合理構造函數解決高考導數壓軸題

盧賢慧

函數思想是利用函數的概念、性質和圖像去分析問題、轉化問題和求解問題，它是一種很重要的數學思想方法，函數是研究變量的變化規律，所以只要有變量的問題就可以利用函數思想.在求解某些數學問題時，根據問題的條件，構想、組合一種新的函數關系，使問題在新的觀點下實行轉化并利用函數的有關性質解決原問題是一種行之有效的解題手段.即通過構造輔助函數，把原問題轉化為研究輔助函數的性質，并利用函數的單調性、有界性、奇偶性來解決.所以，構造輔助函數在代數、幾何等問題中是非常常見的.

本文以2016年高考文科數學全國Ⅰ卷第21題壓軸題為例，讓我們一起體會通過構造函數，化含參問題為已知問題，把復雜問題簡單化，從而解決函數難題.

一、試題呈現

已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

（Ⅱ）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

二、賞 析

本題考查到了函數的零點、極值點及方程根的問題.在解決含參數的函數零點問題時，經常要對參數分情況討論.研究發現教育部考試中心所提供的參考答案不易想到，本題第二問參考答案采用分類討論的方法解決.作為文科學生，對分類討論的技巧較難掌握，學生往往會感到困難，討論時常常因遺漏情況而導致解答不全面，難以做到不重不漏，對學生能力的要求較高，對于學生來說在有限的時間內解決這類問題是有困難的.但分離參數、構造函數能輕松地解決此類問題.筆者根據這類問題的共性和特點，根據函數f（x）有兩個零點求參數的范圍，嘗試使用函數與方程的思想進行分離變量，構造不同的函數，利用數形結合的方式解答，均得到了比較簡捷的解法.

三、解法探究

解法1 變量分離直接構造參數函數解題

可利用題設條件把參數分離出來直接構造單個函數，利用導數作出函數圖像解決零點個數問題.

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到a=-（x-2）ex（x-1）2（x≠1），

令h（x）=-（x-2）ex（x-1）2，則h′（x）=-（x2-4x+5）ex（x-1）3，

當x∈（-∞，1）時，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，1）單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，h′（x）<0，所以h（x）在（1，+∞）單調遞減.

且易知當x∈（-∞，1）時，h（x）>0；當x∈（1，+∞）時，h（x）∈R.

要使函數f（x）有兩個零點，只需a>0.

此法根據已知條件進行參數分離，把參數直接分離.但是很多題目是可以分離參數的，只是分離后新的函數并不太好處理，有的需要用到零點定理，有的需要多次求導，有的還需要用羅比達法則，等等.

本題也可根據條件把零點問題變成由方程分離出來構造兩個基本函數，作出函數圖像解決問題.

解法2 構造一次函數解題

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到-a（x-1）=（x-2）exx-1（x≠1）.

令h（x）=（x-2）exx-1，g（x）=-a（x-1），

則h′（x）=（x2-3x+3）ex（x-1）2，顯然h′（x）>0.

當x∈（-∞，1）時，h′（x）>0，所以h（x）在（-∞，1）單調遞增；

當x∈（1，+∞）時，h′（x）>0，所以h（x）在（1，+∞）單調遞增.

且易知當x∈（-∞，1）時，h（x）>0；當x∈（1，+∞）時，h（x）∈R.

要使函數f（x）有兩個零點，則需要函數h（x）=（x-2）exx-1與函數g（x）=-a（x-1）的圖像有兩個交點，又函數g（x）=-a（x-1）過定點（1，0），所以只需-a<0，∴a>0.

解法3 構造二次函數解題

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，

得到（x-2）ex=-a（x-1）2.

令g（x）=（x-2）ex，h（x）=-a（x-1）2.

則g′（x）=（x-1）ex，

當x∈（-∞，1）時，g′（x）<0，所以g（x）在（-∞，1）單調減遞；

當x∈（1，+∞）時，g′（x）>0，所以g（x）在（1，+∞）單調遞增.

易知g（x）=（x-2）ex在R上連續，且當x∈（-∞，1）時，g（x）<0；當x∈（1，+∞）時，g（x）∈R.

要使函數f（x）有兩個零點，則需要函數g（x）=（x-2）ex與函數h（x）=-a（x-1）2的圖像有兩個交點，則函數h（x）=-a（x-1）2必須是開口向下的二次函數，其對稱軸為x=1，所以-a<0，a>0.

解法4 構造對勾函數解題

由方程f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2=0，得到ex-a=（x-1）2x-2=（x-2+1）2x-2=（x-2）+1x-2+2（x≠2）.

令g（x）=ex-a，h（x）=（x-2）+1x-2+2，

作出兩個函數g（x），h（x）的圖像，根據指數函數與對勾函數的變化趨勢，易知要使函數f（x）有兩個零點，只需a>0.

四、解題反思

函數的高考壓軸題越來越難，而且含有參數，很多人發現，高考題給出來的標準答案都看不懂，連答案都看不懂的題目，怎么會做呢？不過高考給出的標準答案基本沒有采用分離參數的方法，參數討論的分類標準自然不好把握，但是很多題目是可以分離參數的.構造新函數是解決導數問題的基本方法，但是有時簡單地構造函數對問題求解帶來很大麻煩甚至是解決不了問題的，那么怎樣合理地構造函數就是問題的關鍵.要抓住問題的實質，化簡函數，尤其是抓住常規基本函數，利用函數草圖分析問題，一次函數、二次函數、指對數函數、冪函數、簡單的分式根式函數、絕對值函數的圖像力求清晰準確，一些綜合性的問題基本上是這些函數的組合體，如果適當分解和調配就一定能找到問題解決的突破口，使問題簡單化、明確化.