深水到淺水域非線性波傳播的數值模型

張文海，賈會杰，王炎

（中交一航局第一工程有限公司，天津300456）

深水到淺水域非線性波傳播的數值模型

張文海，賈會杰，王炎

（中交一航局第一工程有限公司，天津300456）

統一方程是在Stokes波理論與Boussinesq型方程相結合的基礎上推導出的，適用于深水及淺水域波浪的傳播。文中首先分析了統一方程的頻散性及其適用性。其次，采用ADI法對控制方程進行離散，并對控制方程中的非線性項進行線性化近似處理，用改進的Patankar半隱格式方法求解動量方程。直接給定入射邊界條件，出流邊界條件采用Sommerfeld邊界條件和消波層相結合的方法，從而建立起從深水到淺水域都有效的數值模型。最后，利用平底與圓形暗礁組合地形上波浪傳播的經典物理模型實驗來驗證數值模型的精確性。將實驗結果與數值解相比較，兩者吻合較好，說明本文建立的數學模型能有效地模擬水深復雜變化水域波浪傳播，具有較高的適用性。

統一方程；數值模擬；消波；非線性波；物理模型實驗

0 引言

在引起海岸變形和岸灘演變的眾多因素中，波浪為最重要的因素之一。在探索各種適用方法將原屬于三維波動問題的豎向坐標變量分離化為二維水平控制方程的過程中，產生了Boussinesq型方程（非線性長波方程）和Stokes波型方程（緩坡方程）這兩種用于解決水波問題的控制方程[1]。

Boussinesq型方程屬于非線性波的范疇，能較好地描述非線性作用。但只能適用于淺水域。緩坡方程具有完全頻散性的特征，屬于線性波的范疇，適用于淺水域和深水域，但只適合底坡緩慢變化或者弱的非線性波。雖然國內外眾多學者進行了許多改進以擴大其適用范圍，但是相伴而來的是方程求解的復雜化。考慮到緩坡方程和Boussinesq型方程兩者的優缺點，Li[2]推導了一個不增加額外導數項，適合深水到淺水域波浪傳播的統一方程。在有限水深情況下統一方程可化為改進的Boussinesq方程。在深水情況下線性化的統一方程可化為經典波動方程。

1 水深任意變化水域非線性波傳播的數值模型

1.1 控制方程及其分析

文獻[2]中推導了不增加額外導數項，適用于深水到淺水域非線性波傳播的統一方程，假設x、y軸位于靜水面，z軸豎直向上，其控制方程為：

式中：η為水面高程；k為波數；g為重力加速度；h為水深；矢量u為水平速度（u，v）；uα為zα處的水平速度矢量，對于規則波傳播zα=βh= -0.66h[2]。相比于經典Boussinesq型方程，統一方程式（1）和式（2）沒有增加額外的高階導數項，且非線性項與經典Boussinesq型方程一致。

在淺水域情況下，利用雙曲函數的泰勒級數，并忽略高階導數項O（μ4），函數F1、F2、F3、zαF4可以表示為：

將式（7）、式（8）和式（10）代入到式（1）中，式（9）和式（10）代入到式（2）中，統一方程可以變為：

由上述變換所得式（13）和式（14）和改進的Boussinesq型方程一致（Nwogu 1993[3]；Liu 1995[4]）。因此，在淺水區域中如果忽略高階項O（μ4），統一方程可轉化為改進的Boussinesq型方程。

緩坡方程（Berkhoff 1972[5]）具有完全頻散特性，適用于淺水域和深水域，易推廣于底坡緩慢變化和弱非線性，但由于是從線性波理論推導而來的，求解強非線性問題相比Boussinesq型方程較差。要求水底坡度較緩和邊界波浪的非線性是緩坡方程主要的局限性。而對于統一方程沒有這些限制，若以同樣的方法建立數值模型，在淺水域中統一方程可以考慮到非線性波的影響，而緩坡方程卻不能。

1.2 控制方程的差分格式

小學數學教學情境的創設，要符合不同年齡段兒童的心理特點和認知規律，要根據不同的教學內容有所變化。多年來，通過參加課題研究和教學實踐，從在新課引入時、在新知的探究中、在知識鞏固上、在整個課堂教學中創設不同的情境，我探索了一些方法，并取得了一些收獲：

離散控制方程采用有限差分法，式（1）和式（2）的數值求解是基于空間交錯網格系統。對于一個時間步求解統一方程的步驟如下：

1）采用雙向掃描法求解動量方程；

2）返回1）進行迭代；

3）用交替方向隱格式法（ADI）求解連續性方程。

控制方程離散格式詳見文獻[2]。

1.3 波浪傳播的邊界條件

1.3.1 入射邊界條件

本文采用直接給出入射波波面和速度分布作為入射條件，對于不同的地形條件，入射波也不盡相同，本文采用一階Stokes波理論作為入射邊界條件，入射波均為正向入射。其表達式為：

用ηc*代替ηc，用uc*代替uc，再進行下一步計算。

1.3.3 出流邊界條件

在計算域的下游邊界采用Sommerfeld[8]（1949）邊界條件。本文數值模擬中應用于外向波沿向岸邊的邊界條件可以寫為：

式中：H為入射波波高；h為水深；k為波數；0.34kh是由zα=-0.66h[2]得出的。

1.3.2 入射邊界上反射波的消波

直接給定波面和特征流速確定入射邊界條件的方法簡便直觀，但計算域內存在反射或偽反射波時，會導致計算程序的不穩定。因此本文采用張洪生等[6]提出的吸收入射邊界上反射波的方法。在離入射邊界一定長度區域內設置海綿層，在每一時間步后，變量η和u都要除以指數函數β（x），作者在文獻[7]中進行了進一步深化及論證，其表達式為：

式中：Q表示uα、vα和η；c為波速；γ為邊界法線方向和出射波的方向之間的夾角。通過假設γ=0，式（20）有不同的有限差分格式。本文采用的方法為：

式中：IB代表邊界網格點。

2 均勻水深水域波浪傳播的數值模擬

為了驗證統一方程的適用性，就均勻水深水域中波浪的傳播進行了系統的數值模擬。設置長度為85 m的水槽，在水槽左端采用二階Stokes波作為入射條件，右端為自由出流的開邊界。為了進行系統的數值模擬，設置固定波周期T=2.0 s，分別模擬了kh=1、kH=0.2，kh=2、kH=0.3，kh=3、kH=0.4，kh=100、kH=0.5四種組合情況。在數值計算過程中，空間步長取為Δx= 0.05 m，時間步長取為Δt=0.025 s，數值模擬結果如圖1所示。

圖1計算值與二階Stokes波理論值的比較Fig.1Comparison of numerical results with Stokes second-order wave

圖1 為各計算組合情況下相對高程沿程變化的過程線，可以看出在不同水深、不同參數的情況下數值解與理論解都吻合良好。表明均勻水深情況下模型對深水域波在較長的時間和傳播距離內可進行穩定準確地數值模擬。因此統一方程可適用于模擬淺水到深水幾乎整個水域弱非線性波的傳播。

3 平底與圓形暗礁組合地形上波浪傳播的數值模擬

Ito 1972[9]對平底與圓形暗礁組合的地形上的波浪傳播進行了物模實驗，這一物理模型試驗是檢驗數學模型精度的經典試驗之一，試驗地形見圖2。

圖2 Ito物理模型試驗示意圖（單位：m）Fig.2Sketch of physical experiment by Ito（m）

入射波周期T為6.3 s，波高為1.0 m，上邊界為自由出流的開邊界，側邊界為全反射的固壁邊界。選取空間步長為L0/14，時間步長為T/32，數值模擬結果如圖3～圖6所示。

圖3 相對波高的計算結果與實驗數據比較圖（a斷面）Fig.3Comparison of computational results with experimentaldata of relative wave height(Section a)

圖4 相對波高的計算結果與實驗數據比較圖（b斷面）Fig.4Comparison of computational results with experimental data of relative wave height(Section b)

圖5 不同測點處波面隨時間變化的數值解Fig.5Numerical Simulation of wave surface changing with time at various positions

圖6數值模擬的波高立體圖Fig.6Wave height stereogram of numerical simulation

圖3 、圖4分別是a、b斷面處的相對波高，由圖可見數值解與實驗值吻合良好。圖5為A、B、C、D四個點的波面隨時間變化過程曲線圖，由圖可以看出波動過程隨時間變化十分穩定，說明計算結果可靠。深水點A處波形呈余弦波，波谷和波峰對稱。由于橫斷面上中心凸起，在由深水到淺水（B向C）的傳播過程中，波高沿程逐漸減小，出了圓形暗礁后的平坦水域，水槽中心線的波高沿程逐漸增加。圖6為數值模擬的波高立體圖。通過數值計算結果與物模試驗值的比較表明，此數值模型能夠有效地模擬復雜變化地形上的波浪傳播。

4 結語

相比于Boussinesq型方程和緩坡方程這兩種基本方程，統一方程顯著的改進是其能準確的滿足規則波在深水和淺水域的頻散關系，其淺化梯度系數與適合深水域的Stokes波理論值吻合良好。若忽略高階項O（μ4），在淺水情況下統一方程可化為改進的Boussinesq型方程。本文以統一方程為控制方程，基于空間交錯網格系統對其進行數值求解，采用交替方向隱格式法（ADI）求解連續性方程，用改進的Patankar（1980）半隱格式方法求解動量方程，從而建立了新的數值模型。在給定初始條件和入射邊界條件后，采用Sommerfeld型邊界條件和消波層相結合的方法處理出流邊界。采用兩者相結合的邊界條件，能夠有效地吸收波浪的能量，消除或者減少波浪能量的反射，從而保證數值模擬的精度。利用Ito對平底與圓形暗礁組合的地形上波浪傳播的物模實驗對數值模型的精度及適用性進行驗證。兩者吻合良好，表明本文所建立的數值模型可以較為有效地模擬水深復雜變化地形上非線性波的傳播與變形，具有較高的適用性。本模型未考慮波浪水流等對波浪變形的影響，這有待于進一步的探討和改善，其對近岸工程、遠海生產作業、近岸環境保護等方面具有十分重要的意義。

[1]張洪生.非線性波傳播的數值模擬[D].南京：河海大學，2000.

ZHANG Hong-sheng.Numerical modeling of nonlinear wave propagation[D].Nanjing:Hohai University,2000.

[2]LI B.Wave equations for regular and irregular water wave propagation[J].Journal of Waterway,Port,Coastal and Ocean Engineering, 2008,134(2):121-142.

[3]NWOGU O.Alternative form of Boussinesq equations for nearshore wave propagation[J].Journal of Waterway,Port,Coastal and Ocean Engineering,1993,119(6):618-638.

[4]LIU L F,CHO Y S,BRIGGS M J,et al.Runup of solitary waves on a circular island[J].Journal of Fluid Mechanics,1995,302:259-285.

[5]BERKHOFF J C W.Computation of combined refraction-diffraction [C]//Proceedings of 13th conference on coastal engineering,ASCE, 1972:471-490.

[6]張洪生，商輝.對波浪入射邊界上反射波的消波及其驗證[J].上海交通大學學報，2008，42（4）：674-678.

ZHANG Hong-sheng,SHANG Hui.A method of absorbing the reflectedwavesonincidentboundaryand its verification[J].Journal of Shanghai Jiaotong University,2008,42(4):674-678.

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[8]SOMMERFELDA.Partialdifferentialequationsinphysics: lectures on theoretical physics,Vol.6[M].Salt Lake City,UT: Academic Press,1949.

[9]ITO Y,TANIMOTO K.A method numerical analysis of wave propagation application to wave diffraction and refraction[C]/Proceedings of 13th conference on coastal engineering,ASCE,1972: 503-522.

Numerical modeling of nonlinear wave propagation from deep water to shallow water

ZHANG Wen-hai,JIA Hui-jie,WANG Yan
（No.1 Engineering Co.,Ltd.of CCCC First Harbor Engineering Co.,Ltd.,Tianjin 300456,China）

The unified equations are derived from the Stokes second-order wave theory and the Boussinesq-type equations.It is suitable for the propagation of waves in deep and shallow seas.We firstly analyzed the dispersion and applicability of the unified equations,then used the ADI method to disperse the governing equations,processed the nonlinear terms of the governing equations by linear approximation,and used the modified Patankar with semi-implicit schemes to solve the momentum equations.Given the boundary conditions,the outflow boundary conditions are combined with the Sommerfeld boundary condition and the wave elimination layer,so as to establish a valid numerical model suitable for wave transformation from deep water to shallow water.At last,the experiment data from physical model of wave propagation and deformation in the complicated water is used to verify the accuracy of present numerical model.The experimental results are in good agreement with those of numerical solution.It indicates that the numerical model can effectively simulate the wave propagation in the water with varying topography,and has a high applicability.

unified equations;numerical simulation;absorbing waves;nonlinear wave;physical experiment

U651.3；P731.2

A

2095-7874（2017）06-0036-05

10.7640/zggwjs201706008

2017-01-25

2017-04-14

張文海（1976—），男，天津市人，高級工程師，副總經理，港航工程專業。E-mail：33162727@qq.com