一道預(yù)賽題的再探究

廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中部 (519090) 唐生萬

一道預(yù)賽題的再探究

廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中部 (519090)
唐生萬

上述問題1為2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題.本文在此將給出上述問題的一般化探究，同時(shí)對(duì)三角形的外心、重心、垂心等類似問題作進(jìn)一步探究，希望對(duì)讀者有所幫助.

ΔABC中,AB=c,BC=a,AC=b,我們不妨提出如下更一般性的問題：

事實(shí)上，對(duì)于問題2，我們有如下結(jié)論：

圖1

大家知道，三角形的四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)常常作為各級(jí)各類考試的熱點(diǎn)問題，類似于問題2，我們不禁提出如下問題：

對(duì)于上述問題，類似于結(jié)論2，我們也可得到如下結(jié)果：

證明：若O為ΔABC的重心，不難求得x∶y∶z=1∶1∶1.

若b2+c2≠a2,則由(*)式方程組解得

綜上所述，若O為ΔABC的外心，則x∶y∶z=a2(b2+c2-a2)∶b2(c2+a2-b2)∶c2(a2+b2-c2).

故(**)式可轉(zhuǎn)化為

不難驗(yàn)證此時(shí)x∶y∶z=[a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].

綜上所述，若O為ΔABC的垂心，則x∶y∶z=

[a4-(b2-c2)2]∶[b4-(c2-a2)2]∶[c4-(a2-b2)2].