高中函數與微積分

何維炯

摘要：微積分屬于高等數學，是研究函數微分、積分等概念和應用的一個數學分支，是我們學習高等數學中的基礎學科。微積分的研究對象為函數，以前的學習教材中初等函數包括常值函數、指數函數、冪函數、三角函數、反三角函數及對數函數六大類，十六種函數。新課標教材通過在全國三分之二省市的實驗應用，關于函數與微積分相關內容的成效與問題逐步顯現。基于此，本文就新課程標準中高中函數與微積分的內容進行探討與研究。

關鍵詞：高中；函數；微積分

前言：在高中數學的新課程中，函數與微積分的內容存在一些問題，例如函數與映射內容的教學內容，需要調整，以映射概念講函數概念，加強對映射、反函數等教學內容，有助于我們對其他函數的學習。在微積分內容的教學中，極限概念的講解可以加深，微積分作為高等數學的基礎，應該在高中階段打好基礎，為我們以后的數學學習提供更多支撐。

一、映射、函數、反函數概念的研究探討

1.映射與函數

函數的概念是高中數學相對重要的教學內容，在新標準教材內，函數的概念中強調，函數是刻畫現實中重要運動變化規律的模型，是通過一個事物變化規律，推演另一個事物變化規律的一種數學模型，主要表現兩者之間的對應關系。概念中還指出，要結合實際運用函數概念建立模型，削弱了定義域、至于的繁難程度。通過人性化教學的技巧訓練，可以使我們更好理解函數的思想及運用，從而實現新課程函數的創新與應用。

但是，新課程中關于函數與映射的安排順序，需要重新研究探討。如安徽的一位教研老師提出：新教材先給出函數再給出映射的概念先后順序，是一個由特殊到一般的過程。按照新教材的順序講解函數與映射，很多同學表示對定義無法理解，對定義中的“f”所表示的對應關系理解不清，與之對應先講解映射，再讓同學們理解函數的概念會容易的多。許多實驗學校的老師都提出了此類問題，在自身學習過程中，我們也感受到了新課程中這一內容的負擔，內容上應該加以修正[1]。

映射概念在從前的教學中，都是為引導函數概念而引入的，對映射的重視程度不高，但新課程中雖提升了映射的重要性，卻忽視了它的引導性。新課程強調函數內容在實際中的應用價值，但這與重視映射之間并沒有矛盾關系，我們在學習函數的實際應用價值的同時，先要進行映射你內容的學習，這樣的有機結合，能夠使函數教學更加容易。

2.反函數

新課程中對于反函數的內容相對減少，學習要求也大大降低，但實際上，反函數的概念是后續初等函數的關系與性質的支撐依據，有利于同學們通過聯系觀點的方式認識其他各類函數，對于同學們之后學習初等函數有很大幫助。例如，學習對數函數時，如果根據已經學習過的指數函數與反函數的概念及性質進一步學習，能夠更容易將對數函數熟練掌握，提高學習效率[2]。以國外的數學教學案例來看，俄羅斯的數學基礎教育內容中就包括反函數及其定義域和值域，反三角函數和反函數圖像等內容，由此可見，反函數概念的教學內容，應該更加豐富并提高學習要求。

二、微積分相關問題的研究探討

新課程中關于微積分的相關內容，做出了重大革新，加強了導數與積分的應用教學。

1.導數

新課程對于導數及其應用的內容變化主要是，突出導數概念的本質。以往的數學教學中，往往是先學習概念及性質，這樣直接導致學生對極限概念的任職與理解不夠，形象對導數本質的認知。新課程對這一學習誤區進行了調整與改進，內容講解時，通過實際背景和具體實例來驗證導數思想和本質，例如，速度、效率、膨脹率、增長率等，引導同學們感受從平均變化率到瞬時變化率的過程，學習導數概念。此外，課程還強調導數在研究事物的變化率、變化速度的研究中，體會導數處理問題時的一般性和有效性[3]。

但新課程中，摒棄了極限概念，直接講解積分概念，這一內容上的改革引起了各地數學教育工作者的重視。山東省聊城大學的教師通過實驗，得出“極限是學生學習導數的關鍵和難點”這一結論。微積分中的重要概念大多用極限來定義，導數也是如此，如果在講導數的時候，避開極限，這種形式導致同學們的學習體系有漏洞，對微積分的基礎概念學習不足，以至于在此后的微積分學習過程中，會相當吃力。因此，新課程的改革，需要尊重同學們的學習認知方式，將極限的知識拿回課本，完善我們的學習內容[4]。

2.微積分

在高中教學中，就開始讓學生們涉獵微積分內容，有利于同學們的學習與發展，目前，已有許多國家將微積分知識加入高中的學習教材中。微積分作為數學科學中的一個重要分支，內容十分豐富，因此，新課程中對于微積分內容的控制十分重要，根據學生的學習基礎與理解能力，新課程中關于微積分的初步教學中，導數和定積分的教學主要在于應用價值方面，由于整體數學教學的課時限制，微積分的內容并不多，但在結構中，例如極限的內容需加以重視[5]。

此外，新課程新課程中不定積分的內容幾乎沒有，需要一定程度的充實、豐富，不定積分的與定積分之間協調內容進行教學，才能讓同學們達到良好的學習效果。微積分教學作為一項國際共同課題，在日本的高中數學課程中，就函數 和極限、微分及其應用、積分及其應用編寫了一部《數學三》，在后期的《新編數學三》中，內容增加至數列極限、函數極限、微分、微分的應用、積分、積分的應用共六個章節。由此可以看出，在高中課程中，微積分內容還不夠完善，需要根據我們的學習情況，進行適當的調整、增加。

綜上所述，通過對高中數學新課程中，相關函數與微積分內容的分析與研究，可以看出現行的新課程教學內容對同學們學習的有利影響與缺陷，高中數學教中函數與微積分的教學，應該重視基礎性原則，在學生基礎數學教學內容上，重視我們的理解、掌握與熟練運用。函數與微積分是具有廣泛的應用作用的數學內容，在教學內容的設計上，可以借鑒國外先進的教學方式，以及教學內容，并隨著時代的發展與變革進行適當的調整。

參考文獻：

[1]彭順英.高中微積分教學現狀的調查與分析[D].湖南師范大學，2014.

[2]羅小凱.高中函數教學實踐問題研究[D].河北師范大學，2014.

[3]王洪巖.高中生導數概念的教學研究[D].河北師范大學，2014.

[4]易娟.關于高中微積分的教學研究[D].湖南師范大學，2012.

[5]王珞.高中生微積分知識理解現狀的調查研究[D].貴州師范大學，2015.

（作者單位： 湖南省株洲市第二中學1507班 412007 ）endprint