從一道上海高考題的改編到課堂教學

江蘇省東臺市安豐中學 (224221) 仇愛華

從一道上海高考題的改編到課堂教學

江蘇省東臺市安豐中學 (224221)
仇愛華

1.試題改編

2015年上海高考第21題：已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于點A,B和C,D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.

(1)設A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A,C的坐標表示點C到直線l1的距離，并證明S=2|x1y2-x2y1|；

這道高考題背景深刻，它的思路不偏不怪，符合解析幾何中方法性及運算能力的考查.筆者認為，唯一遺憾的是試題設計的指向性強，限制了考生的思路，若換一種設計方式，讓考生自行選擇思路，效果會更好.為此，筆者對該考題進行了適當的改編.

改編題：已知橢圓x2+2y2=1，斜率分別為k1,k2的兩條直線l1和l2都過原點，且分別交橢圓于A,B和C,D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.

(1)設A(x1,y1)，C(x2,y2)，求證：S=2|x1y2-x2y1|；

2.課堂教學

筆者把這道改編題用作高二數學期末復習的范例，由于方法靈活、可探究性強，課堂氣氛活躍，自感取得了滿意的教學效果.現把相關教學內容整理如下，供讀者參考、研討.

2.1 面積公式的選用

改編題的第(1)小題，學生能想到原高考題方法：

經教師點撥后，學生都能用下列方法完成：

法二:∵A(x1,y1)，C(x2,y2)，∴OA=

雖然方法二在計算sin∠AOC時有點繁，但它是解決本小題合理、有效的通法，也需要學生掌握.

2.2 運算方向的選擇

第(2)小題，學生都知道用上小題的結論S=

2|x1y2-x2y1|，但最初的思考有差異，有學生利用斜率k1,k2表示A,C兩點的坐標，然后代入S=

現如今，學校為了讓“減負”出成效，往往與教師簽訂“減負”工作責任書，把數學課堂作業能否當堂完成列入考核內容。很多教師迫于學?？己说膲毫?，把當堂完成課堂作業簡單的等同于完成教學任務。

2|x1y2-x2y1|.

完成改編題的解答后，筆者提出探究問題：條件不變，設k1k2=m≠0，試問當m為何值時，平行四邊形ACBD的面積S最大？絕大多數學生想到運用方法一完成，少數學生先用方法二，不奏效，很快轉而用方法一.

解:由k1k2=m≠0，不妨設k1>0，則k2與m同號.

該探究問題揭示了高考題的背景，挖掘其本質，把課堂推向高潮，增強了學生研究問題的能力，是本節課的亮點.

3.兩點思考

3.1 增加發散性試題的比例

發散性思維，又稱擴散性思維、輻射性思維、求異性思維.它是一種從不同的方向、途徑和角度去設想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法.它需要發揮人的想象力，突破原有的知識圈，從一點向四面八方想開去，并通過知識、觀點的重新組合，尋求更多、更新的設想、答案和方法.

一般來講，試題的設計應讓考生有自由發揮的空間，考查學生的發散思維能力，鼓勵考生想出優秀的解法解題，這樣的試題用于課堂教學也能調動學生的積極性.上海市高考數學試卷開放性很強，是全國高考命題的典范.當然，本文中的這道高考題，也許是命題者有其他想法，筆者不再妄議.

3.2 加強探究性教學

現在的高中生由于高考升學的壓力，他們往往都苦于題海戰，是在壓迫狀態的學習，對數學學習毫無興趣可言.作為教師，我們有義務、有必要開展數學活動課，讓學生體會數學學習的樂趣，而不懼怕數學學習，真正調動他們學習數學的積極性，讓他們在活動中探究新問題、解決新問題，以提升他們數學的研究能力.那么我們怎樣才能開展好一節探究性學習課呢？筆者認為可以從以下幾個方面入手：

(1)首先要加強解題、研題能力.要充分研究高考題、自主招生試題等的解題方法，并有挖掘其內涵與背景的能力，就像本文中，教師需要加強學習研究，才能提出“探究k1k2=m為何值時，平行四邊形ACBD的面積S為最大？”，這是硬功夫；

(2)其次要拓寬自身的數學知識視野.比如，我們可以通過學習教材中的閱讀材料、雜志上新穎的素材等拓寬自身視野，并尋找它們與學生已有知識的聯系，只有我們具備了豐富的知識視野，才能為學生選擇多角度、全方位的探究性活動課；

(3)最后我們還要走到學生中去.尋找他們的困惑問題、巧解(錯解、多解)方法等以此作為研究，也能得到好的探究性素材.

總之，我們教師需要繼續學習，不僅要學習先進的教育教學理念，而且要通過自己的學習鉆研或參加繼續教育培訓來提高自身的數學專業素養.如此，只要我們做一個研究型的教師，就能為學生提供豐富多彩的研究性課堂.