詩歌與數(shù)學

吳朝陽，數(shù)學博士，歷史學博士，計算機科學碩士，目前任教于南京大學。

在沒有書寫傳統(tǒng)的時代，要將重要的文本沒有差錯地傳給后人是相當困難的。而由于詩歌有固定的格律，文詞的改變會因其破壞原有格律而被察覺，所以，將文本編成詩歌的形式有助于在傳承過程中杜絕錯誤，人類最早的文學作品在形式上都是詩歌，正是由于這個原因。古印度文獻現(xiàn)存最古老的四大《吠陀》，其詩句數(shù)以萬計，但它們依靠其文本的格律特征口耳相傳，2000多年來沒有走樣地流傳到現(xiàn)在，可見詩歌格律在印度文化中的重要性。

古印歐語系的希臘語、拉丁語和梵語都是“長音

音節(jié)型”語言，也就是說，它們以發(fā)音的長短區(qū)分音節(jié)是否被強調。因此，其詩歌格律的特征是以每行詩句中長短音節(jié)序列的構成來刻畫的。這個特征使梵語得以擁有巨量的詩歌格律，古印度學者于是提出了關于詩歌格律理論上可能達到的數(shù)目及其分類的問題，而對這些問題考慮得很早而且深入的古印度學者是賓伽羅。

賓伽羅是一位公元前4世紀左右佛教重要的“中觀論”學者，但他所著的《檀陀經》重點討論的卻是關于詩歌格律的數(shù)學問題。賓伽羅不僅對描述現(xiàn)實存在的格律感興趣，而且想要研究所有理論上可能存在的格律，于是他提出問題：我們能夠想出多少種不同的格律？我們又如何用系統(tǒng)性的方法找出那些目前的詩歌中還沒有出現(xiàn)的格律？

賓伽羅的思考代表著數(shù)學思維的根基之一，他的研究是組合數(shù)學的源頭。現(xiàn)在全世界的中學和高等院校都在講授組合數(shù)學知識，然而其源頭出自詩歌這一事實，卻長期被人們所忽略。

梵語音節(jié)分長音節(jié)和短音節(jié)2種，一個長音節(jié)所占用的時問長度大約是短音節(jié)的2倍。在語言學中，衡量音節(jié)時間長度的單位稱為“音拍”，代表1個短音節(jié)所占用的時間。因此，1個短音節(jié)時長為1音拍，而1個長音節(jié)則是2個音拍。當然，由于人們的語速彼此相異，音拍只是相對的概念，不是一個可以用秒計量的物理時間單位。

音拍的概念確立之后，梵語詩句的格律可以這樣定義：

一種長音節(jié)與短音節(jié)的序列模式就是一種（詩句的）格律。

我們用“”表示1個長音節(jié)，而用“～”表示1個短音節(jié)，則我們可以將格律表示成圖形。例如，“～～-～-～-～-”是包含有5短、5長，10個短長音節(jié)相間的一種格律，時長總共是15個音拍，稱為“五音步抑揚格”。另一種出自古印度的格律名為“曼妙女郎”，它的格律形式為：“～～～～-～～-～-～”，它包含有8短、4長，總共16個音拍，它的名稱來自用該格律所寫的一首詩——一首年輕人在與戀人共度良宵之后問候戀人的詩歌。

賓伽羅的《檀陀經》考慮很多不同情形下詩歌格律總數(shù)的問題，其中一種是每行詩句的時長都相同的情形。也就是說，對某個自然數(shù)n，考慮時長同樣為n個音拍的詩行，計算具有n個音拍的詩句格律的數(shù)目——這就是“賓伽羅第一問題”：

總時長為n個音拍的格律總共有多少種？

這其實是計算一個特定集合的元素個數(shù)的問題。具體來說，這個集合的元素是理論上可能的格律，即長音節(jié)與短音節(jié)排成的序列，而每個這種序列的總音拍數(shù)是事先給定的自然數(shù)n。

數(shù)學研究的第一步通常是給研究對象命名。這里我們感興趣的對象是總時長為n個音拍的格律的總數(shù)，為方便討論，我們將“總時長為刀個音拍的格律總數(shù)”命名為A（n）。

對數(shù)學家而言，n確實是任意的自然數(shù)。為了討論的完整性，數(shù)學家也會考慮n=1及n=2這種與詩歌格律基本不相關的情形。然而，這些情形的答案是很容易得到。當=1時，唯一的可能是全句為1個短音節(jié)，因此A（1）=1。相似地，n=2時，詩句只能是2個短音節(jié)或1個長音節(jié)，因而A（2）=2，也就是說我們有：A（1）=1，A（2）=2。

現(xiàn)在，我們可以開始系統(tǒng)性地探討，嘗試著計算對n=3，4，5，6等情形A（n）的數(shù)目。例如，如果n=6，我們可以找出如下13種不同的格律。

我們很快會覺得這樣的列表實際上似乎沒有什么意義，對比較大的刀，可能的格律形式增長得太多，根本難以列舉——那時怎么才能知道我們的列表有沒有遺漏？因此，對任意的刀，另找出路才是確定A（）的聰明想法。數(shù)學家在攻克問題時有時會采用反向推導的辦法，下面我們就采用這種策略解決求解A（n）的問題。

如果觀察表1中的2組格律，也許有人會找到解決問題的思路。表中的第1組有5個格律，而第2組則有8個。這2組之間的區(qū)別在哪里？答案是：它們結束處的音節(jié)不同。第1組都是以長音節(jié)結束的格律，而第2組則全部都以短音節(jié)收尾。我們先來考察第1組：除去結束處的長音節(jié)，它們剩余部分的時長全部都等于4個音拍，可見，這一組其實就是所有的4音拍格律在最后添加1個長音節(jié)。因此，第1組格律的總數(shù)等于A（4）。相似地，第2組就是所有的5音拍格律在末尾添加1個短音節(jié)而得到的格律，因此第2組的數(shù)目等于A（5）。這樣，我們就得到一個關于A（6）的公式A（4）+A（5）=A（6）。

很顯然，對任何自然數(shù)刀，我們都可以進行類似的推導。對任何一種總時長為刀音拍的格律而言，它要么以長音節(jié)結束，要么以短音節(jié)結束。因此，時長為刀的格律之集合可以分成2組，一組以長音節(jié)結束，另一組以短音節(jié)結束。以短音節(jié)結束的格律可以以任意一種時長為n-1的格律開頭，因而這組格律的總數(shù)目等于A（n-1）。相似地，以長音節(jié)結束的格律的總數(shù)等于A（n-2）。因此，我們總結出如下公式：A（n-2）+A（n-1）=A（n）。

這個公式當n-2至少等于1的時候一定成立，或者說，它對所有n≥3都是正確的。這樣，我們匯總已有的結果，得到：A（1）=1，A（2）=2；A（n-2）+A（n-1）=A（n），對所有大干2的自然數(shù)n成立。

我們承認，上述公式并沒有直接告訴我們A（n）等于多少，但在某種意義上說，它已經解決了賓伽羅第一問題。這個公式描述了從關于A（1）和A（2）的“初始條件”出發(fā)，逐步計算A（n）的辦法：

A（3）=A（1）+A（2）=1+2=3，A（4）=A（2）+A（3）=2+3=5，

A（5）=3+5=8，A（6）=5+8=13，A（7）=8+13=21，如此等等。

總之，每一個A（n）都是它前面2個的和，而我們現(xiàn)在可以肯定表1中沒有任何遺漏，因為上述計算結果證實：A（6）確實等于13。

只要略微有點耐心，我們不難計算出A（16）=1597，從而得到總時長為16個音拍的格律的總數(shù)。前文提到的“曼妙女郎”這種古老的印度格律，只是所有理論上可能的1 597種16音拍格律中的1種。

作為賓伽羅第一問題的答案，A（n）在公元前就以晦澀的語言描述出現(xiàn)在《檀陀經》中。在西方，1，2，3，5，8，13，21，34…，這個后一項等于前兩項之和的數(shù)列多次被重復發(fā)現(xiàn)，由于不知道印度人早在1 000多年前就發(fā)現(xiàn)了這個數(shù)列，法國數(shù)學家愛德華·盧卡斯（1842-1891）將這個數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。

在某個情形的思考可能被應用于幾乎毫不相關的另一情形，這是數(shù)學一個引人入勝的方面。上述的格律計數(shù)問題就在許多其他情況下出現(xiàn)，我們下面舉2個例子。

（1）花園小路問題。假設我們要給花園小路鋪上長方形磚塊（如圖1所示），磚塊的方向既可以與小路相同（以下稱“橫向”），也可以與小路的方向相垂直（以下稱“豎向”）。那么問題來了：用16塊磚可以鋪出多少種不同的樣式呢？

這個問題與上述賓伽羅第一問題是很相似的。1塊豎向的磚可以對應于1個短音節(jié)，而2塊橫向的磚則構成1個對應著1個長音節(jié)的單元。長音節(jié)的時長是短音節(jié)的2倍，而1個橫向單元則總共有2塊磚。小路由單塊豎向磚與雙塊橫向單元的序列所構成，而格律由單音拍的短音節(jié)與雙音拍的長音節(jié)排列而成，二者恰可類比。因此，由這種相似性我們可以得到這樣的結論：16塊磚橫鋪和豎鋪，總共可以鋪成的A（16）種，即1 597種不同花樣的花園小路。

（2）郵差登樓問題。郵遞員每天需要登上同一個共有16個梯級的樓梯去投遞郵包。他上樓時有時1步只上1個梯級，有時則1步跨上2個。為了讓工作有些趣味，他決定每天用1種不同的單梯級與雙梯級序列上這個樓梯。他的問題是：不同的單梯級與雙梯級的序列總共有多少種？

略加思考我們就會發(fā)現(xiàn)，這個問題與賓伽羅第一問題相似，與花園小路問題同樣也相似，因此，3個問題的答案是一樣的，即A（16）=1597。