三次函數(shù)對(duì)稱中心與應(yīng)用

蔡正文

【摘要】三次函數(shù)對(duì)稱中心的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)問題，本文通過實(shí)際例子詳細(xì)探討了三次函數(shù)中心的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】三次函數(shù)；對(duì)稱中心

一、問題提出

2013年全國課標(biāo)卷（Ⅱ）第（10）題：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）.

A.x0∈R，f（x0）=0

B.函數(shù)y=f（x）的圖像是中心對(duì)稱圖形

C.若x0是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（-∞，x0）上單調(diào)遞減

D.若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x）=0

學(xué)生在解題時(shí)，對(duì)于選項(xiàng)B的正確性理解非常困難！學(xué)生對(duì)三次函數(shù)圖像為什么是中心對(duì)稱圖形、怎樣證明是中心對(duì)稱圖形、如何快速求出對(duì)稱中心呢，這些問題均存有疑惑；而搞清這些問題對(duì)學(xué)生高考是有益的，因此，有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該類問題從理論上進(jìn)行深入的探究.

二、理論探究

三、應(yīng)用提升

例1（西工大附中適用性訓(xùn)練題）已知在函數(shù)f（x）=13x3+x2+x的圖像C上，存在一定點(diǎn)P滿足：若過點(diǎn)P的直線l與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則恒有y1+y2為定值y0，則y0的值為（）.

例2（華約自主招生模擬題改）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a3+3a2+6a=-13，b3+3b2+6b=5，則a+b=（）.

解析因?yàn)閎3+3b2+6b=5（b+1）3+3（b+1）=9，①

a3+3a2+6a=-13（a+1）3+3（a+1）=-9.②

設(shè)函數(shù)h（x）=x3+3x（x∈R），則h（x）是奇函數(shù)，因?yàn)閒（x）=h（x+1），所以函數(shù)f（x）對(duì)稱中心為M（-1，0），且單調(diào)遞增，由①②知h（a+1）=-h（b+1），即f（a）=-f（b），由對(duì)稱性知a+b=-2，故選D.