談解析幾何解答題運算的張弛

萬小梅

摘要：解析幾何解答題的特點是思路往往明晰、計算充斥繁復(fù)，“會而不對、對而不全”是學(xué)生的一貫狀態(tài)。數(shù)學(xué)想拿高分，此題是必須要攻克的堡壘，故學(xué)生對其是又愛又恨。本文嘗試從面對的心理、訓(xùn)練的方法、計算的技巧等幾個層面進(jìn)行剖析，以期實現(xiàn)破局。

關(guān)鍵詞：張弛；保三爭二；心理預(yù)期；強(qiáng)化訓(xùn)練；等量代換；算理；架構(gòu)

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）04-0100

自從浙江省高考數(shù)學(xué)試卷的解答題從六道縮減成五道后，我們一直倡導(dǎo)的答題策略是“保三爭二”：要確保前三個解答題必須全對，后兩題一定要達(dá)到溫飽線，爭取到達(dá)小康線。而解析幾何位列第四題，是屬于爭取的范疇。

豈料，2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷卻放了一支冷箭：第三大題變成了二次函數(shù)加絕對值問題。這是一種新的題型，當(dāng)年全省（乃至全國）各地這么多聯(lián)考、高考試卷里都沒有出現(xiàn)此類題目，是陌生題，學(xué)生做得差實屬正常。即便從去年下半年開始到現(xiàn)在，我們不斷地進(jìn)行強(qiáng)化，但因其可變性實在是大，學(xué)生很難掌控，訓(xùn)練效果仍然不令人滿意。

相較而言，第四題的解析幾何題，程序化強(qiáng)，操控性好，于是我們便把目光聚焦到了這里。那么，把第四題作為“保三”題之一，是否真的就可以放心了呢？絕對不是！選擇它純屬無奈，僅僅是因為與第三題比，它的解題思路更容易發(fā)現(xiàn)而已。可是，學(xué)生做解析幾何題，有一個致命軟肋——運算能力差。

平面解析幾何是解析化的平面幾何，即用坐標(biāo)的方式來研究和解決平面幾何問題。盡管仍屬幾何，但更突出了純代數(shù)運算，并且大都是字母的運算。縱觀歷年全國各地高考、聯(lián)考試卷中的解析幾何大題，運算量都不小，“越算越繁”是其標(biāo)簽，“會而不對”是其常態(tài)，“對而不全”是其結(jié)局。

尤其是近幾年的浙江卷，繁復(fù)程度不一般，成為學(xué)生做之不易、丟之不舍的一個大題，真是“看上去很美，想說愛你不容易”。請看2015年的考題：

【示例】（2015·浙江·理19）已知橢圓■+y2=1上兩個不同的點A、B關(guān)于直線y=mx+■對稱。

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）求△AOB面積的最大值（O為坐標(biāo)原點）。

解：（1）由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為y=-■x+b.

由■+y2=1y=-■x+b，消去y，得（■+■）x2-■x+b2-1=0

∵直線與橢圓有兩個不同的交點，∴Δ=-2b2+2+■≥0 ①

將AB中點M（■，■）代入直線方程y=mx+■，得b=-■ ②

由①②得：m<-■或m>■

（2）由（1）得x1+x2=■，x1x2=■，令t=■∈（-■，0）∪（0，■），

則AB=■x1-x2=■■=■·■，且O到直線AB的距離為d=■.

設(shè)△AOB的面積為S（t），則S（t）=■AB·d=■■+2≤■，當(dāng)且僅當(dāng)t2=■時，等號成立.

故△AOB面積的最大值為■.

上述解題過程中，如果不把■換元成t，運算將更繁瑣；并且已經(jīng)作了一定量的刪減，倘若原原本本寫出來，篇幅會更長。

面對這種無從改變、無法左右的殘酷現(xiàn)實，我們應(yīng)該怎么做呢？

首先，要讓學(xué)生有客觀正確的心理預(yù)期。

平時教學(xué)中，要不斷宣傳與灌輸這種思想：解析幾何大題就是考查運算能力的，所以運算復(fù)雜是肯定的，運算量大是肯定的。改變能夠改變的，適應(yīng)無法改變的，在心里真正接受這個事實，而不是排斥和抗拒它。總是說“太繁了”“繁死了”，這種消極的心理暗示，不僅于事無補，還會適得其反。相反，應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成“遇繁則繁，我不怕繁”的良好心態(tài)，去面對解析幾何大題。

其次，要對學(xué)生進(jìn)行有針對性的運算訓(xùn)練。

學(xué)生的運算能力，不是我們嘴巴講講就能提高的，也不是他們看看板書就能提高的，是需要他們自己一題一題、一天一天訓(xùn)練出來的。所以，無論是上課的例子，還是課后的作業(yè)，除了運算量一般的題目外，一定還要選擇部分運算特別復(fù)雜的題給他們做，做到煩了也得做，做到吐了也得做。只有草稿紙一張一張用去，運算能力才會一點一點提升，別無他法，沒有捷徑。

同時要經(jīng)常給學(xué)生講講解析幾何題的評分標(biāo)準(zhǔn)，使他們明了聯(lián)考、高考應(yīng)該怎樣去有效得分。這樣做，有利于促進(jìn)他們書寫的規(guī)范，更能激發(fā)他們運算下去的興趣、勇氣和動力。

再次，要教給學(xué)生一些常用的運算技巧。

眾所周知，所有的運算都是有“算理”的。不是說自己擁有強(qiáng)大的運算能力，就每個題目都去做繁雜的運算。硬碰硬，這不是上策。總有這樣的題目，使用一些運算技巧后，解題過程會變得靈動無比。所以，我們要靈活對待，刪去繁復(fù)，留下清簡，裁去冗長，留下素淡，雖篇幅不長，卻生動傳神，讓學(xué)生看了，不能相忘。比如：

1. 熟記一些特殊的結(jié)論

【例1】已知橢圓C1：■+■=1（a>0）與拋物線C2：y2=2ax相交于A、B兩點，且兩曲線的焦點F重合。

（1）求C1、C2的方程；

（2）若過焦點F的直線l與橢圓分別交于M、Q兩點，與拋物線分別交于P、N兩點，是否存在斜率為k（k≠0）的直線l，使■=2？若存在，求出k的值。

略解：（2）由y2=4xy=k（x-1）得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，x1+x4=■，

x1+x4=1，∴PN=■·■=■.

由■+■=1y=k（x-1），得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，則x2+x3=■，

x2+x3=■，∴MQ=■·■=■。

若■=2，則■=2×■，解得k=±■。

【評注】這是一道隨堂練，比較基礎(chǔ)，學(xué)生都會做。以上是大部分學(xué)生采用的解法。我們知道：弦長公式的使用是導(dǎo)致解析幾何題運算量增加的一個主因，而上面的解答竟然還用了兩次弦長公式，肯定不是最優(yōu)的解法。那么，應(yīng)該怎樣簡化計算呢？由題意可知，兩條弦都是焦點弦，是較為特殊的弦，直接利用焦點弦的長度計算公式：PN=x1+x2+p、MQ=3a+e（x1+x2）。這樣求解，關(guān)于弦長的代數(shù)式中既沒有根號，也沒有二次，明顯要簡潔明快得多。在平時的教學(xué)中，有意識地指導(dǎo)學(xué)生多記憶一些教材中沒有出現(xiàn)，卻很實用的公式和結(jié)論，用于解題，提高效率。

2. 使用一些重要的計算方法

【例2】已知橢圓C的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為■且經(jīng)過點（1，■）。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）線段PQ是橢圓過點F2的弦，且■=λ■，求△PF1Q內(nèi)切圓面積最大時實數(shù)λ的值。

略解：（2）將直線的方程代入橢圓方程得：

（3m2+4）y2+6my-9=0，y1+y2=■，y1y2=■。

∴S△=y1-y2=■=■，令■=t（t≥1），

則S△=■=■∈（0，3]，當(dāng)t=1，即m=0時取到最大.

設(shè)△PF1Q內(nèi)切圓半徑為r，則S△PF1Q=■（PF1+QF1+PQ1）·r=4r≤3

即rmax=■，此時直線PQ與x軸垂直，∴■=λ■，∴λ=1。

【評注】此題頗具難度，當(dāng)時是選作課內(nèi)的例題。①題中的內(nèi)切圓方程是無法求出來的，要計算內(nèi)切圓面積的最大值，勢必得轉(zhuǎn)化為求△PF1Q面積的最大值；②如果用底乘高來求PF1Q的面積，需要用到弦長公式、點線距公式，不如用分割法巧妙；③倘若直線PQ的方程設(shè)為點斜式，則應(yīng)分斜率存在、斜率不存在兩種情況進(jìn)行討論，現(xiàn)在設(shè)成x=my+1，可有效避免分類討論；④△PF1Q面積表示式是比較繁的，直接求最大值無疑困難重重，通過換元，整個架構(gòu)變得清晰起來：是一個“耐克函數(shù)”，求最大值就輕而易舉了。

上述求解，集眾多重要的思想方法于一身，才使解題過程如此簡潔完美，否則或無從下手，或解不出來，都將功虧一簣。

3. 進(jìn)行一些等量代換

【例3】拋物線C：y2=2px的焦點為F，拋物線上一定點Q（1，2）。

（1）求拋物線C的方程及準(zhǔn)線l的方程；

（2）過焦點F的直線（不過點Q）與拋物線交于A、B兩點，與準(zhǔn)線l交于點M，記QA、QB、QM的斜率分別為k1、k2、k3，問是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3成立。若存在λ，求出λ的值。

【分析】（2）可知M（-1，-2k），Q（1，2），

∴k3=■=k+1.又k1=■，k2=■，

∴k1+k2=■+■=■

上式的分母已經(jīng)可以直接用韋達(dá)定理代入了，分子則不行，其中的每一個都要用y1=k（x1+1）代入，再展開，整理成x1+x2、x1x2后，再用韋達(dá)定理。看到這里，你還有繼續(xù)算下去的勇敢的心嗎？你還有繼續(xù)算下去的毅力和能力嗎？無怪乎當(dāng)時上交的作業(yè)中，有些學(xué)生的計算就到此為止了。現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)換一下思維，請看：

k1+k2=■+■=■+■-■

=2k-■=2k+2

∴存在常數(shù)λ=2，使得k1+k2=λk3成立.

首先對兩個分式同時實施“分離常數(shù)”，再利用四點共線時斜率兩兩相等進(jìn)行等量代換，輕松消去yi，只剩下xi，計算就簡便許多。

誠然，計算的技巧遠(yuǎn)不只此，限于篇幅，不作一一贅述。

總之，筆者愿通過這篇拙文，與大家一起探討、交流，試圖解決學(xué)生在解析幾何題上以怎樣的心態(tài)面對，以怎樣的方式訓(xùn)練，以怎樣的方法簡化。多管齊下，遇繁則繁，能簡則簡，兩手都要抓，兩手都要硬，使解析幾何題能夠成為學(xué)生穩(wěn)穩(wěn)拿高分，甚至拿滿分的一道大題，為數(shù)學(xué)考出高分奠定扎實的基礎(chǔ)。

倘若真能如此，足矣。

（作者單位：浙江省金華市磐安中學(xué) 322300）