一種空間飛行軌跡的大地坐標計算方法

常曉華，豐 海，張 婕，邱亞男

（北京宇航系統工程研究所，北京，100076）

一種空間飛行軌跡的大地坐標計算方法

常曉華，豐 海，張 婕，邱亞男

（北京宇航系統工程研究所，北京，100076）

針對彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標計算，從彈道計算的地心球坐標出發，給出一種利用空間幾何關系的迭代法，避免了地心直角坐標的轉換過程。通過與傳統算法的對比分析，驗證了該算法的有效性，并進一步明確了該算法的迭代初值，分析了該算法在彈道飛行器空間飛行軌跡大地坐標計算中的適用性。

空間飛行軌跡；大地坐標；迭代法

0 引 言

有效性、迭代初值和適用性進行了仿真分析。

隨著彈道飛行器精確化控制水平的提升，需要精確計算空間飛行軌跡的大地坐標，傳統計算方法要求在彈道計算中給出飛行器的地心直角坐標，進而直接利用大地測量學的相關研究成果，將該問題轉化為地心直角坐標與大地坐標的轉換問題。

針對地心直角坐標向大地坐標的轉換問題，國內外學者進行了大量研究工作，提出了許多算法，基本可以分為迭代法和直接法兩類方法[1～9]，在計算的精度和速度上都有了較大提高。但是，這些算法越來越復雜[10]，其成果難以直接用于彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標計算。

另一方面，已有算法是從大地測量角度出發，而彈道飛行器彈道計算中有其特有的物理參數，對相應的大地坐標計算問題的研究較少。

本文針對彈道飛行器空間飛行軌跡大地坐標計算問題，直接從彈道計算的地心球坐標系分量出發，給出了一種利用空間幾何關系的迭代法，并對該算法的

1 地心直角坐標系與大地坐標系

a）地心直角坐標系。

地心直角坐標系與大地坐標系如圖1所示。

原點O為橢球中心；Z軸是橢球旋轉軸，指向地球自轉軸方向；X軸指向起始大地子午面（過格林尼治平均天文臺的子午面）與赤道的交點；Y軸與X軸、Z軸構成右手坐標系，-O XYZ稱為地心直角坐標系。地面或空間任一點P，可用地心直角坐標（X，Y，Z）表示。

b）大地坐標系。

圖1中，P點的坐標還可用大地坐標表示，即經度L、大地緯度B和大地高程H。

c）大地坐標與地心直角坐標的關系。

大地坐標（L，B，H）向地心直角坐標（X，Y，Z）的轉換公式為

式中 N=a/(1-e2sin2B)1/2，其中，a為地球橢球半長軸，e為第1偏心率。

由式（1）可導出地心直角坐標向大地坐標的轉換公式：

由式（2）可以看出，大地經度可直接求解，而大地緯度和大地高程的計算公式由于相互耦合，無法直接求解。因此，地心直角坐標向大地坐標的轉換問題，可以歸結為大地緯度和大地高程的解算問題。

2 求解大地緯度和大地高程的常用算法

在眾多算法中，經過研究、對比分析，給出3種簡單實用的大地緯度和大地高程求解算法，可直接用于彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標計算。

2.1 直接法

a）橢球面近似法。

橢球面近似法是基于大地高程H較小、P點近似位于地球橢球表面時的假設條件，利用大地緯度和地心緯度及橢球方程式推導得到。大地緯度計算公式為

大地高程的計算公式為

在極區（B接近±90°）附近，改用下式計算：

該方法比較簡單，但在大地高程H稍大時，計算精度會急劇下降。

b）Bowring法[5,6]。

在直接法中，Bowring法是一種計算簡便且精度較高的算法，通過P點所在子午面內輔助圓與橢圓的解析幾何近似推導得到。大地緯度計算公式為

式中 a為長半軸；b為短半軸；2e為第2偏心率。

利用式（5）計算得到B后，再根據式（4）、式（5）計算大地高程H。

該方法雖然計算簡單，但形式比較復雜，過程參數物理概念不夠直觀，給使用者的理解帶來了一定難度。

2.2 迭代法

由式（2）可以看出，迭代法是求解大地緯度和大地高程的最直接方法，這里給出應用較多的一種迭代法，本文稱為傳統迭代法，大地緯度的迭代公式為[1]

經過迭代計算得到大地緯度B后，再根據式（4）、式（5）計算大地高程H。

迭代法通常精度較高，但迭代初值的選擇不同，達到某一精度所需的迭代次數也不相同，計算時間也不同。文獻[2]、文獻[3]中分析了不同迭代初值下的迭代精度和迭代次數。

3 利用空間幾何關系的迭代法

通過對以上3種算法及其它算法的分析可知，現有大地緯度和大地高程的解算，均從地心直角坐標系三分量（X，Y，Z）出發。

在彈道飛行器空間飛行軌跡的計算中，無論是數值積分法[11,12]還是解析解法[13～15]，可以直接得到飛行器在地心球坐標系內的三分量：地心距r，經度L，地心緯度φ，如圖2所示。因此，需要研究一種地心球坐標向大地坐標的直接轉換算法，以提高計算效率。

在圖2中，地心球坐標（r，L，φ）向地心直角坐標（X，Y，Z）的轉換公式為

反之，地心直角坐標系向地心球坐標的轉換為

考慮到空間矢量OP在XOY平面內分量和沿OZ軸分量的唯一性[16]，綜合式（1）和式（7），可得幾何關系表達式：

進一步，可得大地緯度和大地高程的計算公式：

式（10）可采用迭代法計算，從而得到地心球坐標向大地坐標的轉換方法。迭代公式為

式（12）中，大地高程的計算由大地緯度的取值范圍確定。

4 仿真分析

針對本文給出的利用空間幾何關系的迭代法，將從迭代算法的有效性、迭代初值對迭代精度的影響、迭代精度隨大地緯度和大地高程的變化規律等3方面進行仿真分析。

仿真分析中使用國家大地測量坐標系的CGCS2000橢球，幾何參數如表1所示。

表1 CGCS2000橢球幾何參數

4.1 算法有效性分析

迭代算法的有效性分析方法為：給定空間任一點的大地坐標，先轉換為地心直角坐標，再利用式（8）轉換為地心球坐標，用以模擬空間飛行軌跡，最后利用本文方法轉換為大地坐標，并與給定的大地坐標進行比較。

表2 有效性分析計算結果

從表2可以看出，本文給出的利用空間幾何關系的迭代法計算精度明顯優于直接法，與傳統迭代法精度相當。但是，本文給出的迭代法不需要地心直角坐標的轉換，計算效率優于傳統迭代法，更適合應用于空間飛行軌跡的大地坐標計算。4.2 初值影響分析

在仿真中，L取40°，大地緯度分別取10°、4 5°、80°，大地高程取50 000 m，迭代初值分別取

表3 初值影響分析計算結果

4.3 算法適用性分析

為驗證利用空間幾何關系的迭代法的適用性，將分析迭代精度隨大地緯度和大地高程的變化規律。

在仿真中，L取40°，大地緯度為0°、-90°，每隔1°取一個點，大地高程分別取為0 km、10 km、100 km和1 000 km，以ΔB≤0.000 01＂為結束條件，大地緯度、大地高程計算誤差及迭代次數分別如圖3～5所示。

從圖3和圖4中可以看出，不同條件下，大地緯度的計算精度達到10-8″，大地高程的計算精度達到10-7m，完全滿足彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標精度要求。

從圖5中可以看出，該迭代算法收斂速度較快，迭代次數均小于3次；迭代過程中同時利用了大地緯度和大地高程信息，因此迭代次數與緯度和高程均有關系，在低緯度和高緯度地區迭代次數較少，大地高程較高時迭代次數較多。

5 結 論

為解決彈道飛行器空間飛行軌跡的大地坐標計算問題，本文給出了一種利用空間幾何關系的迭代法。通過數值計算對比分析，驗證了該算法的有效性，明確了該算法的迭代初值；不同條件下的仿真結果表明，該算法具有較高的計算精度、較快的收斂速度，能夠適用于彈道飛行器任意空間飛行軌跡的大地坐標計算。

本文給出的方法同樣適用于近地軌道衛星、滑翔飛行器等空間飛行軌跡的大地坐標計算。

[1] 馬志強, 郭福生, 陳良友, 等．靶場大地測量[M]. 北京: 國防工業出版社, 2004.

[2] 祁立學, 張萍, 楊玲. 地心直角坐標到大地坐標常用轉換算法的分析與比較[J]. 戰術導彈技術, 2006(2): 37-41.

[3] 崔永俊. 空間直角坐標與大地坐標之間的變換方法研究[J]. 華北工學院學報, 2003(1): 73-75.

[4] 廖鳴, 李鵬, 陳毅平, 等. 地心直角坐標和大地坐標轉換算法研究[J].電子科技, 2010(2): 18-21.

[5] Bowring B R. Transformation from spatial to geographical coordinates[J]. Surveyreview, 1976(23): 323-327.

[6] Bowring B R. The accuracy of geodetic latitude and height equations[J]. Sun Rev, 1985(38): 202-206.

[7] Jones G C. New solutions for the geodetic coordinate transformation[J]. J Geod, 2002, 76(8): 437-446.

[8] Vermeille H. Direct transformation from geocentric coordinates to geodetic coordinates[J]. J Geod, 2002, 76(8): 451-454.

[9] 嚴伯鐸. 空間直角坐標到大地坐標變換的一種非迭代法[J]. 海洋測繪, 2002(3): 9-11.

[10] 李智, 張雅聲, 李延興, 等. 空間飛行體地心坐標與大地坐標的快速精確轉換[J]. 中國空間科學技術, 2004(1): 50-55.

[11] 張毅. 彈道導彈彈道學[M]. 長沙: 國防科技大學出版社, 2005.

[12] 賈沛然, 陳克俊, 何力. 遠程火箭彈道學[M]. 長沙: 國防科學技術大學出版社, 1993.

[13] 陳世年. 控制系統設計[M]. 北京: 宇航出版社, 1996.

[14] 李連仲. 彈道飛行器自由飛行軌道的解析算法[J]. 宇航學報, 1982, 13(1): 1-17.

[15] 鄭偉, 湯國建. 彈道導彈自由段解算的等高約束解析解[J]. 宇航學報, 2007(2): 269-272.

[16] 龍樂豪, 等. 總體設計(上)[M]. 北京: 宇航出版社, 1989.

Method of Geodetic Coordinates Calculation for Flight Trajectory

Chang Xiao-hua, Feng Hai, Zhang Jie, Qiu Ya-nan
(Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing, 100076)

Based on the spatial geometric relation-ships between geocentric spherical coordinate and geodetic coordinate, an iteration method to solve the geodetic coordinates calculation for ballistic vehicle trajectory is given. The iteration method avoids the transform of the geocentric rectangular coordinate. The efficiency of the iteration method is validated by the comparison of the traditional algorithm, and the initial iteration value is deduced. Finally, the applicability of the iteration method presented in the paper is analyzed by the numerical simulation.

Flight trajectory; Geodetic coordinates; Iteration method

TJ410

A

1004-7182(2017)03-0032-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170307

2015-12-10；

2016-02-25

常曉華（1982-），男，高級工程師，主要研究方向為飛行器動力學、制導與控制