基于有限-無限元法的CRTSⅢ板式無砟軌道系統動力參數敏感度分析

李偉

（中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043）

基于有限-無限元法的CRTSⅢ板式無砟軌道系統動力參數敏感度分析

李偉

（中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043）

CRTSⅢ型板式無砟軌道是具有完全自主知識產權的中國無砟軌道品牌，針對CRTSⅢ型板式無砟軌道車輛-軌道耦合系統動力參數的確定與優化問題，根據CRTSⅢ型板式無砟軌道系統結構特點，運用車輛-軌道耦合動力學理論，采用時域動力有限元方法，并引入無限單元法消除邊界效應，建立CRTSⅢ型板式無砟軌道車輛-軌道耦合系統垂向振動模型，并編制MATLAB計算程序，利用單因素敏感性分析法分析了結構參數對車輛-軌道系統動力響應指標的敏感度，從而可為CRTSⅢ型板式無砟軌道結構動力參數的確定與優化提供理論支撐。

高速鐵路；無砟軌道；耦合動力學；有限元；無限元

為了適應我國高速鐵路“走出去”戰略，提升我國無砟軌道技術的創新水平,打造中國無砟軌道的自主品牌。為此，在總結我國既有無砟軌道研究與應用經驗的基礎上，結合無砟軌道技術再創新成果，我國研發了具有完全自主知識產權的CRTSⅢ型板式無砟軌道。CRTSⅢ型板式無砟軌道是對既有無砟軌道結構的優化，創新之處主要包含：板式無砟軌道結構的限位方式、板下采用自密實混凝土作為填充材料、提高了軌道彈性以及完善了設計理論體系等。CRTSⅢ型板式無砟軌道已在成灌鐵路成功鋪設，迄今運營狀態良好，另武漢城市圈城軌鐵路已確定采用CRTSⅢ型板式無砟軌道，同時盤營客專、沈丹客專鐵路也準備采用。

CRTS III型板式無砟軌道仍然主要由鋼軌、扣件系統、軌道板、板下填充層及混凝土底座板等組成，其設計理論原則是“路基縱連、橋隧單元、方便維修”。路基上CRTSIII型板式無砟軌道采用的是一種柔性的縱連結構，增強軌道結構的整體性，當存在溫度梯度時，柔性縱連軌道結構縱向具有一定自由伸縮能力；橋隧段單元板結構又能很好規避連續結構受溫度力造成的不利影響。CRTS III型板式無砟軌道采用自密實混凝土作為填充調整層，其與軌道板粘結形成牢固的復合結構，軌道板與混凝土底座板間不再有薄弱的夾層。另外，CRTSIII型板式無砟軌道采用了“緩沖隔離層”技術，為日后實現方便維修創造了必要的條件。

隨著無砟軌道的發展，國內外對無砟軌道結構參數對車輛動荷載作用下的動力響應的影響進行了大量研究[1-4]，但是對于CRTSⅢ型板式無砟軌道在車輛與軌道耦合作用下車輛-軌道系統動力響應的研究并不多見。因而本文根據CRTSⅢ型板式無砟軌道系統結構特點，運用車輛-軌道耦合動力學理論[1]，采用有限元及無限元方法，建立CRTSⅢ型板式無砟軌道車輛-軌道耦合系統動力分析模型，編制MATLAB計算程序，并對CRTSⅢ型板式無砟軌道系統結構參數對系統動力響應的影響進行計算分析，從而可為CRTSⅢ型板式無砟軌道結構動力參數的確定與優化提供理論支撐。

1 CRTSⅢ型板式無砟軌道車輛-軌道耦合系統動力分析模型

1.1 車輛系統方程的建立

將車輛系統假設為具有二系懸掛的多剛體系統，僅考慮單節車輛模型共有10個自由度[1，5，6，7]。單節高速車輛以速度v運行，其車輛系統的振動微分方程為：

式中：MV，[CV]和[KV]分別為單節列車車輛系統的質量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣分別為車輛的位移、速度和加速度向量；{QV（t）}為輪軌力荷載向量。上式中各變量的表達式分別為式（2～6），其中[CV]和[KV]的表達式參考文獻[8]，此處限于篇幅不贅述。

1.2 軌道系統方程的建立

用有限元法建立車輛－無砟軌道耦合系統豎向振動模型時，將鋼軌視為離散黏彈性點支承二維Euler梁單元[5-7]，扣件和軌下墊板采用2節點彈簧-阻尼單元模擬，預制軌道板離散為連續黏彈性支承的二維Euler梁單元，預制軌道板下自密實混凝土采用連續地基彈簧模擬，水硬性混凝土支承層離散為連續黏彈性支承的二維Euler梁單元，混凝土支承層下路基亦采用連續地基彈簧模擬，進而建立軌道系統三層疊合梁模型，見圖1。

圖1 軌道系統三層疊合梁模型Fig.1 Three-layer laminated beam model of track system

鋼軌、軌道板及底座板等采用2節點僅考慮節點豎向和轉角兩個自由度的Euler梁單元，單元長度取為離散支承點的間距l，即鋼軌扣件間距。梁單元位移形函數采用Hermite 3次插值函數，梁單元質量矩陣Me、剛度矩陣Ke分別為：

鋼軌、軌道板及底座板等的邊界采用無限梁單元模擬以消除邊界效應，以鋼軌邊界無限梁單元為例簡要說明其原理。由于振動計算中鋼軌僅取有限長度，截取后鋼軌邊界對計算結果有一定影響，在鋼軌兩端各加一3節點無限映射梁單元，可明顯縮短鋼軌的長度以消除邊界效應，并提高模型計算效率。鋼軌無限梁單元的單元質量矩陣及由支承彈性產生的單元剛度矩陣和阻尼矩陣分別為：

式中：meq，ceq，keq分別為連續彈性支承軌道的等效分布質量、鋼軌支承分布阻尼及分布彈性系數。引入坐標變換，轉換矩陣：

式中：[J]為坐標變換的雅克比矩陣的行列式。另由無限長梁彎曲產生的單元剛度矩陣為：

無限梁單元的單元剛度矩陣為[k1]與[k2]之和，鋼軌無限梁單元的單元剛度矩陣：

將軌道系統有限單元相應的單元質量矩陣、剛度矩陣及阻尼矩陣，按照“對號入座”法組集成系統總體剛度矩陣、總體質量矩陣、總體阻尼矩陣，并通過將假設的初始輪軌力按照等效荷載節點力分配而形成初始總體荷載向量，從而得到軌道系統運動控制方程：

式中：[M]、[C]、[K]分別為軌道系統總體的質量、阻尼、剛度矩陣，{P}為廣義載荷向量；{q}為廣義位移向量為廣義速度向量，為廣義加速度向量。

1.3 車輛-軌道耦合相互作用的模擬

車輛運動方程(1)與下部軌道系統振動方程(13)不是完全獨立的，而是通過輪軌接觸關系互相耦合的，輪軌間Hertz非線性接觸輪軌力pj（t）為：

式中：δZ，Zwj（x，t）-[zr（xpj，t）+zr0（xpj，t）]，輪軌接觸常數G=3.86 R-0.115×10-8m·N-2/3（磨耗型踏面車輪）；Zwj（x，t）為t時刻第j位輪對的垂向位移；zr（xpj，t）為t時刻第j位輪對下鋼軌的垂向位移；zr0（xpj，t）為t時刻第j位輪對下軌道的不平順。

1.4 軌道不平順的模擬

中國高速鐵路無砟軌道不平順譜采用冪函數分段擬合，各波長區段的軌道譜均采用同一表達式[8]：

式中：S（f）的單位為mm2/(1/m)；f是空間頻率，1/m；A和n是擬合系數。表1為我國典型高速鐵路無砟軌道不平順的平均譜擬合系數，其中包括4段不同的擬合系數，各分段點的空間頻率和對應波長如表2所示，它們適用于300～350 km/h的無砟線路。

表1 高低不平順譜擬合系數Tab.1 Fitting coefficient of high and low uneven spectrum

表2 分段點空間頻率及對應波長Tab.2 The spatial frequency of the segmentation point and the corresponding wavelength

軌道隨機不平順常采用功率譜密度函數表示，然而在車輛-軌道耦合垂向振動模型中，耦合系統激勵一般采用時域輸入方式，以便數值求解，因此需要根據無砟軌道高低不平順譜密度函數轉化為隨里程變化的軌道高低不平順空間樣本（相應轉化為時域樣本）。

現軌道不平順常用的數值模擬方法主要有：二次濾波法、三角級數法、白噪聲濾波法和逆傅氏變換法等[1]。事實上，軌道不平順功率譜是對時域采樣信號通過周期圖法估計而獲得的，其計算核心是快速傅立葉變換。逆傅氏變換法基于功率譜快速數值算法原理，在計算方法上采用了傅氏逆變換，使隨機樣本的模擬速度較三角級數法有大幅度的提高。逆傅氏變換法通用性強，數據處理速度快，精度較高，因此本文中運用逆傅氏變換法進行數值模擬，以便快速準確的得到結果，即首先根據軌道高低不平順功率譜求出高低頻譜的幅值和隨機相位，而后通過傅里葉逆變換得到軌道高低不平順的空間域（時域）樣本。

已有的軌道不平順功率譜均是空間域譜，應先將其轉化成時域頻譜，再在時域功率譜密度函數上離散采樣，構造出頻譜X（k），然后再對其進行傅立葉逆變換，即可得到模擬不平順的時域激擾函數x（k）。利用逆傅氏變換法模擬的中國高速鐵路無砟軌道高低不平順時程曲線見圖2。

圖2 模擬的無砟軌道高低不平順時程曲線Fig.2 High and low irregularity time curve of ballas tless track

2 CRTSⅢ型板式無砟軌道車輛-軌道垂向耦合振動模型的求解

車輛系統和軌道結構的振動方程不是完全獨立的，而是通過輪軌接觸力互相耦合的，故運用迭代法對兩系統方程分別交叉求解。動力學方程的求解利用Newmark-β數值積分法[5～6]。

起始時間步在車輛初始位置做重力平衡迭代計算后，在后續每一時間步需更新車輛沿軌道運動的位置，各時步首次迭代時，假設軌道結構初始位移為上一時步計算結果，從而利用輪軌接觸點的鋼軌位移與新位置點的軌面不平順值，按照Hertz非線性接觸公式求得輪軌力，進而將輪軌力代入車輛系統運動方程以計算車輛系統動力響應；利用計算所得輪對位移更新輪軌力，進而代入軌道系統求解軌道結構的動力響應。車體運動時步計算中每一時步中迭代計算以前后兩次迭代步求得的軌道系統位移之差滿足所定義的收斂容差，則認為收斂性得到滿足，而轉入下一時步計算，直至所有時步計算完畢。車輛-軌道系統耦合方程的交叉迭代求解流程見圖3。

圖3 模型求解流程Fig.3 Model solving process

3 模型計算參數與計算結果

利用本文模型仿真計算了CRH3型車輛以300 km/h速度通過CRTSⅢ型板式無砟軌道時車輛-軌道耦合系統的動力響應。車輛-軌道垂向耦合振動模型計算參數見表3。

表3 模型計算參數Tab.3 Model calculation parameters

提取本文模型仿真計算結果的時程曲線，車體加速度時程曲線見圖4，垂向輪軌力時程曲線見圖5，鋼軌及道床板垂向位移時程曲線見圖6。

圖4 車體加速度時程曲線Fig.4 Time curve of body acceleration

圖5 垂向輪軌力時程曲線Fig.5 Time curve of vertical wheel force

鋼軌加速度時程曲線見圖7、道床板垂向加速度時程曲線見圖8。

參數敏感性分析是將其他因素保持在基準值，來考察單項影響因素對主體指標產生的影響。假設車輛-軌道耦合系統動力響應P及它的n個因素，可以表示為P=f（x1，x2，x3，…，xn）。假定一個基準狀態P*= f（x1*，x2*，x3*，…，xn*），分別令每單個因素在基準狀態上下浮動，計算單一因素的變動對P的影響程度。定義敏感度[9]：

圖6 鋼軌及道床板垂向位移時程曲線Fig.6 Time curve of rail and track bed vertical displacement

不同于CRTSⅠ型、CRTSⅡ型板式無砟軌道[10]，CRTS III型板式無砟軌道采用自密實混凝土作為填充調整層。為確定CRTS III型板式無砟軌道結構的合理參數，現分析自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量和路基支承剛度對車輛-軌道耦合系統鋼軌動位移最大值、輪軌力最大值、車體加速度最大值等動力響應指標的敏感度。采用單因素敏感性分析法，敏感性分析中，計算基準狀態自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量和路基支承剛度的取值組合為（20 GPa，25 GPa，90 MN/m），每次在基準狀態的基礎上只變動自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量其中一個因素，而保持另一因素不變，分析結果見表4與表5。

表4 自密實混凝土彈性模量的敏感度計算Tab.4 Sensitivity calculation of elastic modulus of self-compacting concrete

表5 支承層彈性模量的敏感度計算Tab.5 Sensitivity calculation of elastic modulus of support layer

圖7 鋼軌加速度時程曲線Fig.7 Time curve of rail acceleration

圖8 道床板垂向加速度時程曲線Fig.8 Time curve of vertical acceleration of the bed plate

表6 路基支承剛度的敏感度計算Tab.6 Sensitivity calculation of subgrade support stiffness

由表4和表5可知，隨著自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量的提高及路基支承剛度的提高，鋼軌動位移最大值減小，但輪軌力最大值與車體加速度最大值均增大；自密實混凝土彈性模量比支承層彈性模量對鋼軌動位移最大值、輪軌力最大值和車體加速度最大值的影響程度大；但除了鋼軌動位移最大值受路基支承剛度與自密實混凝土彈性模量的影響稍大外，且路基支承剛度比自密實混凝土彈性模量對鋼軌動位移的影響程度大，而輪軌力最大值與車體加速度最大值對自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量與路基支承剛度的變化不很敏感，尤其是車體加速度最大值的變化不大。

4 結語

根據CRTSⅢ型板式無砟軌道系統結構特點，運用車輛-軌道耦合動力學理論，采用時域動力有限元方法，并引入無限單元法消除邊界效應，建立CRTSⅢ型板式無砟軌道車輛-軌道耦合系統垂向動力分析模型，進而利用單因素敏感性分析法分析了結構參數對車輛-軌道系統動力響應指標的敏感度，并得到如下結論：

1）隨著自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量的提高及路基支承剛度的提高，鋼軌動位移最大值減小，但輪軌力最大值與車體加速度最大值均增大；

2）自密實混凝土彈性模量比支承層彈性模量對鋼軌動位移最大值、輪軌力最大值和車體加速度最大值的影響程度大；

3）除了鋼軌動位移最大值受自密實混凝土彈性模量的影響稍大外，輪軌力最大值與車體加速度最大值對自密實混凝土彈性模量、支承層彈性模量與路基支承剛度的變化不很敏感，尤其是車體加速度最大值的變化不大。

[1]翟婉明.車輛－軌道耦合動力學[M].3版.北京：科學出版社，2007.

[2]曾慶元，郭向榮.列車橋梁時變系統振動分析理論與應用[M].北京：中國鐵道出版社，1999.

[3]翟婉明，韓衛軍，蔡成標，等.高速鐵路板式軌道動力特性研究[J].鐵道學報，1999，21（6）：64-69.

[4]婁平，曾慶元.移動荷載作用下板式軌道的有限元分析[J].交通運輸工程學報，2004，4（1）：29-33.

[5]LEI X，MAO L.Dynamic response analyses of vehicle and track coupled system on track transition of conventional high speed railway[J].Journal of Sound and Vibration，2004，271（35）：1133-1146.

[6]雷曉燕，張斌，劉慶杰.軌道過渡段動力特性的有限元分析[J].中國鐵道科學，2009，30（5）：15-21.

[7]YANG X，GU S，ZHOU S，et al.Effect of track irregularity on the dynamic response of a slab track under a high-speed train based on the composite track element method[J].Applied Acoustics，2015，99：72-84.

[8]TB/T 3352-2014高速鐵路無砟軌道不平順譜[S].中國鐵道出版社，2014.

[9]章光，朱維申.參數敏感性分析與試驗方案優化[J].巖土力學，1993（1）：51-58.

[10]李中華.CRTSⅠ型與CRTSⅡ型板式無砟軌道結構特點分析[J].華東交通大學學報，2010，27（1）：22-28.

Sensitivity Analysis of Dynamic Parameters for CRTSⅢSlab Ballastless Track System Based on Finite-infinite Element Method

Li Wei
（China Railway First Survey&Design Institute Group Co.，Ltd.，Xi’an 710043，China）

The CRTS III slab ballastless track is China's self-brand ballastless track with independent intellectual property rights.Focusing on the dynamic parameter determination and optimization problem of CRTS III slab ballastless track system and based on the structure characteristics of CRTS III slab ballastless track system,this study established a vertical vibration analytical model for CRTS III slab ballastless vehicle-track coupling system by applying vehicle-track coupled dynamics theory，time-domain dynamic finite element method and the infinite element method to eliminate boundary effect.Then the MATLAB program was compiled and the sensitivity of structural parameters to the dynamic response of vehicle-track system was analyzed by single factor sensitivity analysis method，which may provide theoretical support for the determination and optimization of dynamic parameters of CRTS III type ballastless track.

high-speed railway；ballastless track；coupled dynamics；finite element；infinite element

U211

A

1005-0523（2017）03-0027-07

（責任編輯 王建華）

2017－03－27

李偉（1982—）男，工程師，研究方向為鐵道工程。