應用型本科“高等數學”微課核心內容設計探索研究

王錦升++楊偉芳

【摘要】本文結合應用型本科院校學生特點及“高等數學”課程的教學內容和要求，探索研究了“高等數學”課程微課核心視頻的內容設計.通過實驗發現以這些內容作為核心進行微課教學可以提高學生自主學習能力、提高學習效果，并且使青年教師可以很快提高教學水平.

【關鍵詞】應用型本科；高等數學；微課設計；核心內容

【基金項目】海口經濟學院校級教改項目（Hjyj2015022）.

一、前言

傳統大學“高等數學”教材保證了數學的嚴密性、完整性，近年來出現的各類教改教材雖然淡化了這兩方面的要求，大力提倡應用性，但是在教學中不應以學生為借口降低難度、減少內容，既要保證數學的“純”，又要照顧學生的“情”.

本文結合應用型本科院校學生基礎相對較為薄弱的特點，針對“高等數學”課程的教學內容和要求，既保證教學內容的相對完整性，又要體現“夠用為主”的原則，研究設計了“高等數學”課程的微課程視頻教學內容.

二、教學內容設計

（一）第一部分：函數與極限

視頻1：初等函數簡介，內容是性質、圖像、復合函數等.

視頻2：極限的概念及性質.內容包括數列極限、函數極限.

視頻3：極限的四則運算.

視頻4：無窮小及性質.

視頻5：極限計算方法的第5、6、7種類型——無窮小性質應用、第一重要極限、第二重要極限.

視頻6：無窮小的比較以及極限計算方法的第8種類型——等價無窮小的應用.視頻7：函數連續問題處理——分界點左右表達式是否一致.

（二）第二部分：一元微分及應用

視頻1：導數定義的應用，內容包括物理應用、幾何應用、數學應用.

視頻2：導數基本公式和四則運算.

視頻3：復合函數求導技巧.

視頻4：隱函數求導技巧及應用，包括普通隱函數、冪指函數、復雜乘除法函數、含參變量函數求導.

視頻5：高階導數.

視頻6：微分.

視頻7：中值定理及洛爾定理的三個反例.

視頻8：極限的計算方法第9種類型——洛必達法則.

視頻9：泰勒公式簡介——微分與泰勒公式的關系、泰勒公式的簡單推導.

視頻10：極限計算的第9種類型——泰勒公式法.

視頻11：導數的應用，包括函數極值、最值、單調性和凹凸性.

（三）第三部分：一元積分及應用

視頻1：不定積分的直接積分法.

視頻2：不定積分的第一換元法.

視頻3：不定積分的第二換元法，內容包括換根式和倒代換.

視頻4：不定積分的分部積分法.

視頻5：極限計算方法的第11種類型——定積分法.

視頻6：定積分直接積分法.

視頻7：定積分換元積分法和分部積分法.

視頻8：廣義積分.

視頻9：定積分的應用，包括微元法、求面積、求體積、求弧長.

（四）第四部分：常微分方程

視頻1：微分模型簡介.

視頻2：常數變易法.

視頻3：全微分方程及乘數因子.

視頻4：二階常系數齊次方程通解.

視頻5：二階常系數非齊次方程特解——待定系數法、微分算子.

（五）第五部分：向量代數及空間解析幾何

視頻1：向量的內積和外積.

視頻2：空間直線.

視頻3：空間平面.

視頻4：旋轉曲面.

視頻5：二次曲面簡介.

（六）第六部分：多元微分

視頻1：二元函數極限的計算，內容包括降元法、消元法、公式法.

視頻2：偏導數與全微分的計算.

視頻3：二元抽象復合函數的求導.

視頻4：隱函數求導法.

視頻5：微分法的應用.

視頻6：方向導數和梯度的計算.

視頻7：多元函數的極值普通求法.

視頻8：拉格朗日乘數法.

視頻9：多元函數在閉區域上的最值.

（七）第七部分：重積分

視頻1：積分區域邊界的確定方法——投影原理下的廣義四邊界法.

視頻2：直角坐標系下二重積分的計算.

視頻3：極坐標系下二重積分的計算.

視頻4：三重積分計算的投影原理.

（八）第八部分：曲線積分與曲面積分

視頻1：第一類曲線積分計算.

視頻2：第二類曲線積分計算.

視頻3：格林公式.

視頻4：第二類曲線積分計算總結.

（九）第九部分：級數

視頻1：級數判斂的比較標準——幾何級數、調和級數、P-級數.

視頻2：正項級數的比較法判斂——常規比較法、比較法極限形式.

視頻3：正項級數的比值法、根式法判斂——格林公式.

視頻4：正項級數判斂總結——預判→證明.

視頻5：交錯級數判斂——構造函數法.

視頻6：冪級數收斂域的計算.

視頻7：冪級數和函數的求法——逐項積分、逐項求導.

視頻8：函數展開成冪級數.

三、實證和結論

文本依據上述教學內容的整合設計作為主要的微課視頻內容進行實驗，得到了一系列實驗數據，根據數據初步發現以這些內容作為“高等數學”微課程的核心進行微課教學，可以提高學生自主學習能力、提高學習效果，并且使青年教師可以很快提高教學水平.