超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為的宏觀唯象本構模型1)

周 廷 闞前華 康國政 邱 博

(西南交通大學力學與工程學院，成都610031)

超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為的宏觀唯象本構模型1)

周 廷2)闞前華 康國政3)邱 博

(西南交通大學力學與工程學院，成都610031)

超彈性鎳鈦形狀記憶合金因其良好的力學性能以及獨特的超彈性和形狀記憶效應已廣泛應用于土木工程、航空航天和生物醫療等多個領域，在實際服役環境中超彈性鎳鈦合金元件不可避免地會承受不同應力水平的循環載荷作用，亟待建立描述相變棘輪行為(即峰值應變和谷值應變隨著正相變和逆相變循環的進行不斷累積)的循環本構模型.為此，基于已有的超彈性鎳鈦形狀記憶合金在不同峰值應力下的單軸相變棘輪行為實驗研究結果，在廣義黏塑性框架下，對Graesser等提出的通過背應力非線性演化方程反映超彈性鎳鈦形狀記憶合金超彈性行為的一維宏觀唯像本構模型進行了拓展，考慮了正相變和逆相變過程中特征變量的差異及其隨循環的演化，以非彈性應變的累積量為內變量引入了正相變開始應力、逆相變開始應力、相變應變和殘余應變的演化方程，同時通過峰值應力與正相變完成應力的比值來確定演化方程中的相關系數，建立了描述超彈性鎳鈦合金單軸相變棘輪行為的本構模型.將模擬結果與對應的實驗結果進行對比發現，建立的宏觀唯像本構模型能夠合理地描述超彈性鎳鈦形狀記憶合金的單軸相變棘輪行為及其峰值應力依賴性，模型的預測結果和實驗結果吻合得很好.

鎳鈦合金,相變棘輪行為,廣義黏塑性,本構模型

引言

自從鎳鈦形狀記憶合金 (SMA)問世以來，因其良好的力學特性以及獨有的超彈性和形狀記憶效應，一直受到了人們的廣泛重視[13].該合金在加卸載過程中會發生奧氏體與馬氏體的相互轉化，從而體現出超彈性特性.由于其具有很高的能量輸出能力，可作為減震智能元件并已廣泛應用于土木工程結構中[46].在實際應用過程中，鎳鈦形狀記憶合金材料不可避免地會受到循環載荷的作用，該合金的耗散能力隨著循環周次的增加而急劇降低，從而導致其功能性失效.為此，諸多學者進行了超彈性鎳鈦形狀記憶合金材料循環變形實驗,研究其在循環載荷作用下的變形特征和超彈性劣化機理.Miyazaki等[7]，Lagoudas和Bo[8]，Sehitoglu等[9]對超彈性鎳鈦形狀記憶合金進行的拉伸與卸載循環變形實驗研究表明：隨著循環周次的增加，相變開始應力和耗散能逐漸降低，相變硬化模量和殘余應變逐漸增加，且最終趨于飽和.此后，進一步相關實驗研究工作揭示了超彈性退化對溫度[1012]、加載應力水平[1314]、加載路徑[1517]、加載速率[1819]和原子比[2021]等因素的依賴性.Kang等[13]將鎳鈦形狀記憶合金循環變形過程中的超彈性退化和相關應變值的循環累積現象定義為相變棘輪行為，并討論了超彈性鎳鈦形狀記憶合金相變棘輪行為的外加應力依賴性.

由于不同的材料體現出不同力學響應，需要建立不同本構模型進行描述[2225].對于鎳鈦形狀記憶合金材料，從不同尺度可建立細觀力學模型[2627]和宏觀唯象模型[2829].其中，Graesser等[30]在Ozdemir模型[31]的基礎上提出的鎳鈦形狀記憶合金一維唯象本構模型因其形式簡單且參數便于確定的優點，在鎳鈦形狀記憶合金的結構分析中獲得廣泛應用.針對該模型無法描述鎳鈦形狀記憶合金變形行為的率相關性、超彈性的相變約束行為和循環變形行為等，后續學者分別對其進行了必要的改進[3234].

然而，由于鎳鈦形狀記憶合金器件在實際服役環境中承受的應力通常是非均勻的分布，應力水平變化很大，會涉及到不同峰值應力的循環載荷作用.已有的實驗研究[1314]也表明,不同峰值應力的循環載荷作用下鎳鈦形狀記憶合金的力學響應有很大差別.Kan和Kang[35]在廣義塑性框架上建立了可以描述超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為的宏觀唯象本構模型，但該模型不能合理地描述外加峰值應力大于相變完成應力時的循環變形行為.

為此，本文基于Graesser模型[30]，通過引入新的與相變棘輪行為相關的演化方程及其對應力水平的依賴關系方程，建立了超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸宏觀唯象循環本構模型，可合理描述該合金在寬應力范圍內的循環變形行為，包括超彈性退化效應.

1 實驗結果

本文的主要內容是在已有實驗結果基礎上建立相應的本構模型，但是為了內容的完整性以及對所建立的本構模型進行合理性評價，本節將對 Song等[14]的實驗結果進行簡單的總結，突出超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為對加載峰值應力水平的依賴性.為了更清楚地對相變棘輪行為變量演化進行描述，定義了如下參量：相變開始應力、逆相變開始應力、最大相變應變εL、殘余應變εr以及耗散能Wd，如圖1所示.

圖1 相變棘輪行為的特征變量示意圖Fig.1 Illustration of characteristic variables of transformation ratcheting

Song等[14]對超彈性鎳鈦合金微管進行了不同峰值應力水平的循環拉伸與卸載實驗，結果如圖2和圖3所示.需要指出的是，為了便于和理論預測結果進行直接比較，圖2中同時給出了本構模型的預測結果.由圖2可見，超彈性鎳鈦形狀記憶合金在不同峰值應力的循環拉伸與卸載作用下的相變棘輪行為體現出明顯的峰值應力水平相關性.此外，峰值應力的大小會影響峰值應變是否達到最大相變應變.例如，如圖2(a)所示，當峰值應力為500MPa時，在循環第1周并沒有完全相變，但隨著循環周次的增加，相變開始應力逐漸降低，到第5周時則發生了完全相變.

圖2 不同峰值應力下的實驗和模擬應力--應變曲線Fig.2 Experimental and simulated stress-strain curves with di ff erent peak stresses

同時，應力峰值的不同還會導致相變開始應力、逆相變開始應力、殘余應變和最大相變應變均隨循環周次的增加發生不同程度的演化，如圖3所示.

圖3 特征量循環演化曲線Fig.3 Evolution curves of characteristic variables

由圖3可知，峰值應力越大，殘余應變越大，但相變開始應力、逆相變開始應力和最大相變應變卻越小；除相變開始應力和最大相變應變的初始值與應力峰值無關外，其余均與峰值應力相關；相變開始應力、逆相變開始應力、殘余應變和最大相變應變均隨循環周次的增加呈近似呈指數形式演化，除殘余應變隨循環周次的增加而增加外，其余特征量均隨之減小，它們最終均趨于飽和.

2 本構模型

2.1 Graesser模型

Graesser等[30]在Ozdemir模型[31]基礎上提出了描述鎳鈦形狀記憶合金超彈性行為的一維唯象本構模型，通過背應力的變化來描述該合金的超彈性現象.具體的本構方程為

其中，σ和ε分別為應力和應變；E為彈性模量；Y為各向同性變形抗力，表征相變開始的臨界應力；n是控制相變開始應力附近應力--應變曲線尖銳程度的材料參數，只能取正奇數；β為背應力；h為控制應力--應變曲線中相變段斜率的常數；εtr為相變應變.fT,b,c為材料常數.erf(·)為誤差函數，可保證卸載后逆相變完成時殘余應變為零，而參數b決定了逆相變完成后卸載段的形狀；H(·)為Heaviside函數，用于控制卸載過程中逆相變的發生.Graesser等[30]提出的本構方程描述的超彈性鎳鈦形狀記憶合金的應力--應變曲線如圖4所示.

圖4 Graesser模型描述的鎳鈦合金單軸應力--應變曲線Fig.4 Stress-strain curves of NiTi shape memory alloy described by Graesser’s model

由圖4可見,Graesser模型存在以下幾點不足：(1)該模型沒有相變約束條件，即無論在多大的外載作用下，相變都不會結束，也就無法反映馬氏體相變完成后的彈性變形階段，這顯然不符合超彈性NiTi形狀記憶合金實際的的變形響應；(2)卸載時沒有發生與試驗一致的逆相變過程.這是由于該模型中表征相變應力的各向同性變形抗力Y的值并沒有在加載和卸載中有所區分；(3)不能描述如圖2和圖3所示實驗結果中所揭示的循環變形行為.

2.2 改進模型

如引言中所述，盡管文獻[32-34]對Graesser本構方程進行了改進，但這些本構模型都主要針對應變控制循環加卸載的情況，無法合理預測如圖2和圖3所示的應力控制循環變形過程中單軸相變棘輪行為及其峰值應力水平相關性.在楊強軍等[34]提出的循環相變模型基礎上，筆者通過引入一些新的演化方程，對Graesser本構模型進行拓展，使之能夠合理地描述超彈性鎳鈦形狀記憶合金的單軸相變棘輪行為.具體方程如下：

加載段(奧氏體向馬氏體轉變)

卸載段(馬氏體向奧氏體轉變)

其中，Ea為奧氏體彈性模量，Em為馬氏體彈性模量，為相變開始應力，為共同控制逆相變開始應力，fm和k為控制馬氏體非線性彈性變形曲線的常數，εp為卸載過程中的殘余應變.

由方程(3)～方程(7)可知，改進模型的應力與應變關系依然延續Graesser模型，總的應變增量包括彈性應變增量和非彈性應變增量，在本構方程的背應力中引入非彈性應變，包括相變應變、塑性應變和殘余應變.與楊強軍等[34]的模型相比，相變完成時的應變除了單軸下馬氏體相變的最大相變應變εL外，還包括前一個循環周次的谷值應變εva和彈性應變εe；除考慮殘余應變的循環累積作用外，在背應力中引入當前循環周次非彈性應變代替非彈性應變，定義為當前循環周次的非彈性應變減去前一循環周次的谷值應變εva.

ha和hm分別為正相變和逆相變的硬化參數，定義為

圖3所示的實驗結果表明，超彈性鎳鈦形狀記憶合金在循環變形過程中的相變開始應力、逆相變開始應力和最大相變應變隨循環周次呈指數演化.因此，引入如下演化方程進行描述

其中，CL,Ca,Cm為非線性演化系數，含有下標0的量表示相應參數的初始值，含有下標“sat”的量表示相應參數循環穩定后的飽和值.

殘余應變隨循環周次的增加呈現指數衰減且強烈依賴于加載峰值應力水平.因此，在不考慮馬氏體塑性變形的情況[14]，引入如下殘余應變的演化方程

其中，εmax為殘余應變的穩定值，σp為加載的峰值應力，和σ為相變開始應力和相變結束應力，M np為殘余應變的應力相關系數，bp為控制殘余應變的飽和速率

Kan和Kang[35]的模型中將相變棘輪行為的應力相關性體現在相變誘發塑性應變和殘余馬氏體分數上，當峰值應力大于相變完成應力時，應力影響系數保持不變.因此，無法反映峰值應力大于相變完成應力后的加載應力水平相關性，且沒有考慮圖2和圖3中所示的相變開始應力和最大相變應變的飽和值以及逆相變應力的初始值和飽和值均與峰值應力水平有關的實驗現象.為此，本文以峰值應力與相變完成應力的比值表示其變形程度，并令它們滿足如下的方程

其中，h1至h12為對應參數的應力相關系數，m為峰值應力與相變結束應力的比值.

2.3 參數確定

本構模型中的材料參數的確定可以采用如下方法：

圖5 參數確定示意圖Fig.5 The schematic diagram of parameters determination

(3)演化系數CL,Ca,Cm可通過對實驗獲得的最大相變應變、向前相變開始應力和逆相變開始應力隨循環周次變化的演化曲線進行非線性擬合得到；εmax,bp,np取自文獻[14].

(4)需要指出的是，以上參數是通過峰值應力為800MPa的實驗結果得到的.針對式(14)～式(17)中的應力相關參數h1～h12，則需要根據不同峰值應力下的相關變量的初值和飽和值，通過式(14)～式(17)的擬合而得，如圖6所示.

3 模型驗證

為了驗證模型的合理性，在按2.3節中的方法確定了如表1所示的材料參數后，利用提出的模型對超彈性鎳鈦形狀記憶合金在不同峰值應力下的相變棘輪行為進行了模擬，模擬結果如圖2所示.

圖6 應力相關系數的確定Fig.6 The determination of stress-related coefficients

表1 鎳鈦形狀記憶合金微管的材料參數Table 1 Material parameters used in the proposed model for NiTi shape memory micro-tube

由圖2可見：提出模型預測的循環應力--應變曲線與實驗結果吻合較好，并且合理地反映了超彈性鎳鈦形狀記憶合金在不同峰值應力下的單軸相變棘輪行為.另外，通過相變開始應力和逆相變開始應力、最大相變應變和殘余應變新的演化方程的引入，合理地描述了它們隨循環周次增加而逐漸演化且在一定的循環周次后達到飽和狀態的實驗現象.

另外，改進模型的模擬結果也合理地反映了在超彈性鎳鈦形狀記憶合金循環變形過程中體現出的超彈性退化現象，對實驗中得到的峰值應變和殘余應變隨循環周次增加，而耗散能隨循環周次增加顯著下降的演化規律進行了很好的理論預測，如圖7所示.當然，從圖2和圖7給出的理論預測結果和實驗結果的直接對比可以看出，兩者的變化規律吻合較好，但在具體數值上,模型預測結果和實驗結果之間還有一些差別，特別是針對耗散能的預測.

圖7 殘余應變、峰值應變和耗散能隨循環演化的實驗和模擬對比Fig.7 The comparison of the evolution of residual strain,peak strain and dissipation energy with circulation between experiment and simulation

為了進一步體現改進模型的合理性，首先將該模型對一個加卸載循環下的模擬結果與Graesser模型模擬結果進行了對比，結果如圖4所示.由圖4可知，改進模型由于施加了相變約束，建立了加/卸載過程獨立的馬氏體演化方程，可以很好地描述馬氏體正相變和逆相變過程，以及馬氏體相變完成后的彈性變形.

進一步將改進模型和楊等模型對相變棘輪行為的模擬進行對比 (不考慮式 (13)～式 (18)，改進模型即可退化到楊等模型).圖8給出了楊等模型模擬的不同應力幅值下的循環應力--應變響應曲線.對比圖2和圖8可以看出，當應力水平處于相變剛結束時，改進模型和楊等模型均可準確地預測相變棘輪行為；當應力水平提高到800MPa時，楊等[34]提出的模型由于沒有引入加載應力水平相關的演化方程，無法準確模擬峰值應變和殘余應變的循環累積.

圖8 楊等模型[34]描述的不同應力幅值下的鎳鈦合金單軸應力--應變曲線Fig.8 Stress-strain curves under di ff erent stress amplitude of NiTi shape memory alloy described by Yang’s model[34]

需要指出的是，所改進的循環本構模型盡管可準確預測相變棘輪行為，但所引入的方程均為宏觀唯象描述，未考慮相變棘輪行為的微觀變形機理，還需要在當前發展的模型基礎上開展進一步研究，更加充分地揭示鎳鈦形狀記憶合金的循環變形機理，建立基于微觀變形機理的本構模型，更加準確地預測相變棘輪行為，促進該合金在工程中的應用.

4 結論

根據不同峰值應力水平下超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為的實驗結果，通過引入一些新的參量演化方程(即相變開始應力、逆相變開始應力、殘余應變和最大相變應變演化方程)對Graesser模型進行了改進，提出了一個新的、可以合理反映超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為的加載峰值應力水平依賴性的一維宏觀唯象循環本構模型.通過提出模型的預測結果和相應實驗結果的對比表明，提出的本構模型能夠對超彈性鎳鈦形狀記憶合金的單軸相變棘輪行為及其超彈性性能的循環劣化現象進行合理的預測.

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A MACROSCOPIC PHENOMENOLOGICAL CONSTITUTIVE MODEL FOR THE UNIAXIAL TRANSFORMATION RATCHETING OF SUPER-ELASTIC NiTi SHAPE MEMORY ALLOY1)

Zhou Ting2)Kan Qianhua Kang Guozheng3)Qiu Bo
(School of Mechanics and Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

Super-elastic NiTi shape memory alloy(SMA)has been extensively used in many field such as civil engineering,aerospace and bio-medical field due to its good mechanical properties,including unique super-elasticity and shape memory e ff ect.In practical applications,the SMA-based devices are unavoidable subjected to cyclic loadings at di ff erent stress levels.However,it is necessary to establish a cyclic constitutive model to describe the transformation ratcheting behavior,i.e.,the peak strain and valley strain accumulate cyclically during forward transformation and reverse transformation.Based on the existing experimental results of the transformation ratchetting of the super-elastic NiTishape memory alloy obtained under the stress-controlled cyclic tension-unloading tests with di ff erent peak stresses,the one-dimensional macroscopic phenomenological constitutive model of super-elastic NiTi shape memory alloy proposed by Graesser,where super-elastic behavior is reflecte by the nonlinear evolution equation of back stress,was extended to describe the uniaxial transformation ratchetting within the framework of generalized visco-plasticity.In the extended model,the di ff erences of characteristic variables and their evolutions between the forward transformation and reverse transformation were considered,the evolution equations of the start stress of forward transformation,the start stress of reverse transformation,maximum transformation strain and residual strain were introduced by the internal variable of relative accumulated inelastic strain.In the meantime,the correlation coefficients in these evolution equations were determined by the ratio of the peak stress and the finis stress of forward transformation.The comparison of the experiments and simulations shows that the extended model can reasonably describe the dependence of uniaxial transformation ratchetting of super-elastic NiTi shape memory alloy on the peak stress,and the simulated results are in good agreement with the experimental ones.

NiTi alloy,transformation ratcheting,generalized visco-plasticity,constitutive model

O348.3

：A

10.6052/0459-1879-17-116

2017–04–05 收稿，2017–05–10 錄用,2017–05–13 網絡版發表.

1)國家自然科學基金資助項目(11532010,11202171).

2)周廷，在讀博士，主要研究方向：智能材料本構關系研究.E-mail：zhouting16@foxmail.com

3)康國政，教授，主要研究方向：先進材料本構關系研究.E-mail：guozhengkang@126.com

周廷,闞前華,康國政,邱博.超彈性鎳鈦形狀記憶合金單軸相變棘輪行為的宏觀唯象本構模型.力學學報,2017,49(3)：588-596

ZhouTing,KanQianhua,KangGuozheng,QiuBo.Amacroscopicphenomenologicalconstitutivemodelfortheuniaxialtransformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：588-596