例談高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課有效性的提高

吳莉莉

摘要：怎樣的復(fù)習(xí)課才是有效的？這個(gè)問題時(shí)常困擾著筆者。一次《基本不等式的證明》復(fù)習(xí)課的實(shí)踐，讓筆者對(duì)這個(gè)大問題有了一點(diǎn)點(diǎn)小的認(rèn)識(shí)。文中結(jié)合課堂過程的再現(xiàn)，談?wù)剬?duì)三個(gè)相關(guān)問題的粗淺看法。分別是：數(shù)學(xué)公式、定理的教學(xué)與復(fù)習(xí)應(yīng)關(guān)注哪些方面？復(fù)習(xí)課中如何設(shè)計(jì)“三基”訓(xùn)練？復(fù)習(xí)課中如何協(xié)調(diào)教師的導(dǎo)與學(xué)生的學(xué)？

關(guān)鍵詞：復(fù)習(xí)課；基礎(chǔ)；主導(dǎo)；主體

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）05-0047

一、上課實(shí)錄

1. 基本不等式a2+b2≥2ab的直接證明

上課后，筆者直接出示問題1：如何證明基本不等式a2+b2≥2ab？看到學(xué)生迷茫狀，筆者補(bǔ)了一句：回憶一下，不等式證明有哪些常用的方法？這下立即有了反應(yīng)。

生：可以用比較法證明，作差可得（a-b）2≥0。（好簡單，學(xué)生微微點(diǎn)頭。）

生：也可以由（a-b）2≥0推得a2+b2≥2ab，那是……綜合法。對(duì)，還有分析法。

生：我覺得反證法也行！（學(xué)生笑開了。）

學(xué)生齊答，筆者板書分析法：

要證a2+b2≥2ab，

即證a2+b2-2ab≥0，

只要證（a-b）2≥0，這顯然成立，

所以，a2+b2≥2ab成立。

筆者馬上追問：不等式中等號(hào)何時(shí)取到，a、b的取值有何要求？回顧證明過程，學(xué)生很容易給出了答案。

（問題1的設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生回憶了證明不等式的基本方法和相應(yīng)的表述特點(diǎn)，還使學(xué)生認(rèn)識(shí)到不等式a2+b2≥2ab與“實(shí)數(shù)的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)”的本質(zhì)聯(lián)系。）

2. 基本不等式a2+b2≥2ab的構(gòu)造證明

當(dāng)學(xué)生在回味以上簡潔的證明時(shí)，筆者又提問：上面的證明方法都很好，我們還能用其它數(shù)學(xué)知識(shí)證明嗎？剛才還較熱鬧的課堂一下子又安靜了下來。幾分鐘過去了，沒有學(xué)生舉手。

師：a2，b2，ab這些式子能讓我們聯(lián)系什么數(shù)學(xué)知識(shí)？大家不妨畫幾何圖形試試。經(jīng)提示，學(xué)生回憶起構(gòu)造如下平面圖形，用面積說明不等關(guān)系a2+b2≥2ab（也可以說是它的變形），此時(shí)a，b取正實(shí)數(shù)。

（通過引導(dǎo)學(xué)生回憶不等式的幾何證法，加強(qiáng)數(shù)形聯(lián)系、轉(zhuǎn)化能力，豐富學(xué)生對(duì)基本不等式a2+b2≥2ab（a，b∈R+）幾何含義的認(rèn)識(shí)。）

師：我們知道，數(shù)學(xué)中的一些知識(shí)，如三角、向量緊密地聯(lián)系著代數(shù)與幾何，我們能否用這些知識(shí)證明以上不等式呢？學(xué)生的思維再次被激發(fā)，經(jīng)過討論、補(bǔ)充，結(jié)合幾何圖形，又整理出以下兩種證法：

師：“為什么要加上a，b∈R*這個(gè)條件，能將它去掉嗎？”“這是因?yàn)椤睂W(xué)生還來不及回答，這時(shí)下課的音樂響了起來，但我相信學(xué)生的思維正處于高潮中。

二、分析與反思

1. 數(shù)學(xué)公式、定理的教學(xué)與復(fù)習(xí)應(yīng)關(guān)注哪些方面？

基本不等式a2+b2≥2ab可看成是數(shù)學(xué)公式和定理，平時(shí)在教學(xué)和復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)公式和定理時(shí)容易產(chǎn)生“掐頭去尾燒中段”的情況，也就是“一背二套”“公式加例題”的形式，這種形式的教學(xué)往往使學(xué)生頭腦里只留下公式、定理的外殼，忽視它們的來龍去脈，不明確它們運(yùn)用的條件和范圍。事實(shí)上，在公式與定理的教學(xué)與復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)關(guān)注：本源，推導(dǎo)（證明），限制條件和特例、變形與聯(lián)系、應(yīng)用等。通過教學(xué)與復(fù)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：一是要用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表述公式與定理的內(nèi)容，明確其使用的條件和適用的范圍；二是要正確地掌握其證明及推導(dǎo)方法，并適當(dāng)變形，聯(lián)系其他知識(shí)構(gòu)造再證明；三是要探討對(duì)一些重要的公式和定理能否作適當(dāng)?shù)囊昱c推廣；四是整理公式與定理的應(yīng)用規(guī)律。我們?cè)诮虒W(xué)中，必須以適當(dāng)?shù)姆绞綄⒐胶投ɡ淼陌l(fā)生、發(fā)展、變化過程展示給學(xué)生，讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)獲取知識(shí)，并領(lǐng)悟公式和定理所包含的數(shù)學(xué)思想方法，靈活地掌握知識(shí)，運(yùn)用知識(shí)，達(dá)到提高分析問題、解決問題的能力。避免死記硬背，生搬硬套，做到“活學(xué)活用”。

2. 復(fù)習(xí)課中如何設(shè)計(jì)“三基”訓(xùn)練？

復(fù)習(xí)的目的是使學(xué)生進(jìn)一步系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地分析和解決問題的能力。在設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)問題時(shí)，既要關(guān)注知識(shí)交叉點(diǎn)的訓(xùn)練，又要注重問題的能力立意，同時(shí)不忘解題技能練習(xí)和書寫規(guī)范，最后強(qiáng)調(diào)解題后的反思，悟出解題策略、思想方法的精華。本課在復(fù)習(xí)基本不等式a2+b2≥2ab的同時(shí)，涉及了不等式的4種基本證明方法（比較法、綜合法、分析法和反證法）及相應(yīng)的表述訓(xùn)練，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)、方程與不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化能力的應(yīng)用，加深對(duì)代數(shù)、幾何、三角函數(shù)、向量等數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)性的理解。總之，復(fù)習(xí)課教學(xué)內(nèi)容的選擇上應(yīng)該按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開，既考慮知識(shí)的廣度與聯(lián)系度，又關(guān)注課堂學(xué)生的思維、能力、思想與方法的訓(xùn)練量，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的水平。

3. 復(fù)習(xí)課中如何協(xié)調(diào)教師的導(dǎo)與學(xué)生的學(xué)？

學(xué)生通過自己的努力理解的東西，才能成為自己的東西，才是他真正掌握的東西。復(fù)習(xí)課不能由教師一人講解，更不能成為教師展示自己解題“高難動(dòng)作”與“絕活表演”的舞臺(tái)，而要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，讓他們?cè)谥鲃?dòng)積極地探索活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新、突破，展示自己的才華智慧，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和悟性。在解決課堂問題中，學(xué)生難免出現(xiàn)“思維障礙”，教師恰時(shí)恰點(diǎn)的指導(dǎo)至關(guān)重要，但我們大可不必在外圍處進(jìn)行淺表性的啟發(fā)誘導(dǎo)，而要在關(guān)鍵處引導(dǎo)學(xué)生探尋突破口，讓學(xué)生的思維在要點(diǎn)處閃光，繼而暴露問題，磨礪意志，提高能力。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)第一中學(xué) 225200）