涉及三角形角平分線的兩個(gè)對(duì)稱不等式

江蘇省海頭高級(jí)中學(xué) (222111) 劉永巖

涉及三角形角平分線的兩個(gè)對(duì)稱不等式

江蘇省海頭高級(jí)中學(xué) (222111)
劉永巖

為了書(shū)寫(xiě)上方便，下面我們用記號(hào)∑表示循環(huán)和，如∑a=a+b+c，∑ab=ab+bc+ca等,文[1]給出如下的一個(gè)旁切圓與邊長(zhǎng)的不等式：

已知ra,rb,rc是ΔABC的邊a,b,c分別為鄰邊的旁切圓的半徑，則∑(ra-rb)2≥∑(a-b)2.

文[2]給出中線、高與邊長(zhǎng)的兩個(gè)不等式：

(2)記ΔABC三邊為a,b,c，相應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)為ha,hb,hc,則∑(ha-hb)2≥∑(a-b)2.

受其啟發(fā)，筆者得到如下兩個(gè)不等式：

為了證明上述兩個(gè)不等式，我們介紹下面一個(gè)不等式

證:根據(jù)三角形角平分線公式及柯西不等式，有

下面我們證明結(jié)論1,2:

由Gerretsen不等式s2≤4R2+4Rr+3r2,

由Euler不等式R≥2r可知④式≥0，故原不等式成立.

故原不等式成立.

注：此不等式為劉保乾在《110個(gè)有趣的不等式問(wèn)題》[5]中提出的LBQ25(C)問(wèn)題.

故我們可以得到不等式鏈

[1]秦慶雄.一個(gè)漂亮的幾何不等式[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月).2009.6.

[2]侯典峰.兩個(gè)優(yōu)美的幾何不等式[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2010.6.

[3]董林.對(duì)一個(gè)優(yōu)美幾何不等式的研究[J].中學(xué)數(shù)學(xué).2011.2.

[4]楊學(xué)枝.關(guān)于角平分線的一個(gè)不等式[J].數(shù)學(xué)通訊.1995.8.

[5]楊學(xué)枝.不等式研究[M].拉薩:西藏人民出版社,2003.393-394.