談談高中數學解題入手能力的培養

陳奮

摘要：本文是談談高中數學解題入手能力的培養思路，包括觀察能力，運用基礎知識的能力和滲透數學思想三方面。

關鍵詞： 入手；觀察；能力培養；滲透；數學思想

中學數學學習以解題為主要手段，因此數學教學的重點在于幫助學生理解題意和掌握解題方法，培養學生的解題能力。本文對“數學解題能力”簡單劃分為三個部分：解題入手能力、邏輯推理能力和表達能力。反思平時的教學，對后兩部分比較注重，指導也到位，而對于解題入手能力關注不夠。目前，高中學生用于學習數學科的時間相對較多，但效率不高。往往老師對學生的問題稍微指點一下，就能迎刃而解，很明顯是學生解題入手能力的問題。因此，在正常的教學過程中，必須對學生“數學解題入手”能力的培養加以重視。在此本文從三方面談談培養“數學解題入手”能力的思路。

一、培養學生觀察能力，

數學學習需要敏銳的觀察力和豐富的想象力，而數學觀察是數學解題的基礎。數學觀察就是通過題中所給的數值、形態結構、代數式的形式、圖形等獲取數學信息，了解數學信息中數字、圖形之間的內在聯系。由于學生觀察能力不足，并不熟悉從何做起，教師可利用一些習題有意識有方向性地加以引導。以下是我從事教學多年來總結出來的幾點做法：

1.觀察題目的結構特征，選用有利的解題入口，培養選擇入口的意識 有些題目入口寬，有多種入手角度，但不同的入手角度形成的解題過程不同，有繁有簡，容易入手不一定容易解題。必須通過觀察題目的結構，尋找出一個較合適的角度入手，使解題過程更簡便。

例如：計算：13+115+135+163+199

限時三分鐘，結果三分鐘過去了許多學生未得最后結果，延到五分鐘，還有部分未完成。我便借用學生名義提出三種思路：（1）全通分（多數學生的選擇），計算量相對大。（2）逐項相加：13+115=25 ，25+135=37 ，37+163=49 ，49+199=511。引導學生：如果后面增加一項 111×13 呢？學生立即說出答案。若增加到10項、n項呢？結果與項數有什么關系？學生“……”

（3）裂項：13=11×3=12（1-13），115=13×5=12（13-15），135=12（15-17），163=12（17-19） ，199=12（19-111），原式=12（1-13+13-15+15-17+17-19+19-111）=12（1-111）=511。

引導：如果給出題目是：求 13+115+135+……+1（2n-1）（2n+1），你選擇何種方法？

本題題設簡單，但入口多。學生沒有選擇入口的意識，缺乏對題目的細致觀察，造成多數學生直接使用方法一：全通分法，這時入口容易了，但過程卻困難。方法二：逐項相加法，兩項相加，能約簡，很容易得出“規律”n2n+1，但要有一定的觀察力。方法三：裂項法，要觀察出1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），這方法是本題的核心方法。通過本例題的教學對學生“觀察能力”的培養和“解題入手意識”的引導有較明顯的效果。針對解題入手意識這個方向的引導，可選一些入口寬的例題或訓練題。利用一題多解，拓寬學生的視野，培養觀察思考能力，養成選擇入手角度的意識習慣。

2.有些題目入口不夠明顯，不妨從條件與結論的差異入手 條件與結論透露出的信息差異有時比較直接，從差異中找到聯系，從而消除差異，便能獲得成功。

例如：設α為銳角，若cos（α+ π6）=45，求sin（2α+ π12 ）值為

本題把已知條件展開或把求值式子展開都非常麻煩，而從“角度”入手，觀察條件與求值式子的角度的差異，發現：2α+π12=2（α+π6）-π4 ，于是sin（2α+π12）=sin2（α+π6）cosπ4-cos2（α+π6）sinπ4=2425×22-725×22=17250

從條件與結論的差異中尋找入手點也是一個常用的入手方向。三角問題中，有不少題目從“角度”入手，將結論中角度化為已知的和差倍分，往往比較容易打開思路。

3.觀察上、下小題的聯系

有些題目設置成2至 3個小題，往往是前面小題為后面小題作鋪墊或后面小題作為前面結論的延伸。后面的小題難度增大，入口隱蔽。這時可以觀察前后小題之間的聯系，從中找到入手方向。

例如：在△ABC中，ACAB=cosBcosC

（1）證明B=C，（2）已知cosA= -13，求sin（ 4B+π6）值。

第（1）小題中，用正弦定理將AB、AC轉化成三角函數，可以順利證明B=C，而第（2）小題中4B+π6）與條件cosA= -13中的A如何聯系？聯系（1）中有B=C，則4B+π6=2B+2C+π6=2（B+C）+π6=2（π-A）+π6即可突破。

4.觀察圖形，讀取相關信息

有不少題目包含有圖形或可轉化成圖形，讀取圖形信息是解題入手的基本能力。

例如：設函數f（x）在R上可導，其導函數為f，（x），且函數y=（1-x）f'（x）的圖像如圖所示，則下列結論中一定成立的是：（A）函數f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）（B）函數f（x）有極大值f（-2）和極小值f（1）（C）函數f（x）有極大值f（2）和極小值f（-2） （D）函數f（x）有極大值f（-2）和極小值f（2）

解析：由圖象可知當x<-2時，y=（1-x）f'（x）>0，所以此時f'（x）>0，函數遞增.當-20，所以此時f'（x）<0，函數遞減.當x>2時，y=（1-x）f'（x）<0，所以此時f'（x）>0，函數遞增.所以函數f（x）有極大值f（-2），極小值f（2），選D.

觀察能力的培養就是培養學生對數學信息的搜集、初選的思路、方法，對問題觀察、思考的切入角度和方向。使學生不但能看清題目的顯性條件，還能發現一些隱性條件或一些隱性關系，能夠看懂題目的深層意思。

二、提高學生運用基礎知識的能力

數學能力體現在對知識和方法的運用上。教材在每個知識板塊都給出了許多概念、性質、公式及一些思想方法。在高中階段，大部分題目編寫的出發點是在于對它們的理解和運用。這些基礎知識是解題思維的源頭，邏輯推理的基礎。應該幫助學生熟練掌握這些基礎知識并提高運用的能力。

1.培養學生運用“定義”“公式”“性質”等的意識。

例如： 下面是關于公差d>0的等差數列{an}的四個命題：

（1）數列{an}是遞增數列；（2）數列{nan}是遞增數列；（3）數列{ann}是遞增數列；（4）數列{an+3nd}是遞增數列；其中的真命題為.

本題用舉反例的方法可以很快否定（2）（3），可是學生并不能很容易地舉出適合的反例。有些學生為了構造例子將會用去較多的時間，還有可能因例子的不恰當得出錯誤的結論。那么解題入手還應該從“遞增數列”定義出發，求相鄰兩項的差，問題將得到順利解決。（1）中an+1-an=d>0，數列{an}是遞增數列。（2）中（n+1）an+1-nan=a1+2nd=a2n+1，不能保證為正值，不能肯定是遞增數列。（3）中an+1n+1-ann=d-a1n（n+1），當d>a1時為正，數列{ann}才是遞增數列；（4）中an+1+3（n+1）d-（an+3nd）=4d>0，數列{an+3nd}是遞增數列。

2.培養學生發散思維，對問題的情景而作出適當聯想

數學學習需要發散思維，有一定的想象能力。運用好數學知識要有靈活的思維，能對問題與相關的知識作出比較和歸類，對問題的情景作出適當聯想，才能形成解題思路。在教學上教師可用一題多解與多題同解、數形結合、建模等引導學生如何聯想，如何比較。

例如；已知F1 是橢圓 x29+y25=1 的左焦點，P是此橢圓上的動點，A（1，1）是一定點，求∣PA∣+ 32∣ PF1 ∣ 的最小值。

分析：觀察問題的表達式，其中含有特征數值32，及焦半徑長∣PF1∣，思考32是否與橢圓離心率有關？由橢圓第二定義，知PF1d=e=23。過點P作準線的垂線PM，垂足為M，則 PA+32PF1=PA+PM 。觀察草圖可知：當M，P，A共線，且P在M，A之間時滿足題意，過A作直線交橢圓于P1P2兩點，P1（在M.A之間）即為 PA+32PF1取最小值的點，最小值為PM=1+92=112。

解題能力是建立在基礎知識上的，不能拋開基礎知識談能力，要提高解題能力，先要掌握一定量的基礎知識和基本方法。通過對這些知識、方法的歸納類比，多次使用，才能達到更熟練的程度。而發散思維可以將當前問題與儲備知識建立關系，從而快速形成解題思路。

三、滲透數學思想，提升思維品質

數學思想與方法是《高考大綱》里數學科明確規定的考試內容，并在近幾年高考中加強了考查力度，是能力考查的著力點。我們不是為了考試而教學，而滲透數學思想與方法可提升學生的思維品質，提高解決問題的能力。有些題目入手較難，若能恰當地運用數學思想，將會柳暗花明，找到入手之處。

1.運用函數與方程思想

運用運動和變化的觀點，集合與對應的思想去分析和研究所涉及問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，再利用函數的圖象或性質分析問題，從而使問題獲得解決。可以說“函數”是高中數學的基礎，各個板塊的知識都可以與它交匯。利用函數的性質解題是常見的解題思想。

例如：已知cos5θ- sin5θ<7 （sin3 θ- cos3θ），θ∈（0，2π）那么θ的取值范圍是。若用直接法解這道題難度較大。將其變形為7sin3 θ+sin5θ>7 cos3θ+ cos5θ，觀察到兩邊結構相同，考慮構造函數：f（x）=7x3+x5，則上述不等式變為f（sinθ）>f（cosθ）. ∵f（x）是R上的增函數，∴ sinθ>cosθ。又θ∈（0，2π）），于是θ∈（π4，5π4 ）。

本題入手方法是將條件變型成7sin3θ+sin5θ>7cos3θ+cos5θ構造函數f（x）= 7x3+x5 ，使不等式問題轉化成運用函數單調性問題。在平時教學中教師有意識地滲透數學思想。

2.運用數形結合思想

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微?！痹诜治鰯祵W問題時，能運用“數形結合”思想一方面把數學問題的數量信息轉換為圖形信息，由圖形的特征的啟示抓住問題的本質，尋找解決問題的途徑，另一方面由形思數，把空間形式進行代數化處理，用數量關系刻畫事物的本質特征，從而探幽發微。

例如：求 sinθ+1cosθ+2的最大值，最小值

觀察表達式的特點，形式類似于斜率公式：K=y2-y1x2-x1 設點A（sinθ，cosθ），B（-2，-1），則 sinθ+1cosθ+2表示為直線AB的斜率，問題轉化為求斜率的最值。點A （sinθ，cosθ）在圓O：x2+y2=1上，思考AB斜率的最值是過點B的圓O的切線的斜率，最小值是O，最大值是43，本題代數問題幾何化，用圖形特征解最值問題。入手角度比較常見。

3.運用轉化思想

轉化思想是中學數學最常用而又重要的數學思想方法之一。運用它可將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，將抽象問題簡單化，將難以解決的問題轉化為可以解決的問題。

例如：已知函數f（x）= {x2+1，x≥01，x<0 求滿足不等式f（1-x2）>f（2x） 的x取值范圍。

解答本題的最大“障礙”為不等式中的函數符號“f”。如何去掉”f”是解題的入手之處。借助函數圖象進行分類討論以實現等價轉化，進而化為求不等式組的解集。

解：借助圖象將不等式等價轉化為如下不等式組

1-x2>02x<0 或 1-x2>2x2x≥0 解之得：-1

這就成功地將不可直接解決的不等式f（1-x2）>f（2x） 轉化成具體的不等式組。

4.分類與整合思想

分類與整合思想的基本思想是將一個較復雜的數學問題分解成若干個基礎性問題來解答。對問題實行分類與整合，其分類標準等于增加了一個已知條件，將大問題（或綜合性問題）分解成小問題（或基礎性問題），優化了解題思路，降低了問題的難度。其步驟：1）確定分類對象，2）合理分類，3）逐類討論，4）歸納總結。

例如：兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有：

A.10種 B.15種 C.20種 D.30種

解決這個問題的關鍵是對整個比賽場數進行分類計數：第一類，實際比賽場數是3，相應的情形共有2種；第二類，實際比賽場數是4，相應的情形共有2C23=6種；第三類，實際比賽場數是5，相應的情形共有2C24=12種。因此，滿足題意的情形總數是2+6+12=20種。本題入手之處是對事件進行分類。

數學觀察是數學信息的搜集、初選，為數學思維奠定基礎，培養數學觀察能力是提高數學思維水平的前提；基礎知識和基本方法是數學能力的載體，是數學邏輯推理的支撐點；數學思想是數學問題轉化的利器。從以上三個方面培養學生的解題能力，將會有明顯的效果。能力培養是一個系統過程，需要長時間多方面的引導和訓練。“解題入手”能力的培養是其中的一個重要的子系統，在教學中加以重視，以減少教學上出現瓶頸現象。

（作者單位：廣西區貴港市桂平市實驗中學 537200）