg、2.015 kg、2.955 kg、4.075 kg，見表3。

表1 實驗儀器

圖2 測試系統原理圖Fig.2 Schematic of measurement system

圖3 數據處理流程圖Fig.3 Flow chart of data processing

表2 工況列表

表3 衣物列表

設置采集卡采樣頻率為300 Hz，編號16301和16302的兩個傳感器分別測量出每種工況下該點在懸掛平面內的水平加速度信號和垂向加速度信號。

以工況Test15為例，最終得到的該點水平和垂向振動位移-時間曲線如圖4、圖5所示，以水平位移信號為橫坐標，垂向位移信號為縱坐標，可以得到該工況下測量點的運動軌跡，如圖6所示。若數學模型仿真得到的測量點振動穩態響應與實驗測量的一致，則說明數學模型能夠較好地反映物理樣機的振動特性。

圖4 Test15測量點水平振動位移-時間曲線 Fig.4 The curve of xt-t under Test15

圖5 Test15測量點垂向振動位移-時間曲線 Fig.5 The curve of yt-t under Test15

圖6 Test15測量點運動軌跡 Fig.6 Movement path of drum under Test15

3 數學模型參數修正及仿真與實驗對比

建立力學模型時進行了各種理想假設，現對數學模型工作狀態也進行如下假設：①洗衣機本身所有參數固定且不受輸入工況的影響；②對于一種工況，確定了偏心衣物質量，其質心的旋轉半徑也就固定，這一工況參數也和模型本身參數一樣不受輸入轉速的影響。

如表4所示，洗衣機的固定參數有尺寸、彈簧剛度、阻尼系數、各部分質量和轉動慣量等，數學模型直接調用這些參數。

表4 滾筒洗衣機參數

3.1 數學模型參數修正

實驗中衣物體積隨質量變化而變化，衣物質心旋轉半徑也隨之改變。以往的數學模型中，將衣物抽象為偏心質點，通常以內筒內側半徑為該質點旋轉半徑，這與實際情況差距較大，因此需要對數學模型中偏心質量質心的旋轉半徑進行修正。

基于工作狀態的假設，偏心衣物質心旋轉半徑不受洗衣機轉速的影響，只與衣物質量相關。實驗共有20種工況，將衣物質量相同的4種工況合并為一組工況，共5組工況。整理實驗數據，可以得出每組工況下筒體測量點振幅平均值隨轉速變化的趨勢，部分如圖7所示。

(a)m1=0

(b) m1=2 kg

(c) m1=4 kg圖7 測量點振幅平均值-轉速曲線Fig.7 The curve of A-n

以上述曲線為目標來修正數學模型參數，即在每一組工況下，以測量點的水平和垂向仿真振幅平均值組成向量f=(f1,f2,…,f8)，其中f1，f2，f3,f4分別為轉速在400 r/min，800 r/min，1000 r/min，1200 r/min時仿真水平振幅平均值，f5，f6,f7，f8為各轉速下仿真垂向振幅平均值，以實驗測得的振幅平均值組成目標向量g=(g1,g2,…,g8)，其中g1，g2,g3，g4分別為轉速在400 r/min，800 r/min，1000 r/min，1200 r/min時實測水平振幅平均值，g5，g6,g7，g8為各轉速下實測垂向振幅平均值，這兩個向量的距離為

以此來表征仿真和實驗結果的相似程度，建立該距離關于偏心質量質心旋轉半徑的函數:

找出距離最小時的偏心質量質心旋轉半徑，通過編程求得該距離函數與旋轉半徑的關系曲線如圖8所示。

(a)m1=0

(b) m1=2 kg

(c) m1=4 kg圖8 F(e)-e曲線Fig.8 The curve of F(e)-e

將旋轉半徑與實際情況相比較，若與實際差距較大，則適當調整偏心質量，重復上述步驟，以此確定合適的偏心質量和旋轉半徑，結果如表5所示。

表5 修正后數學模型在各組工況下的偏心質量和旋轉半徑

3.2 仿真與實驗對比分析

上配重并入筒體的數學模型為未改進模型，本文新建立的數學模型為改進后模型，對這兩種模型進行數值仿真，得到各工況下測量點的穩態響應。將仿真得到的每組工況下測量點振幅平均值隨轉速變化的趨勢與實驗結果進行對比，如圖9～圖11所示。將改進后數學模型在各工況下的測量點運動軌跡與實驗結果進行對比，如圖12所示。

(a)未改進

(b)改進后圖9 m1=0時仿真與實驗結果Fig.9 Simulation results and real measurements comparison under m1=0

(a)未改進

(b)改進后圖10 m1=2 kg時仿真與實驗結果Fig.10 Simulation results and real measurements comparison under m1=2 kg

綜合圖9～圖11可知，是否獨立考慮上配重對洗衣機筒體的垂向振幅無明顯影響，而對筒體的水平振幅影響甚大。以往建模時上配重質量并入筒體，整個筒體質量均勻對稱分布，此時筒體的水平振幅與垂向振幅數值相當接近，這種建模方式與仿真結果都與實際情況不相符。本文改進了建模方法，將上配重作為獨立剛體，考慮其動能與勢能，這樣整個筒體的質量不再均勻分布，筒體水平與垂向振動不平衡這一特性得到更加準確的反映。

(a)未改進

(b)改進后圖11 m1=4 kg時仿真與實驗結果Fig.11 Simulation results and real measurements comparison under m1=4 kg

對比改進后的仿真與實驗結果，可以發現，衣物質量為0時，兩個結果的垂向振幅值及其隨轉速變化的趨勢都存在較大誤差，可能原因：一是此工況筒體振動微弱，測量誤差較大；二是懸掛系統質量較小，各運動副阻力作用明顯。由于此工況實際使用中不常出現，且筒體振動微弱，研究意義不大，所以不再納入研究范圍。

其他組工況下，仿真得到的振幅值隨轉速變化的趨勢與實際測量基本一致。在400 r/min時筒體振動不穩定，此時垂向振幅最大，兩結果的垂向振幅相對誤差較大，最大達到13.71%。隨著轉速升高，筒體振動愈發穩定，垂向振幅逐漸減小，相對誤差在2%左右。另外，整體上兩結果在垂向振幅上的誤差要小于水平振幅的誤差。

(a)Test01 (b)Test09 (c)Test10

(d)Test11 (e)Test12 (f)Test17

(g)Test18 (h)Test19 (i)Test20圖12 測量點軌跡對比圖Fig.12 Comparisons of movement paths

結合圖12分析，運動軌跡對比的結果進一步驗證了上述觀點。大部分工況下，測量點仿真運動軌跡與實驗結果一致，說明隨著輸入工況的變化，數學模型的穩態響應與實際洗衣機的穩態響應一致，基于一系列假設建立的數學模型能夠較準確地反映實際洗衣機的振動特性。

考慮到垂向振幅明顯大于水平振幅，其對懸掛系統的振動影響更大，同時考慮部分結果誤差較大，在使用本文建立的數學模型指導進一步減振研究時，側重于將高轉速下的筒體垂向振動作為研究對象。

4 結語

本文考慮洗衣機上配重對懸掛系統振動特性的影響，使用拉格朗日方程建立了滾筒洗衣機懸掛系統的數學模型。通過實驗測量出洗衣機筒體上一點對脫水振動的穩態響應，以實驗結果為目標對數學模型的參數進行了修正。在對數學模型仿真結果與實驗結果進行對比分析后發現，本文建立的數學模型在參數修正后，能準確地反映多工況下的滾筒洗衣機的振動特性，可以指導滾筒洗衣機的減振研究。

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(編輯 王旻玥)

Dynamics Modeling and Experiments of Horizontal-axis Washing Machine Suspension System

WANG Hao LIU Lei

College of Mechanical and Electrical Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，210016

Considering the effects of top balancing weights of washing machine suspension system, a dynamics model of this system was set up with Lagrange equations. Experiments were designed to measure vibrations of washing machine drum under multiple working conditions. An modification for parameters of dynamics model was performed based on the relation curves between the vibration amplitudes and speeds of the drum. The results calculated by dynamics model were compared with those obtained by experiments. The validity of dynamics model was verified.

washing machine; horizontal-axis; suspension system; top balancing weight; dynamics model; vibration measurement

2016-07-12

O327；O329；TP391.9

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.11.009

王 豪，男，1991年生。南京航空航天大學機電學院碩士研究生。主要研究方向為滾筒洗衣機減振。劉 雷(通信作者)，男，1978年生。南京航空航天大學機電學院副教授。E-mail：liulei6278@163.com。