基于多目標模擬退火算法的微管網拓撲優化

李 鵬，劉 遠，黃金勇

（華東交通大學機電與車輛工程學院，江西 南昌330013）

基于多目標模擬退火算法的微管網拓撲優化

李 鵬，劉 遠，黃金勇

（華東交通大學機電與車輛工程學院，江西 南昌330013）

針對損傷自修復中微膠囊（或空心玻纖）載體在結構上相互獨立、互不貫通等不足，研究基于多目標模擬退火算法（multiobject simulated annealing，MOSA），對微管網的拓撲結構進行優化，旨在設計一種具有低體積份數和高流動效率的，具有相互貫通結構特點的微管網載體。首先建立微管網數學模型；其次采用哈迪克羅斯迭代法設計了多目標優化函數，并結合非劣分層和MOSA算法對微管網的拓撲結構進行研究；最后與非劣分層遺傳算法（non-dominated sort genetic algorithm II，NSGA-II）進行對比研究，驗證了MOSA的優化性能。研究結果表明：微管網的體積份數和沿程水頭損失呈負相關性；與NSGA-II相比，MOSA的收斂時長略長，但MOSA解集的支配度及分布均勻程度均優于NSGA-II。

微管網；多目標優化；模擬退火；非劣分層；哈迪克羅斯迭代

復合材料因質輕、耐磨及易加工等特點，已在航空航天、汽車、電子和建筑等領域得到了廣泛應用。然而，作為一種由多種異質/異形組元材料復合而成的新材料，其力學性能分散性較大，致使材料在生產和服役中易產生各類損傷，尤其是微裂紋的產生和擴展將引起材料力學性能的劣化，導致構件過早失效。目前，復合材料的損傷修復問題已經成為結構失效與安全服役科學中的關鍵問題之一[1]。

上世紀80年代，美國軍方首先提出了復合材料自修復的概念，其基本原理是將內置有修復劑的載體埋入材料內部，當材料受損產生裂紋時誘發載體破裂，釋放修復劑，實現材料的自修復[2]。此后，美國伊利諾伊大學Carolyn Dry研究了基于空心玻纖載體的自修復體系[3]；White、Sottos和Moore等對基于微膠囊載體的自修復體系開展了大量研究，并論證了該方法的可行性[4-5]；Bond等對自修復載體的性能進行了研究[6]。在國內，哈爾濱工業大學的王榮國[7]和中山大學的章明秋[8-9]等先后也開展了基于微膠囊（或空心玻纖）載體的自修復研究；此外，本文作者也就空心玻纖載體與材料的兼容性等內容開展了研究[10]。

然而，目前自修復研究中普遍采用微膠囊和空心玻纖作為修復劑載體，由于載體彼此間互不貫通，限制了材料的損傷自修復效果（如，多次修復，修復劑更換等）。因此，研究旨在設計一種具有相互貫通結構特點的微管網載體，為保證載體與材料的兼容性和修復劑的流動效率，研究基于哈迪克羅斯迭代設計了多目標函數，并結合非劣分層和多目標模擬退火（multi-object simulated annealing，MOSA）算法，對微管網的拓撲結構進行了優化，獲得了理想的結果。

1 微管網優化模型及目標函數

1.1 優化模型

研究以3×3正交微管網拓撲結構為對象，該管網由長度l為20 mm的24根管道構成9個閉環回路，各管道的內徑取值為決策空間，管道編號如圖1所示，其中復合材料的幾何尺寸為100 mm×100 mm×4 mm，S/T分別表示修復劑入/出口[11]。

圖1 正交微管網模型Fig.1 Orthogonal network model

1.2 多目標優化函數

作為損傷自修復載體，埋入材料內部的微管網要在不損壞材料初始性能的前提下，保證管道中的修復劑具有較小的沿程水頭損失（即具有良好的流動效率）。因此，微管網的拓撲優化屬于多目標優化問題，即

式中：φv為體積份數；φf為沿程水頭損失；D為管道內徑的解向量；dk為第k根管道的內徑。

1）體積份數φv。微管網占復合材料的體積份數φv可表示為

式中：k為管道編號；l為管道長度；dk為第k根管道的內徑；p為管道壁厚；V為復合材料體積。

2）沿程水頭損失φf。修復劑流經管道的沿程水頭損失表示了驅動修復劑流動所需能量的大小，為保證修復劑的流動效率，研究以全部管道的沿程水頭損失之和作為目標函數：

式中：U為阻力因數；n和m為修復劑材料系數；Qk為第k根管道的流量，在忽略各環路之間相互影響的前提下，采用哈迪克羅斯（Hardy Cross）迭代方法獲取各管道的流量Qk[12]。

1.3 非支配解

微管網拓撲優化的多目標函數 （即體積份數φv和沿程水頭損失φf）屬于非一致性優化目標，即隨著體積份數下降，沿程水頭損失將呈現上升趨勢。因此，期望獲得解空間的最優解是困難的，研究采用非劣分層方法，獲取對多目標函數均有效的非支配解，即對于一個解集中任意解D1，該解集不存在解D2可同時滿足① φf（D2）≤φf（D1），且 φv（D2）≤φv（D1）；② φf（D2）≤φf（D1）或 φv（D2）≤φv（D1），則該解集即為非支配解集，其中的解D1為非劣解。

圖2 MOSA算法流程圖Fig.2 The flow chart of MOSA

2 多目標模擬退火算法

多目標模擬退火源于對熱力學中退火過程的模擬，是基于模擬退火 （simulated annealing，SA）算法，針對多目標優化的一種隨機尋優算法。MOSA在搜索過程中結合逐漸趁于零且隨時間變化的概率突跳，實現了全局尋優。MOSA算法包括初始解的生成、鄰域解的構造和新解的產生等過程，如圖2所示。

2.1 初始解集的生成

以 24根管道的內徑構成解向量Di，j={dki，j}，j∈（1，2，…，800），k=1，2，…，24，其中i為迭代次數，j為當前解中解的編號，k為管道編號。研究中采用隨機的方式產生規模為800的初始解集D0。

2.2 鄰域解集的構造

2.3 新解集的產生及接受

新解集Di+1通過對鄰域解中支配解與非支配解進行不同處理而獲得，由以下兩部分組成：

（2）第二部分。對于鄰域解中非支配解根據式（4）計算其內能增量△E：

式中：T和T′分別為本次和上次迭代的溫度值；λ為衰減因子。當內部循環次數達到鏈長L時，執行降溫T=λT′。優化中，溫度初值T0=240，衰減因子λ=0.99，鏈長L=10。

2.4 終止條件

優化迭代的終止條件主要由退火溫度來控制，當溫度達到精度要求時迭代終止。

圖3 鄰域解構造示意圖Fig.3 Schematic diagram of constructing neighborhood

3 優化結果及分析

3.1 拓撲結構優化結果

通過MOSA算法對自修復微管網載體的拓撲結構進行優化，并獲得了其迭代過程及最終非支配解，如圖4和圖5所示。

圖4 MOSA迭代過程Fig.4 The iterative process of MOSA

圖5 MOSA和NSGA-II非支配解Fig.5 Non-dominated solution of MOSA and NSGA-II

圖4中由下到上分別為MOSA第100，200，400，600，800，1 000次和1 233次迭代中的非支配解，結果表明：

1）最終收斂迭代次數為1 233；

2）隨著迭代次數增加，非劣解個數由64增至190；

3）各次迭代所獲得的非支配解，其體積份數與沿程水頭損失均呈負相關性。

圖5給出了第1 233次迭代的第一層190個非支配解，取非支配解（a），（b）和（c）進行分析，其對應的管網拓撲結構如圖6所示。

圖6（a），（b）和（c）分別對應于圖5中（a），（b）和（c）處的非支配解，線條的粗細代表管徑的大小，管道下方和左方為對應管道的直徑，單位為mm。體積份數依次為2.73%，2.88%和3.25%的3個非支配解，其相應的沿程水頭損失分別為2.810 6×10-6，1.601 0×10-6，7.769 0×10-6m。管網中內徑較大的管道一般先從入口方向開始，并逐步向出口方向延伸，形成的大直徑通道對管道中的流體起到一定的疏導作用，降低水頭損失。

圖6 拓撲結構優化結果Fig.6 Topology structure of optimization resuits

3.2 MOSA算法性能分析

為驗證MOSA的優化性能，在相同條件下，將多目標退火算法與非劣分層遺傳算法（non-dominated sorting genetic algorithm II，NSGA-II）進行了對比研究[13-14]，主要包括：① 兩種算法之間非支配解的支配關系，即解的優劣；②非支配解分布的均勻程度；③ 非支配解的收斂性。

3.2.1 非支配解的支配關系

不同解集之間的支配關系是評價解集優劣的重要標準，首先采用兩種算法分別獲得了非支配解（如圖6所示），其次，對兩個解集進行非劣分層分析，并通過分析非支配解中，MOSA和NSGA-II解集所占的比例（PSA和PGA），實現兩個解集整體的優劣程度的判斷，對比結果表明，MOSA和NSGA-II的非支配解共有252個，其中MOSA解集190個均為非支配解，NSGA-II解集62個為非支配解，占比分別為：PSA=75.4%，PGA=24.6%，顯然，采用MOSA算法獲得的解集顯著優于后者。

3.2.2 非支配解分布的均勻程度

非支配解分布的均勻程度表征了解集的多樣性（即非劣解的選擇空間）。采用平均距離對非劣解的均勻程度進行評價，計算公式如下：

式中：φl為第l個目標函數；n為非支配解的規模。平均距離越短，表明非劣解分布越均勻。結果表明：① 以φv進行評價，MOSA和NSGA-II的分布均勻程度為0.001 2和0.001 3，MOSA提高了8.3%；②以φf進行評價，MOSA和NSGA-II的分布均勻程度分別為3.102 7×10-9和 5.188 3×10-9，MOSA提高了65.3%。

3.2.3 非支配解的收斂性

圖7中由下到上分別為NSGA-II第1 000，2 000，4 000，6 000，8 000，1 000次和12 000次迭代中獲得的非支配解，圖中X、Y軸分別為目標函數φv、φf，Z軸為迭代次數。由于MOSA存在著內部循環，其時間復雜高于NSGA-II，因此NSGA-II的迭代次數設置為12 000。非支配解個數均達到解集規模設定值800。MOSA和NSGAII的收斂時長分別為19 985 s和18 674 s，NSGA-II略優于MOSA。

圖7 NSGA-II迭代過程Fig.7 The iterative process of NSGA-II

4 結束語

針對損傷自修復中微管網載體的拓撲結構優化問題，研究基于哈迪克羅斯迭代法，設計了優化目標函數，采用MOSA算法并結合非劣分層方法，研究了一種多目標微管網拓撲結構優化方法。

1）采用哈迪克羅斯迭代法，修正了微管網中各管道的流量，獲得了表征微管網流動效率的沿程水頭損失，并以其作為目標函數之一；

2）結合MOSA和非劣分層方法，對微管網的拓撲結構進行了優化，經1 233次迭代后，共獲得190個非支配解，結果表明：體積份數與沿程水頭損失呈現負相關，且管網中內徑較大的管道主要沿入口方向，并逐步向出口方向延伸；

3）通過與NSGA-II的優化結果進行對比，結果表明：在NSGA-II的收斂時長略優于MOSA的情況下，MOSA的優化結果支配度75.4%優于NSGA-II的24.6%；以φv和φf進行解集分布均勻程度評價，MOSA分別提高了8.3%和65.3%。

[1]祁恒治，趙蘊慧，朱孔營，等.自修復聚合物材料的研究進展[J].化學進展，2011（12）：2560-2567.

[2]王曉崗，張星，李原芃，等.自修復功能防腐涂膜研究進展[J].功能材料，2012，43（19）：2584-2587.

[3]DRY C M.Self-repairing of composites[J].Proceeding of SPIE-the International Society for Optical Engineering，2003，5055：376-379.

[4]OLUGEBEFOLA S C，ARAGON A M，HANSEN C J，et al.Polymer microvascular network composites[J].Composite Materials，2010，44（22）：2587-2603.

[5]PATRICK J F，SOTTOS N R，WHITE S R.Microvascular based self-healing polymeric foam[J].Polymer，2012，53（19）：4231－4240.

[6]KNIPPRATH C，MC COMBE G P，TRASK R S，et al.Predicting self-healing strength recovery using a multi-objective genetic algorithm[J].Composites Science&Technology，2012，72（6）：752－759.

[7]李海燕，王榮國，劉文博，等.微膠囊自修復聚合物材料[J].宇航材料工藝，2010，40（1）：1-4.

[8]章明秋，容敏智.結構用自修復型高分子材料的制備[J].高分子學報，2012（11）：1183-1199.

[9]汪海平，容敏智，章明秋.微膠囊填充型自修復聚合物及其復合材料[J].化學進展，2010，22（12）：2397-2407.

[10]李鵬.智能復合結構損傷光修復與監測的相關技術研究[D].南京：南京航空航天大學，2009.

[11]王憲杰，張洵安.基于宏觀性能的微觀多孔材料拓撲優化[J].功能材料，2014，45（18）：18078－18082.

[12]丁祖榮，單雪雄，姜楫.流體力學[M].下冊.北京：高等教學出版社，2003：14－19.

[13]曾毅，朱旭生，廖國勇.一種基于鄰域空間的混合粒子群優化算法[J].華東交通大學學報，2013，30（3）：44-49.

[14]傅軍棟，鄒歡，康水華.PSO-SVM算法在智能建筑環境監控系統中的應用[J].華東交通大學學報，2016，33（1）：121-127.

Topology Optimization of Micro-vascular Network Based on Multi-objective Simulated Annealing Algorithms

Li Peng，Liu Yuan，Huang Jinyong
（School of Mechanotronics&Vehicle Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

In the self-healing research,the microcapsule（or the hollow glass giber）is served as the carrier of self-healing agent.However,this carrier has some deficiencies such as being independent and uncorrelated with each other.In this paper,a novel carrier of micro-vascular network based on multi-objective simulated annealing(MOSA)algorithms was studied and topology of micro-vascular network was optimized to design a carrier with low volume fraction,high flow efficiency and inter-connective structure.Firstly,the mathematical model was established.Secondly,the multi-objective optimization function was designed by iteration of Hardy Cross.And then the topology of micro-vascular by MOSA algorithms combined with non-dominated sorting was studied.Finally,the superiority of MOSA was verified compared with non-dominated sort genetic algorithm (NSGA-II)algorithms.The results show that volume fraction and flow efficiency of micro-vascular network are negatively correlated.The convergence time of NSGA-II is slightly better than NSGA-II,but the degree of dominant and uniformity of MOSA are significantly better than that of NSGA-II.

micro-vascular network；multi-objective optimization；simulated annealing；non-dominated sorting; iteration of Hardy Cross

TB381

A

1005-0523（2017）03-0125-06

（責任編輯 劉棉玲）

2016－12－16

國家自然科學基金項目（51365012）；研究生創新專項資金項目（YC2015-S237）

李鵬(1976—)，男，副教授，博士，研究方向為智能結構，優化算法。