重視課堂“三原則”提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維

浙江海鹽元濟(jì)中學(xué) (314300) 董燕勤 李躍仁

重視課堂“三原則”提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維

浙江海鹽元濟(jì)中學(xué) (314300)
董燕勤 李躍仁

隨著新一輪教育改革的深入，在提出“減必修，增選修”的同時(shí)，人們更加關(guān)注課堂教學(xué)，特別是課堂教學(xué)的效率，提高課堂的有效性已成為教師們關(guān)注的焦點(diǎn)，高效課堂已經(jīng)成為我們的一種追求.

一方面，新課程改革正在如火如荼的開(kāi)展，新的課堂模式，新的教法，新的概念如雨后春筍般冒出來(lái)，但是絕大多數(shù)的核心是“動(dòng)”，彰顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán).杜郎口中學(xué)“三三六”自主學(xué)習(xí)模式，包括課堂自主學(xué)習(xí)三特點(diǎn)，即主體式、大容量、快節(jié)奏；自主學(xué)習(xí)三大塊，即預(yù)習(xí)，展示，反饋；課堂展示六環(huán)節(jié)，即預(yù)習(xí)交流，明確目標(biāo)，分工學(xué)習(xí)，展現(xiàn)提升，穿插鞏固，達(dá)標(biāo)測(cè)評(píng).其“10+35”、“0+45”的教學(xué)模式具有顯著特色，即學(xué)生課堂上自主參與，課堂上絕大部分時(shí)間留給學(xué)生，老師僅用極少時(shí)間實(shí)施“點(diǎn)撥”.但是另一方面，我們還必須清醒地看到，在課堂氛圍轟轟烈烈之后學(xué)生到底掌握了多少？關(guān)注了課堂教學(xué)的外在形式，思維作為數(shù)學(xué)的內(nèi)在是否得到提升？

隨著課改的一步步深化，也越來(lái)越倒逼教師加強(qiáng)研究，自我充電，提升素養(yǎng)，我們開(kāi)始認(rèn)真研究學(xué)生的共同特點(diǎn)和個(gè)別差異，綜合考慮各班每個(gè)學(xué)生的智力與非智力因素，教學(xué)要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，教學(xué)要符合教育學(xué)心理學(xué)規(guī)律，即在關(guān)注確立學(xué)生的課堂主體地位的同時(shí)，更應(yīng)該重視凸顯數(shù)學(xué)應(yīng)有的數(shù)學(xué)思維的核心地位！

從學(xué)生的 認(rèn)知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段.所以教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要有直觀性、啟發(fā)性、可接受性，從而逐步提升數(shù)學(xué)思維.

一、思維的起點(diǎn)：直觀性感知，理解最基本的原理、概念

1.1 教學(xué)直觀性的概念

直觀性原則，是指在教學(xué)中通過(guò)學(xué)生觀察所學(xué)知識(shí)，或教師語(yǔ)言的形象描述，引導(dǎo)學(xué)生形成所學(xué)知識(shí)、過(guò)程的清晰表象，豐富他們的感性知識(shí)，從而使他們能夠正確理解書(shū)本知識(shí)，發(fā)展認(rèn)知能力.

1.2 教學(xué)直觀性的重要性

教學(xué)直觀性反映了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，即通過(guò)感性、形象而具體知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生對(duì)課程學(xué)習(xí)的興趣和積極性，減少學(xué)習(xí)抽象概念的困難，并通過(guò)展示事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、相互關(guān)系和發(fā)展過(guò)程，幫助學(xué)生形成科學(xué)的概念，從而更好地深化認(rèn)識(shí)和運(yùn)用知識(shí).俄國(guó)教育家烏申斯基指出：“邏輯不是別的東西，而是自然界的事物和現(xiàn)象的聯(lián)系在我們頭腦中的反映”.

1.3 教學(xué)直觀性的應(yīng)用

雖然中學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平已由具體運(yùn)算進(jìn)入到抽象運(yùn)算階段，但是即使他們?cè)谡w上認(rèn)知水平已經(jīng)達(dá)到了抽象運(yùn)算的水平，在每個(gè)新數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)仍采用具體或直觀的方式去探索新概念.所以教師在備課時(shí)需要在直觀性的駕馭上做些科學(xué)的合情創(chuàng)新，向?qū)W生提供豐富的直觀背景材料，設(shè)計(jì)合理的模型、動(dòng)畫(huà)，從具體到抽象，從特殊到一般為抽象思維合理鋪墊.平時(shí)的授課中，可以從以下4方面讓學(xué)生直觀性的感知知識(shí).

1.3.1 結(jié)合數(shù)學(xué)史，呈現(xiàn)概念

講授新課時(shí)，結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容適當(dāng)引入一些數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家的故事，或者講一些生動(dòng)的數(shù)學(xué)典故，往往能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

比如，解析幾何巧妙地將幾何與代數(shù)結(jié)合在一起，是數(shù)形結(jié)合很好的一個(gè)范例.筆者在教學(xué)中向?qū)W生介紹了1637年解析幾何的奠基人笛卡兒在《幾何學(xué)》中引入了坐標(biāo)，并用代數(shù)方法、坐標(biāo)方法更換了古代方法，解決幾何作圖問(wèn)題.從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解析幾何的精髓是：引進(jìn)坐標(biāo)，用代數(shù)方法表示曲線，然后通過(guò)對(duì)方程的討論得出曲線的性質(zhì).它用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)把曲線看成為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，建立了點(diǎn)與實(shí)數(shù)對(duì)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把“形”(包括點(diǎn)、線、面)和“數(shù)”(包括數(shù)、式、方程及函數(shù))兩個(gè)對(duì)立的對(duì)象統(tǒng)一起來(lái)，建立了曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系.它以坐標(biāo)的研究為基礎(chǔ)、以代數(shù)方程研究為前提、以圓錐曲線的定性研究為依據(jù)，揭示各知識(shí)內(nèi)在的辯證關(guān)系.在圓錐曲線的后續(xù)教學(xué)中，筆者始終抓住這條主線，反復(fù)強(qiáng)化“用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的思想，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)教材的同時(shí)，用聯(lián)系、變化、發(fā)展的觀念思考問(wèn)題的習(xí)慣也得到了培養(yǎng).

新概念是為了解決數(shù)學(xué)中某個(gè)矛盾，某種問(wèn)題或某種需要才引入的.為此引入新概念時(shí)，必須向?qū)W生講清引入的目的、原因，要使學(xué)生感到是一件很自然、必須做的事情.

1.3.2 借助模型，感知概念

鄭毓信先生指出，在更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)研究中，數(shù)學(xué)概念只能依靠定義去演繹推理，而不能借助于直觀，但就初等數(shù)學(xué)而言，數(shù)學(xué)概念反映的是數(shù)學(xué)對(duì)象仍具有一定的直觀性，如果能把數(shù)學(xué)概念的空間形式直觀化，就會(huì)點(diǎn)擊學(xué)生認(rèn)知，活躍學(xué)生形象思維，沖破學(xué)生思維定勢(shì)，重構(gòu)學(xué)生認(rèn)知體系.波利亞說(shuō)過(guò)，對(duì)數(shù)學(xué)特征的直觀化表征往往能根植進(jìn)學(xué)生的心靈，因此空間形式直觀化能有效地實(shí)施概念教學(xué)，使學(xué)生的概念接受過(guò)程變得更淺顯，更突出.

“形”是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象之一.例如通過(guò)觀察一個(gè)函數(shù)的圖形可以得出：函數(shù)的單調(diào)性(增減性)，奇偶性，周期性等概念.通過(guò)觀察長(zhǎng)方體模型來(lái)代表空間中的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系可以得出異面直線；直線與平面平行、相交、在平面內(nèi)；平面與平面平行、相交的概念等等.許多數(shù)學(xué)概念都是從實(shí)物中抽象出來(lái)的.

1.3.3 適時(shí)開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，獲得概念

這是教育本身的典型策略，數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的理論聯(lián)系實(shí)際，是指“探究性”學(xué)習(xí)中學(xué)生自主活動(dòng)，親身體驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)概念，在親自動(dòng)手、主動(dòng)參與的過(guò)程中培養(yǎng)自己的認(rèn)知能力，從而獲得對(duì)概念的理解和掌握.

例如學(xué)習(xí)“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”時(shí)，就橢圓的概念實(shí)行實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，很多同學(xué)都見(jiàn)過(guò)木匠師傅畫(huà)橢圓時(shí)采用的方法——固定繩的兩端，用黑筆繞繩勾勒.自己動(dòng)手進(jìn)行后，總結(jié)其內(nèi)在規(guī)律并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去刻畫(huà)橢圓——到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，并且兩定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng).這樣，對(duì)橢圓的概念通過(guò)自己的親身體驗(yàn)得以構(gòu)建，從而更深刻地理解了橢圓的概念.

1.3.4 結(jié)合生活實(shí)際，引入概念

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，所以在日常教學(xué)中可以以生活實(shí)例作為引入，讓學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的重要性.

例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列的第一課時(shí)時(shí)的引例：某人得到一家公司的聘用，老板說(shuō)，目前年薪為1萬(wàn)元，這里有兩種方案供你選擇：第一種，每一年加1000元；第二種，每半年加300元.試問(wèn)，如果你打算在該公司工作5年，究竟用那種方案得到收入多？

這是一個(gè)很好的等差數(shù)列的探究性問(wèn)題，也是數(shù)學(xué)文化在生活中應(yīng)用的具體體現(xiàn).初看起來(lái)，一年加一千，總比半年加三百即一年加六百要好.其實(shí)，加薪后是不會(huì)減下來(lái)的，所以按兩種方案得到各時(shí)段的實(shí)際加薪數(shù)的數(shù)列，見(jiàn)下表(底薪1萬(wàn)元未記,單位：元)

時(shí)段加薪數(shù)12345678910方案一10002000300040005000方案二3006009001200150018002100240027003000

由此看出，除了第一年，按方案一得1000元，多于方案二得600元外；第二年按方案一可得1000+2000=3000元，按方案二也可得300+600+900+1200=3000元；到第三年，情況為：

方案一：1000+2000+3000=6000元，

方案二：300+600+900+1200+1500+1800=6300元.

以后再算下去，方案二明顯占優(yōu)勢(shì).到第五年后總加薪數(shù)為：

方案一：1000+2000+3000+……+5000=15000,

方案二：300+600++900+……+3000=16500.

但是如果方案二是每半年加200元呢？那么每半年加薪多少會(huì)使得n年后方案二有利呢？

這一問(wèn)題的變化還有很多，用這一問(wèn)題作為數(shù)列的第一課時(shí)的引入，激起學(xué)生對(duì)數(shù)列的好奇心，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是很有益的，也使學(xué)生獲得社會(huì)生活經(jīng)驗(yàn)的積累.

二、思維難點(diǎn)的突破：?jiǎn)l(fā)學(xué)生解決思維過(guò)程中的障礙

2.1 啟發(fā)性原則的概念

啟發(fā)性原則是指在教學(xué)中教師要承認(rèn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，引導(dǎo)他們獨(dú)立思考，積極探索，生動(dòng)活潑地學(xué)習(xí)，自覺(jué)地掌握科學(xué)知識(shí)以提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

2.2 啟發(fā)性原則的重要性

子曰：“不憤不啟，不悱不發(fā)，舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也.”這句話的意思是：不到學(xué)生努力想弄明白但仍然想不透的程度不要去開(kāi)導(dǎo)他；不到學(xué)生心里明白卻不能完善表達(dá)出來(lái)的程度不要去啟發(fā)他.陶行知先生說(shuō):“真正的教育必須培養(yǎng)出能思考會(huì)創(chuàng)造的人.發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)是一問(wèn).”這就要求教師更加注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和問(wèn)題意識(shí)，而實(shí)現(xiàn)這種教學(xué)的手段之一就是啟發(fā)式教學(xué).如果我們用自己的教學(xué)來(lái)代替學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)，用自己的思考來(lái)代替學(xué)生的主動(dòng)思考，課堂氣氛沉悶，學(xué)生失去興趣，久而久之，學(xué)生主動(dòng)求知欲沒(méi)有了，創(chuàng)造的火花熄滅了，成了消極接受知識(shí)的容器.新課改要求我們實(shí)行啟發(fā)式教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，突出學(xué)生的主體地位.

2.3 啟發(fā)性原則的應(yīng)用

蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò)：“在心靈深處，總有一種把自己當(dāng)作發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者的固有需要.這種需要在中小學(xué)生精神世界尤為重要.”所以教師應(yīng)從“啟”字上下工夫，在啟迪引導(dǎo)學(xué)生興趣上動(dòng)腦筋，創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑情境，激發(fā)學(xué)生求知欲和解決問(wèn)題的強(qiáng)烈愿望.例如對(duì)正弦定理這節(jié)課的設(shè)計(jì)：

(1)引出概念，從特殊到一般

首先，給出直角三角形的情況.

圖1

師：如圖1，已知直角△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，∠C=90°，則根據(jù)初中所學(xué)知識(shí)可知哪些邊角關(guān)系？

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察以上幾個(gè)等式，你能總結(jié)出哪些等量關(guān)系？

請(qǐng)學(xué)生自己列舉，肯定的同時(shí)適當(dāng)提醒前面兩個(gè)式子有什么共同的特點(diǎn)？

生：等式右端分母都是c.

師：我們利用這三個(gè)等式，分別表示c，可以得到什么？

引導(dǎo)學(xué)生探究可知在直角三角形中，找到了邊與角之間構(gòu)建的和諧等式：

(2)在教學(xué)中要注意發(fā)揮學(xué)生的原有認(rèn)知

師：同學(xué)們不妨大膽猜想一下，這個(gè)等式在一般三角形中是否成立？

請(qǐng)同學(xué)們用所學(xué)過(guò)的知識(shí)，自己嘗試驗(yàn)證.

首先將學(xué)生引入一定的問(wèn)題情境——研究三角形的邊角關(guān)系，喚起學(xué)生已有的相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，然后給出直角三角形中的正弦定理推導(dǎo)方案，這是個(gè)改造和重組已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，這種經(jīng)驗(yàn)背景能幫助學(xué)生把新知識(shí)組織和納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.學(xué)生很容易想到的方法是：

方法一：(作高法)在應(yīng)用作高法推導(dǎo)的過(guò)程中學(xué)生往往會(huì)忽略了對(duì)“銳角三角形”和“鈍角三角形”的分情況討論，而只考慮到銳角三角形的情況.對(duì)此情況，應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)考慮問(wèn)題的全面性.

至于鈍角三角形的情況，由學(xué)生自己補(bǔ)充完成證明.

方法二：(面積法)在學(xué)生產(chǎn)生感性的認(rèn)識(shí)后，通過(guò)由直角三角形中推導(dǎo)的結(jié)論(邊與角之間的比例關(guān)系),引導(dǎo)學(xué)生在一般三角形中類(lèi)比思維，在已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中尋求能夠得到邊角之間關(guān)系的內(nèi)容，將已有知識(shí)變形、改造，最后得到一般三角形的定理推導(dǎo)方法.通過(guò)這樣教學(xué)設(shè)計(jì),學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上,積極去發(fā)現(xiàn)，上升到一個(gè)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

(3)在教學(xué)中要注意挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)能力

教師在教學(xué)過(guò)程中，僅僅解決學(xué)生的疑惑還不夠，還要傳授新知識(shí)和技能，又要有意識(shí)地發(fā)展學(xué)生的思維能力.在推導(dǎo)結(jié)論時(shí)還可以用向量方法解決，由于向量是學(xué)生剛剛接觸到的知識(shí)，不容易接受，而且應(yīng)用還不夠熟練，但是可以借此機(jī)會(huì)進(jìn)一步鞏固，因此向量法學(xué)生并不容易想到，還需要教師做如下的引導(dǎo)：

師：以上兩種方法是比較傳統(tǒng)的利用三角形的知識(shí)解決正弦定理的推導(dǎo)方法.請(qǐng)思考我們所學(xué)的知識(shí)中還有什么內(nèi)容涉及到三角形的邊角關(guān)系？

學(xué)生很容易想到向量.

師：現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了向量，我們能否用向量的方法推導(dǎo)出正弦定理呢？考慮：正弦定理中既有長(zhǎng)度又有三角函數(shù).在向量部分，什么量既有長(zhǎng)度又有三角函數(shù)？

師：以銳角三角形為例，在△ABC中，三邊的向量關(guān)系如何？

師：所以要做數(shù)量積，就要找合適的向量相乘.找哪個(gè)向量與上式的左右兩邊相乘呢？

教師可從旁提醒觀察正弦定理的變形asinC=csinA,即左右要對(duì)稱(chēng)，由此可推測(cè)所成向量和其中一個(gè)向量的數(shù)量積為零，學(xué)生易得到作AC邊上的高.剩下的證明可由學(xué)生獨(dú)立完成！

這個(gè)新穎而且同樣簡(jiǎn)單的推導(dǎo)方法往往引起學(xué)生的好奇心,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).對(duì)于鈍角三角形的情況，留給同學(xué)課下證明.學(xué)生有了明確的學(xué)習(xí)目的和濃厚的學(xué)習(xí)興趣，求知欲旺盛，反映在學(xué)習(xí)態(tài)度上則表現(xiàn)為積極和主動(dòng).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的作用應(yīng)盡力體現(xiàn)在思維情境的創(chuàng)設(shè)、啟發(fā)性問(wèn)題的提出、學(xué)生創(chuàng)造性思維興奮點(diǎn)的捕捉等方面，通過(guò)導(dǎo)趣、導(dǎo)思、導(dǎo)法，使學(xué)生多動(dòng)、多猜想、多發(fā)現(xiàn)、多“創(chuàng)造”.教師只有不斷擴(kuò)充自己的知識(shí)，提高自己的業(yè)務(wù)水平，才能在教學(xué)中貫徹落實(shí)啟發(fā)性教學(xué)原則.

當(dāng)然要使數(shù)學(xué)課程真正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內(nèi)容過(guò)于簡(jiǎn)單，缺乏思考余地.沒(méi)有挑戰(zhàn)性，不能激發(fā)學(xué)生思維，甚至不能滿足學(xué)生學(xué)習(xí)愿望.第二，內(nèi)容過(guò)于復(fù)雜、抽象.超過(guò)了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“最近發(fā)展區(qū)”的水平，學(xué)生將會(huì)由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

三、思維程序的組織：讓學(xué)生在可接受性的同化中提升思維水平

3.1 可接受性原則的概念

可接受性是指教學(xué)的內(nèi)容、方法、份量和進(jìn)度要適合學(xué)生的身心發(fā)展，是他們能夠接受的，但又要有一定的難度，需要他們經(jīng)過(guò)努力才能掌握，以促進(jìn)學(xué)生的身心發(fā)展.

3.2 可接受性原則的重要性

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中要注意教師傳授知識(shí)的有效性原則和學(xué)生接受知識(shí)的可接受性原則.新課改對(duì)老師提出了更高的要求，在減少必修的同時(shí)就得保證課堂的有效性，而有效的考核即為學(xué)生是否接受.教學(xué)內(nèi)容、方法都要適合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，主要依賴(lài)于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)概念，通過(guò)新舊知識(shí)的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程，它包括輸入、同化、操作三個(gè)階段.因此，作為數(shù)學(xué)課程內(nèi)容要同學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有密切聯(lián)系，其抽象性與概括性不能過(guò)低或過(guò)高，要處于同級(jí)發(fā)展水平.這樣才能使數(shù)學(xué)課程內(nèi)容被學(xué)生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識(shí)有意義的同化作用，改造和分化出新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.3 可接受性原則的應(yīng)用

在教學(xué)過(guò)程中，只有通過(guò)設(shè)置梯度合適的“階梯”,溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系,把問(wèn)題解決建立在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的基礎(chǔ)上,一個(gè)一個(gè)臺(tái)階地過(guò)渡、遞進(jìn),才能挖掘出學(xué)生的最大潛力,才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決能力的飛躍.

如在“基本不等式應(yīng)用”的教學(xué)中，有這樣一道例題.

此題較為簡(jiǎn)單，直接利用均值不等式求解學(xué)生基本都會(huì)．若就此擱筆淺嘗則止，沒(méi)有真正體現(xiàn)此題的價(jià)值，沒(méi)有挖掘其深層次的內(nèi)涵，故不妨就此題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、解題規(guī)律和方法的典型性與可行性等方面進(jìn)行變式、探討，從而達(dá)到橫向拓寬和縱向延伸之境界.

變式2 求下列函數(shù)的最值：

變式3 求下列函數(shù)的最值：

(以上利用基本不等式求解不可行，因?yàn)榈忍?hào)取不到，只能改為利用函數(shù)的單調(diào)性求解，即利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)增(減)區(qū)間.(解略))

變式4 由此及彼，若將結(jié)構(gòu)式中的“+”改為“-”，解題方法又如何？能否推廣到一般的情形？

通過(guò)對(duì)本題解題過(guò)程的變式反思，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出如下解題規(guī)律：

圖2

(1)當(dāng)ab>0時(shí)，首選均值不等式求最值，若等號(hào)取不到則改為利用函數(shù)單調(diào)性求解；(如a>0,b>0其圖像如圖2所示)

(2)當(dāng)ab<0時(shí),(a>0,b<0如圖3；a<0,b>0如圖4所示)

圖3 圖4

顯然此時(shí)基本不等式不適用，可利用函數(shù)單調(diào)性求解.

通過(guò)這樣的教學(xué)，讓學(xué)生真正掌握基本不等式在運(yùn)用過(guò)程中不能忽視“各項(xiàng)必須為正數(shù)”這一條件，能認(rèn)識(shí)到哪些形式可以轉(zhuǎn)化為基本不等式解決，“淺入深出”，恰當(dāng)設(shè)計(jì)問(wèn)題，因勢(shì)利導(dǎo)地啟發(fā).

教學(xué)有法、教無(wú)定法、貴在得法.筆者認(rèn)為，作為數(shù)學(xué)教師，不管采用何種教法，必須從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，教學(xué)要符合教育學(xué)心理學(xué)規(guī)律，把握課堂三原則，重視確立數(shù)學(xué)課堂中思維的核心地位，從而才能提高課堂實(shí)效.

[1]陳平.數(shù)學(xué)課應(yīng)重視思維的核心地位[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2014,4.

[2]蔡小雄.啟迪思維是數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的首要[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2013,8.

[3]張奠宙.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M].南京：江蘇教育出版社,1998.