短纖維增強三元乙丙橡膠橫觀各向同性黏--超彈性本構模型1)

談炳東 許進升,2) 孫朝翔 賈云飛 范興貴

?(南京理工大學機械工程學院，南京210094)?(北京航天長征飛行器研究所，北京100076)

短纖維增強三元乙丙橡膠橫觀各向同性
黏--超彈性本構模型1)

談炳東?許進升?,2)孫朝翔?賈云飛?范興貴?

?(南京理工大學機械工程學院，南京210094)?(北京航天長征飛行器研究所，北京100076)

短纖維增強三元乙丙橡膠包覆薄膜，是一種應用于固體火箭發動機纏繞包覆裝藥的新型復合材料.為了描述其在工作過程中受振動、沖擊等載荷作用時的力學行為，基于黏彈性理論和纖維增強連續介質力學理論，提出了一種考慮應變率強化效應的橫觀各向同性黏--超彈本構模型.模型中應變能函數被分解為超彈性應變能和黏性應變能，其中超彈性應變能包括表征各向同性的橡膠基體應變能和表征各向異性的纖維拉伸應變能，黏性應變能采用表征橡膠和纖維黏性響應的宏觀唯象模型.選取表征各應變能的函數形式，經過數學變換、替代、疊加，求解確定最終的應力應變形式，明確模型參數獲取的具體步驟，將預測結果與實驗結果對比分析，準確性較高.研究表明：該模型能有效預測材料在低應變率下纖維方向為0?～45?的非線性率相關力學特性；模型形式易于實現有限元開發，對固體火箭發動機裝藥結構完整性分析具有參考價值.

三元乙丙橡膠，橫觀各向同性，黏--超彈性，本構模型

引言

三元乙丙(EPDM)聚合物屬于高分子橡膠彈性體，由于其具有密度小、絕熱性能良好、耐老化等諸多優點，被廣泛應用于固體火箭發動機絕熱包覆層中[1].但是隨著固體火箭發動機技術的不斷發展，必須在傳統的EPDM包覆層中添加補強劑、有機和無機功能填料以改善其性能，以便更好地適應發動機復雜的工作環境.目前國內外對于EPDM的研究大多是關于填料或者配比的改變對其耐燒蝕性和拉伸強度等性能參數的影響[25]，但對其承受不同載荷(溫度、振動、沖擊等)時表現的力學特征的研究較少，因此建立其本構模型就顯得十分必要，能夠為固體火箭發動機裝藥結構完整性分析提供理論依據.

EPDM純橡膠在受力作用下，既表現出典型的超彈特性，又具有明顯的應變率強化效應，綜合表現出黏--超彈力學特性.經典的橡膠超彈模型主要基于統計熱力學法和連續介質力學法[6]，其中應用較多的模型包括Arrdua-Boyce模型[7]、Mooney-Rivlin模型[8]、Yeoh模型[9]等.對于橡膠的動態黏彈特性，Christensen[10]應用橡膠彈性動力學理論得到非線性黏彈性本構模型；Yang等[11]、Bergstr¨om等[12]、Song等[13]等在超彈模型的基礎上，考慮率相關性，建立不同形式的黏--超彈本構模型；Jiang等[14]對ZWT非線性黏--超彈本構模型改進，預測EPDM在準靜態和動態沖擊載荷下的力學行為.而本文研究的新型EPDM絕熱包覆材料,由于添加短纖維，其力學特性呈現出各向異性，具體表現為沿纖維方向的力學性能與其他方向的具有明顯差異，可以簡化成橫觀各向同性[15].Pierce等[16]在各向同性的基礎上，將模型發展到橫觀各向同性的條件下，進而去研究人體軟骨膠原纖維在有限變形條件下的力學性能.Balnazi等[17]在自由能函數中加入橫觀各向同性項,從而推導出黏--超彈本構模型，能較好地表征動脈壁膠原軟組織的應力回復特性.Jiang等[18]將表征軟組織的彈性能量和黏性耗散結合構建出短纖維增強黏--超彈本構模型，以描述人類脊柱韌帶的非線性、應變率相關力學行為.在各向同性的假設下，對于傳統的黏--超彈本構模型的研究成果較多[1921]，但是基于橫觀各向同性的黏--超彈本構模型的研究卻有限[2224]，主要原因是考慮到纖維方向性和黏性系數的不確定性，導致本構模型形式繁瑣，參數測定方法復雜，其普適性大幅降低.

筆者結合黏彈性理論和纖維增強連續介質力學理論，將Helmholtz自由能函數分解為超彈性應變能和黏性應變能，其中超彈性應變能包括基體橡膠應變能和纖維拉伸應變能，選取表征各應變能的函數形式，通過變換、替代和疊加，求解應力--應變關系，從而建立一種能描述短纖維增強EPDM包覆薄膜的非線性、各向異性、應變率強化力學特性的黏--超彈本構模型.

1 材料和方法

1.1 實驗材料

EPDM薄膜包覆材料是將芳綸短纖維作為增強體添加到各向同性的橡膠基體中，短纖維長度約為5mm，長徑比約為200，其在基體橡膠中分散良好并呈單向分布，假設短纖維與基體橡膠完全粘合(不存在裂紋和滑移現象)，但橡膠和短纖維的性能迥異，所以EPDM薄膜包覆層具有各向異性和率相關的力學特性：當拉伸載荷沿纖維方向作用時，纖維能有效增加材料的抗拉強度；當卸載后，基體橡膠有助于材料恢復到初始狀態.

定義平行于纖維方向為0?，垂直于纖維方向為90?，并且在 0?～90?之間每隔 15?切取條形試件，圖 1是其微觀結構示意圖.此種新型 EPDM薄膜包覆層的厚度約為0.5mm，切取帶狀試件，尺寸為80mm×10mm，標距為40mm.對EPDM薄膜包覆材料進行了單軸拉伸和偏軸拉伸實驗，實驗溫度為291K，濕度為48%，實驗所用的拉伸速率分別為5mm/min、20mm/min和100mm/min.

圖1 EPDM薄膜包覆層示意圖Fig.1 Diagram of EPDM inhibitor fil

1.2 本構方程

連續介質力學中，變形梯度張量 F=?x/?X，表示連續體的變形歷史，其中 X和 x分別表示質點在初始構形和當前構形中的坐標.對右柯西--格林(Cauchy-Green)變形張量C=FTF求物質時間導數，得到變形率張量˙C

右柯西--格林應變張量不變量表示為

式中，I是二階單位張量，結構張量A0=a0?a0，a0代表纖維方向，λF是纖維的伸長比.

右柯西--格林應變率張量不變量表示為

Helmholtz自由能函數W能夠描述橡膠材料在大變形下的力學行為，考慮到EPDM包覆薄膜具有明顯的率相關性，將應變能函數W分解為超彈性應變能We和黏性應變能ψv兩部分[18,25-26]

超彈性應變能函數可以表示成與右柯西--格林應變張量C和纖維方向a0有關的應變張量不變量Ii的標量函數[27]

式中，超彈性應變能函數被分解為各向同性和各向異性兩部分：I1,I2和I3表征橡膠基體的各向同性屬性；I4和I5與纖維伸長率和伸長方向有關，用來表征各向異性.

黏性應變能具有率相關效應，表示為與右柯西-格林應變率張量˙C相關的應變率張量不變量Ji的標量函數[28]

由鏈導法則可得，應變能函數W對右柯西--格林應變張量C和應變率張量進行求導，得到第二皮奧拉--基爾霍夫(Piola-Kirchho ff)應力張量S

式中，?Ii/?C和?Ji/?是不變量的一階導數

而表征真實應力的柯西(Cauchy)應力張量為

2 黏--超彈應變能的耦合

短纖維增強EPDM包覆薄膜在拉伸過程中具有非線性、各向異性、大變形的率相關力學特性，根據Spencer提出的纖維增強連續介質力學理論，通過解耦應變能函數，計算應力--應變關系，再進行疊加，是一種有效表征黏彈性材料力學行為的方法.

2.1 超彈應變能的解耦

用應變張量不變量 Ii表示的超彈性應變能函數，相比較I1，I2對于纖維增強橡膠的變形影響較小，可以被忽略[23,29]；基于不可壓縮性假設，I3=J2=1；I4=，與纖維伸長率有關，不可被忽略；不考慮纖維和基體橡膠的相互作用，即忽略I5的影響[15,23,30].因此為便于獲取參數，將超彈性應變能函數解耦為基體橡膠應變能和纖維伸長應變能，構造關于 I1和 I4的簡單多項式應變能函數[15,18,30-31]

2.1.1 橡膠應變能

超彈性橡膠應變能函數的完全多項式形式可以表示為[32]

式中，Cij和Di為模型參數.在不可壓假設下，選取N=2作為多項式的階數，得到基體橡膠的超彈性應變能函數

式中，材料參數C10和C20的單位均為MPa.

2.1.2 纖維應變能

當纖維處于壓縮狀態時，其呈現弱阻力，所以假定纖維受拉伸載荷作用時，應變能與其拉伸長度有關，被定義為[33]

式中，材料參數C2和C3的單位均為MPa.

2.2 黏性應變能的推導

材料的黏度依賴于其微觀結構和化學成分[34]，為簡化材料的黏性表征方法，提出一種宏觀的唯象模型來表征橡膠基體和短纖維的黏性響應，黏性應變能被定義為[18]

式中，黏性材料參數ηi單位均為MPa·min.

2.3 黏--超彈本構模型

超彈性應變能和黏性應變能的函數形式已經被定義，當I4≥1時，將式(13)～式(15)代入式(10)得簡化后的黏--超彈本構模型應力張量

式中，B是左柯西--格林應變張量，a是纖維在當前構形中的方向向量，且B=F·FT，a=F·a0.

2.4 模型參數的確定方法

通過對黏--超彈應變能函數的分解耦合，采用7個材料參數利用最小二乘法擬合3種拉伸速率下的單軸拉伸和偏軸拉伸實驗數據獲得.材料參數由于纖維方向性而變得復雜，在相同變形的基礎上，不同纖維方向會產生不同的力學響應，必須根據相應的實驗數據進行分步擬合.

為簡化參數獲取，假定5mm/min拉伸速率的實驗為準靜態拉伸實驗，即忽略基體材料和纖維的應變率效應，只表征超彈性力學響應；考慮到工程實用性，認為垂直于纖維方向的力學行為完全表征純橡膠的靜態力學屬性；通過對I4取值分析和實驗結果分析，當纖維方向大于45?時，纖維增強作用明顯被削弱，由此確定模型的適用范圍為0?～45?.獲取模型參數的具體步驟如下：

(1)擬合90?纖維方向的5mm/min單軸拉伸實驗數據，得到橡膠應變能的材料參數C10和C20；

(2)擬合0?、15?、30?和45?纖維方向的5mm/min偏軸拉伸實驗數據，得到纖維拉伸應變能的材料參數C2和C3；

(3)擬合20mm/min拉伸實驗數據，獲取黏性應變能參數 η1,η2,η3和 η4；

(4)利用前面3步獲取的材料參數對100mm/min拉伸實驗數據進行驗證，與不考慮黏性應變能的預測曲線進行對比.

3 模型參數確定及驗證

3.1 本構模型一維形式

考慮到短纖維增強EPDM包覆薄膜的不可壓和橫觀各向同性，假設變形前短纖維的單位方向向量為 a0=[cosα sinα 0]，單軸拉伸狀態如圖2所示.其變形梯度張量F、左柯西--格林應變張量B和應變率張量

其中，λi和分別表示第i個主方向的拉伸比和拉伸速率.

圖2 短纖維增強EPDM單軸拉伸變形Fig.2 Uniaxial tensile deformation of short fibe reinforced EPDM

基于橡膠材料在有限拉伸變形下完全不可壓和短纖維增強EPDM的橫觀各向同1性，假設主方向伸長比分別為λ1=λ，λ2=λ3=λ-2，計算可得

基于這種情況，對式(16)進行簡化(忽略λ3方向上的應變率效應)，得到黏--超彈本構模型在單軸拉伸下的柯西應力

式中，σ=Pλ，P是工程應力.

3.2 參數擬合

3.2.1 超彈性材料參數

對于超彈性部分，沒有必要考慮應變率效應的影響，通過擬合5mm/min速率下各個纖維方向的單軸和偏軸拉伸實驗數據，即可獲得表征超彈性應變能的材料參數，如圖3所示.由此得到橡膠基體材料參數為

短纖維材料參數C2和C3如表1所示.

圖3 超彈性參數擬合結果Fig.3 Fitting results of hyperelastic parameters

表1 短纖維材料參數C2和C3Table 1 Short fibe material parameter C2and C3

通過對短纖維材料參數C2和C3分析發現：參數C2和纖維方向α近似線性相關，利用線性回歸分析得C2：y=-0.02189x+3.19074；參數C3與纖維方向無關，幾乎保持恒定，約為-1.99738.

3.2.2 黏彈性材料參數

在超彈性材料參數確定的基礎上，通過擬合20mm/min速率的應力--應變曲線獲得黏彈性部分材料參數ηi，如圖4所示.首先擬合20mm/min速率下90?纖維方向的實驗曲線，得到只與橡膠基體黏性響應有關的材料參數η1和η2；然后擬合其他纖維方向的實驗曲線，獲取表征纖維對橡膠作用產生的黏性響應的材料參數η3和η4，黏性材料參數見表2.

圖4 黏彈性參數擬合結果Fig.4 Fitting results of viscoelastic parameters

表2 黏彈性材料參數ηiTable 2 Viscoelastic material parameters ηi____

3.3 模型驗證

在獲得所有材料參數的基礎上，利用本文建立的各向異性黏--超彈性本構模型對100mm/min拉伸速率(應變率為2.5/min)的應力--應變曲線進行預測對比，同時給出了應變率為0.5/min和不考慮黏性的模型預測結果，如圖5所示.

利用模型預測結果與應變率為2.5/min的實驗數據吻合度較高，誤差主要出現在拉伸的初始階段，考慮拉伸實驗數據受諸多因素影響，此誤差在可接受范圍內.與應變率為0.5/min和不考慮黏性的模型預測結果相比，相差較大，說明在相同拉伸條件下，材料表現出強烈的率相關效應，即應力隨應變率的增加而增加.從而證明本文建立的各向異性黏--超彈性本構模型的有效性和準確性，能夠表征0?～45?纖維方向和低應變率下短纖維增強材料的力學響應.

圖5 不同應變率下的應力--應變曲線對比Fig.5 Comparison of stress-strain curve under di ff erent strain rates

4 結論

(1)基于纖維增強連續介質力學理論，提出了一種考慮應變率效應的橫觀各向同性黏--超彈性本構模型，能夠描述短纖維增強EPDM絕熱包覆材料在0?～45?纖維方向和低應變率下表現的大變形、非線性和各向異性的率相關力學特性.

(2)黏--超彈性應變能被解耦為超彈性應變能和黏性應變能，而超彈性應變能又被解耦為橡膠應變能和纖維拉伸應變能，其中纖維應變能材料參數C2和纖維方向α近似線性相關.

(3)所提出的各向異性黏--超彈性本構模型有效性好，獲取材料參數的步驟明確，模型形式易于實現有限元開發，能為固體火箭發動機裝藥結構完整性數值分析提供參考依據.

(4)在拉伸初始階段，模型預測結果與實驗數據存在誤差，可通過改進橡膠應變能函數形式提高模型的準確性.

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A TRANSVERSELY ISOTROPIC VISCO-HYPERELASTIC CONSTITUTIVE MODEL FOR SHORT FIBER REINFORCED EPDM1)

Tan Bingdong?Xu Jinsheng?,2)Sun Chaoxiang?Jia Yunfei?Fan Xinggui??(School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China)?(Beijing Institute of Space Long March Vehicle，Beijing 100076，China)

Short fibe reinforced EPDM inhibitor fil is a new type composite material,which has been applied in solid rocket motor winding and coating.Based on viscoelastic theory and fibe reinforced continuum mechanics theory,a transversely isotropic visco-hyperelastic constitutive model is proposed to describe strain rate dependent mechanical behaviors under vibration,impact and other loading conditions.The strain energy function is decomposed into hyperelastic strain energy and viscous strain energy,in which hyperelastic strain energy includes two parts：representing the strain energy from isotropic rubber matrix and anisotropic fibe tensile deformation.A macro-phenomenological model is proposed to characterizetheviscousresponsefromrubbermatrixandfibers Then,selectthefunctionformofeachstrainenergy.After a series of mathematical transformation,substitution and superposition,the fina form of stress and strain is determined.Moreover,the specifi steps to obtain model parameters are defined Finally,the predicted and experimental results are compared and analyzed,which indicates high accuracy of the proposed model.Studies show that it can e ff ectively predict their nonlinear and strain rate dependent mechanical behaviors in the fibe direction from 0?to 45?at low strain rate.It is concluded that the proposed model is easy to realize finit element development,which has reference value for the structural integrity analysis of solid rocket motor.

EPDM，transversely isotropic，visco-hyperelastic，constitutive model

O331，TB332，V435

：A

10.6052/0459-1879-16-380

2016–12–16 收稿，2017–03–23 錄用,2017–03–23 網絡版發表.

1)國家自然科學基金(51606098)和中央高校基本科研業務費專項資金(30915118805)資助項目.

2)許進升，副教授，主要研究方向：結構完整性分析.E-mail：xujinsheng@njust.edu.cn

談炳東，許進升，孫朝翔，賈云飛,范興貴.短纖維增強三元乙丙橡膠橫觀各向同性黏--超彈性本構模型.力學學報,2017,49(3)：677-684

Tan Bingdong,Xu Jinsheng,Sun Chaoxiang,Jia Yunfei,Fan Xinggui.A transversely isotropic visco-hyperelastic constitutive model for short fibe reinforced EPDM.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：677-684