開放學習時空，促進學生形成自己的理解

郭桂麗

摘要：如何精心地設計我們的教學，去建構一種適合概念生成的教學策略，讓學生能在概念的發生、發展和同化過程中，領悟數學，運用數學，形成數學的理解力呢？本文通過“方程的根與函數的零點”課例，探討如何緊扣概念教學過程中的關鍵節點，聚焦概念教學設計，探索學生形成數學概念理解的有效方法。

關鍵詞：數學教學；教師；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）03-0111

如何精心地設計我們的教學，去建構一種適合概念生成的教學策略，讓學生能在概念的發生、發展和同化過程中，領悟數學，運用數學，形成數學的理解力呢？本文通過“方程的根與函數的零點”課例，探討如何緊扣概念教學過程中的關鍵節點，聚焦概念教學設計，探索學生形成數學概念理解的有效方法。

一、立足起點處的“切入點”，誘發理解動機

學習者的數學概念學得怎樣，首先是其領悟數學的“起點”是否堅實。起點的確定，全憑教師對學生、對教材的細致“解讀”，及借助于對數學教學規律的感悟與把握，通過有效情境最大限度地降低學生的理解難度，減緩學生的思維坡度，誘發學生主動、積極思考。

【案例片斷1】函數“零點”概念的引入

師：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。從兩個不同的角度看，或觀察重點不同，得出了不同的結果。類似y=x-1，說出對不同角度的思考結果？

生：一次函數，圖像是一條直線。

師：不錯，從函數、圖像看的確如此，那么，我們還可以將它看成什么，又可得出什么？令y=0，得x=1，問“1”怎樣理解？……

【評析】從習得者的視角切入，營造概念認知的氛圍，在學生認知的“原有發生區”與“最近發展區”的過渡處設問，學生思維易激活，能盡快融入課堂活動中。

二、立足生成處的“生長點”，夯實理解基礎

對新數學概念的學習，有些可以直接用下定義的方式，有的卻不行，如本課的“零點”，定義雖簡單，卻包含著重要的數學思想。所以，概念的習得需要一個過程，經歷數學思想與數學概念的誕生與交融，也即學生原認知結構，需在不斷的問題解決與認知中，不斷同化、發展和完善。教學設計就須為此營造出適合學生基礎、激活學習興趣、具有一定思維力度的氛圍，立足于概念生成處，做好細致的思維鋪墊工作。

【案例片斷2】函數“零點”概念的形成

師：通過解方程x2-2x-3=0，易知它的根為-1和3，那么，它對相應的二次函數y=x2-2x-3的圖像有何作用？（即從“形”上看），從數的角度看，是什么？課本中，還將它稱為函數的什么？

生：方程的根，也稱之函數的零點。其實就是二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標。

師：是的，同是一個“數”，它在不同的背景下，我們有了不同的認識，你能簡單地將它們“串連”起來嗎？用誰來“判定”它們的不同情況？

生：我感覺用“根→交點→橫坐標→零點”將它們“串連”起來比較適合……

生：用方程的“判別式”來區別最好。若Δ<0，方程無解，則二次函數的圖像與x軸沒有交點，也就無所謂交點，也就沒有了“橫坐標”，自然也就沒有了“零點”。

師：大家認同他的說法嗎？若Δ>0，Δ=0呢？剛才大家說的，可推廣到“一般”情況，得出：二次函數的圖像、二次方程的根與二次函數的零點之間的“等價”關系說法，請以表格的形式揭示（見下表）。

【評析】

零點知識是陳述性知識，關鍵不在于向學生提出這個概念，而是理解提出零點概念的產生過程與含義作用，始終抓住“數與形”兩個角度詮釋零點的意義，特別是在“等價關系”的應用上，使學生對函數零點概念本質的理解更透些。

三、立足關鍵詞的“突破點”，形成自己的理解

學之道在于“悟”，在與理解，課堂教學如果進一步為學生營造一個展示的舞臺，這無疑對概念形成自己的理解提供一個機不可失的機會，這不僅對當堂的概念有更深入的理解，同時對學生的數學素養帶來潛移默化的影響。

【案例片斷3】函數“零點”存在性定理的探究

師：任意函數都有零點嗎？請舉例說明，你能說明什么條件下，函數零點存在嗎？

展示學生所畫的函數圖像（①反比例函數圖1；②二次函數（圖2-圖4）；③一次函數圖5）

師：能很清晰地看到函數圖像與x軸有無交點，即函數有無零點，但是若不給你圖，你覺得還有什么方法可以判斷函數有無零點呢？

師：觀察交點是怎么來的？是函數圖像穿過x軸得到的。這是幾何特征，那么能從數量上來描述特征嗎？函數圖像穿過x軸，穿過零點所在位置的一小段，我們不妨圈出一個小區間為[a，b]，零點設為c，（教師在圖5上示范）。考慮函數值在a，c上的符號和c，b上的符號有什么特點？或者說在這些圖像上圈圈看，看看函數值滿足什么條件時，函數有零點？

（學生在自己畫的圖像上嘗試）

生1：零點附近的函數值異號。

生2：他說的不完全是，相對圖3，在零點的左右各取一個數，組成區間（a，b），則f（a）·f（b）>0。

生1：圖3有兩個零點，應該一個一個看，比如左邊的零點的所在的區間（a，d），函數值異號。

師：現在我們發現可以是異號，也可以是同號，那你覺得哪個更靠譜？

生3：我在圖2上取區間（a，b），此時f（a）·f（b）>0，但函數沒有零點，所以我覺得用f（a）·f（b）<0用來判斷更靠譜。

生4：我覺得當f（a）·f（b）>0時，函數在區間（a，b）可能有零點，可能沒有。而當f（a）·f（b）<0時函數肯定有零點。

師：生4說得很好，除此外圖像本身有什么要求？

生5：圖像要連續不斷。以圖1為例，取區間（a，b），f（a）·f（b）<0，則函數沒有零點。

師：由此說明要使函數零點存在，則必須滿足什么條件？

生6：函數在區間[a，b]上連續不斷，并且有f（a）·f（b）<0，函數存在零點。

師：滿足定理條件的零點唯一嗎？為什么？增加什么條件零點是唯一的？

生7：不唯一。如圖6，我可以畫很多個零點，函數在區間（a，b）單調遞增或單調遞減時，零點唯一。

【評析】

學生思考問題時充滿個性化，面對同一問題都有自己的理解，都有自己的思考視角，教師要把思維空間讓給學生，讓學生形成對概念自己的理解。

四、立足成功處的“回歸點”，促進深入理解

運用概念解決問題有助于加深學生對概念的理解和鞏固，使概念的理解更具生成性，也有效地促進學生發展遷移的能力。

【案例片斷4】函數“零點”知識的應用

師：請看方程lnx+2x-6=0，怎么判斷是否有解？

生1：令y=lnx+2x-6，看函數y=lnx+2x-6是否有零點。

師：你可以想到用什么方法來判斷函數的零點？（生說用定理），那么如何確定零點所在的區間？

生2：取值試試，比如取x=1，y=-4<0；y=ln2-2<0，x=3；y=ln3>0；x=5，y=ln5+4>0；……我發現后面繼續取值，對應的函數值都為正，我覺得零點的區間應該在（2，3）之間。

師：對生2估算，大家感覺有效果嗎？為什么？這與問題的特點有何關系？

生3：應該可以，它的做法符合“存在性定理”，因為“只問是否有解，沒問多少呀”，肯定可以。

生4：其實只能有一個。因為函數y=lnx是單調遞增的，函數也是單調遞增的，由復合函數的性質，整個函數應該單調遞增，所以它只能“穿過”軸一次。

師：有點意思，不僅知道存在，還知道有只有一個，那么，能知道這個根的具體值是多少嗎？大家想想。

生5：不能，最多能估計更精確一點，比如再取得小一點，算算看。

師：是的，為什么叫“存在性定理”，大家知道其真實含義了吧！（稍停）除此外，還有什么方法判斷函數只有一個零點？

生6：用函數單調性的定義法證明。

生7：把2x-6移到等號另一端，觀察函數y=lnx和函數y=-2x+6的圖像，發現兩個函數只有一個交點，因此方程只有一個根。

師：那么這個零點大約多少？

生8：繼續取值估計一下.我再取2.5試一試，估計是負的，那再取2.25……

【評析】

放手讓學生自己用估算思想去探索零點區間，并引導學生嘗試用多種方法去探索零點的個數，在這一過程中不僅回顧零點的本質含義，同時“身臨其境”去找零點的區間、個數，與下節二分法求方程的近似解的思想一脈相承。

創設學生自主參與發展的學習環境，創設學生形成自己的理解的學習過程，以學生為本，通過學生自己實質性的思維活動，才能讓學生對概念形成自己的理解，過程因探究而精彩，知識因理解而生動。

參考文獻：

[1] 朱漫麗.基于理解的數學教學[J].中學數學月刊，2012（2）.

[2] 渠東劍.提高數學內容的理解力[J].數學教學，2009（3）.

（作者單位：浙江省溫嶺市松門中學 317500）