疊加法在基礎力學教學中的應用

何芝仙，樊清華

（安徽工程大學 建筑工程學院，安徽 蕪湖 241000）

[教育·教學]

疊加法在基礎力學教學中的應用

何芝仙，樊清華

（安徽工程大學 建筑工程學院，安徽 蕪湖 241000）

針對基礎力學的教學內容，討論了疊加法在基礎力學中應用的典型實例如求結構的約束反力、求解單自由度振動系統在任意激勵力作用下的響應、畫梁的彎矩圖、求梁的彎曲變形、廣義胡克定律計算公式的推導以及求解組合變形問題等。論述疊加法求解基礎力學問題的適應條件和相對統一的求解一般步驟，結論是符合疊加法求解適應條件的問題，應用疊加法求解優勢顯著，基礎力學教學應對疊加法給予足夠的重視。

線性問題；疊加原理；適應條件；求解一般步驟

0 引 言

基礎力學是高等學校工科本科專業的必修專業基礎課,我校工科各專業的基礎力學主要包含理論力學和材料力學。疊加原理是求解線性問題的一個非常重要的原理，應用疊加原理求解線性問題的方法即謂疊加法。基礎力學中的大多數問題屬于線性問題，因而疊加法在基礎力學中的應用十分廣泛。 材料力學教科書中有關“疊加法求梁的變形”通常這樣敘述“當梁上同時作用幾個載荷時，可分別求出每一個載荷單獨作用時所引起的變形，然后將所求得的各個變形代數相加，即為這些載荷共同作用 時 的 變 形 ”[1]。 一 般 地 ，構 件 或 結 構 在 多 個 載 荷 同時作用下引起的響應（如約束反力、變形、應力等），應等于每一個載荷單獨作用下引起的響應的和，這就是所謂的疊加法。應用疊加法求解一般步驟可以歸納為以下3步：

1.按照結構上作用的主動力將具有多個主動力同時作用的求解問題分解成只有一個主動力作用的基本單元；

2.求解基本單元的響應；

3.疊加。

基礎力學中應用疊加法求解問題應滿足的條件：

1.所求解的問題必須是線性問題，非線性問題疊加原理不成立；

2.在一個主動力作用下基本單元的求解應簡單快捷；

3.主動力個數不宜過多，一般不宜超過 3 個。 過多的主動力會導致基本單元的求解以及疊加時計算量增加，計算出錯幾率增加。

基礎力學中許多問題，應用疊加法求解方便快捷，有些問題甚至可以達到通過心算直接寫出求解結果的神奇程度。

1 疊加法在理論力學中的應用

1.1 疊加法求約束反力

根據作用在研究對象（結構、構件）上的主動力，求解約束反力，是理論力學中剛體靜力學的主要 目 的[2]。 圖 1 為 具 有 集 中 力 和 均 布 力 同 時 作 用 的簡支梁,其支座 A，B 處的約束反力為 FA和 FB，參見圖 2（a）。 根據疊加法的求解一般步驟，首先將其分解成只有分布力q和只有集中力P作用的基本單元；求解基本單元，得到相應的 A，B 處的約束反力為； 疊加后支座 A，B 處的約束反力為這類問題由于基本單元的約束反力可以通過觀察心算得到， 利用疊加法求解在省略中間過程后，可以直接寫出求解結果，非常適合采用疊加法求解。文 獻[3]給 出 了 一 個 利 用 疊 加 法 求 解 多 剛 體 系 統 平 衡問題的例子，如圖 3所示。 盡管可以采用疊加法求解出各個約束處的約束反力，但由于主動力數量較多且在一個主動力作用下的基本單元的約束反力求解并不簡便，故采用疊加法求解該問題的優勢已喪失殆盡。

圖1

圖2

圖3 多剛體平衡問題

圖4 任意激勵力

1.2 疊加法求解單自由度振動系統在任意激勵力作用下的響應

單自由度振動系統在任意激勵力作用下的響應求解問題，是一個典型的動力學問題。 其運動微分方程為

式中：m 為質量，c 為阻尼，k 為彈簧剛度系數，f（t）為任意激勵力。

Duhamel在研究該問題時，巧妙地運用疊加法，得到一個完美的解答，即所謂 Duhamel積分。 其基本思路是：

1.t時刻系統的響應只取決于 t時刻以前的作用力。 在[0，t]時間段的任意激勵力 f（t）可視為一系列元沖量 f（ ）d 組成，如圖 4 所示。

2. 元沖量 f （ ）d 引起的系統的動力響應為dx（ ，t），可解出

3.根據疊加原理，t時刻系統的動力響應 x（t）等于 t時刻以前的元沖量 f（ ）d 引起的系統的動力響應 dx（ ，t）的和，即

這就是 Duhamel積分。

2 疊加法在材料力學中的應用

材料力學在小變形條件下所研究的問題都是線性問題，滿足疊加原理的條件，故疊加法在材料力學中應用十分廣泛，如疊加法畫彎矩圖、求梁的彎曲變形、廣義胡克定律計算公式的推導、組合變形的求解等表現出獨特的求解優勢。

2.1 疊加法畫彎矩圖

圖5 疊加法畫彎矩圖

盡管可以應用疊加法畫梁的剪力圖，但求解方法并無優勢，而采用疊加法畫圖 2（a）所示的簡支梁彎矩圖，則十分方便快捷，其求解過程如圖 5 所示。與求解約束反力的過程類似，只不過此時的求解目標是梁的彎矩圖。由于本例中基本單元的求解結果一目了然，應用疊加法畫其彎矩圖也可以達到直接給出結果的境界。

2.2 疊加法求梁的彎曲變形

材料力學中應用疊加法與查表法相結合,可以有效地求解梁指定截面的位移與轉角。對于少學時的材料力學教學，由于學時不足不能介紹能量法求梁的彎曲變形，這種方法就顯得尤其重要。圖 1 所示的簡支梁中點 C 的豎向位移，根據疊加原理，可以表達為

圖6 疊加法求梁的彎曲變形

圖6（a）所示的受到比較復雜載荷作用的簡支梁，欲求中點 B 截面的撓度，可以將其分解成分布力、集中力和集中力偶單獨作用的基本單元，如圖 6（b）（c）（d）,則根據疊加原理，中點 B 截面的撓度為

式中：yB為簡支 梁 在 集 中 力 P 單 獨 作用引 起的B 截 面 的 撓 度 ， 由 查 表 法 可 得e為簡支梁在集中力偶 Me單獨作用引起的 B 截面的撓度為簡支梁在均布力 q單獨作用引起的 B 截面的撓度。 為了進一步求出，在距支座 A 為 x 處取 dx微段， 在 qdx 作用下 B 截面的撓度為，根據疊加原理和結構對稱性代入（4）從而有

該例兩次應用疊加原理求出了受載比較復雜的梁指定截面上的撓度，解法優勢顯著。 與積分法相比， 疊加法避免了求解撓曲線近似微分方程，只做了加減和積分運算，降低了運算級別，節省了大量的計算時間。 與圖乘法相比，疊加法由于利用了查表法直接得到了基本單元的撓度，從計算工作量上看，仍具有一定的優勢。 值得一提的是，疊加法求梁的彎曲變形，由于最后的結果為代數相加，對作用在梁上載荷的數目并無限制。

2.3 疊加法推導廣義胡克定律計算公式

圖7 疊加法推導廣義胡克定律計算公式

圖7（a）為具有 3 個主應力的主單元體，利用疊加法推導廣義胡克定律計算公式十分方便。首先將其分解成只有一對主應力作用的基本單元，如圖7（b）（c）（d）。在只有一對主應力作用下引起的 3 個主方向的應變可表示為

即用主應力表示的廣義胡克定律。

2.4 組合變形

疊加法在材料力學中的一個重要的應用，就是建立組合變形構件的強度條件和剛度條件。承受組合變形的構件，受載復雜、組合方式多樣，求解的關鍵就是掌握以疊加原理為基礎的求解方法。疊加法將組合變形分解成基本變形，求解分解后的基本變形的應力和變形，最后通過疊加得到組合變形的求解結果，是一個應用疊加法解決材料力學問題的生動實例。 以圖 8（a）所示的彎扭組合變形為例，說明其求解步驟。

1.載荷分解，將組合變形分解成若干個基本變形。 從圖 8（b）所示知，所討論的問題為彎曲與扭轉組合變形。

2. 按基本變形求解每組載荷作用下的內力、應力、 位移。 力偶Me引起的扭矩圖和橫力F作用引起的彎矩圖參見圖 8（c）及（d），對應的應力分布見圖 8（e）。

3.疊加求出組合變形的解。如圖 8（e）所示，危險點 a 點彎曲正應力為， 扭轉切應力由于危險點a點的彎曲正應力和扭轉切應力方向不同，本質上應為矢量相加，即求出主應力

若采用第 3強度理論，建立的強度條件為：

圖8 彎扭組合變形

3 結 論

疊加法在基礎力學中應用廣泛，是基礎力學中解決工程問題的一個十分有效的手段，基礎力學教學中應給予足夠的重視。 采用疊加法求解問題，應注重其適應條件，即所求解的問題為線性問題,基本單元的求解應簡單快捷,最后的疊加求和也應容易實現。符合疊加法求解條件的基礎力學中的問題，采用疊加法求解優勢顯著。如求解結構的約束反力、求解單自由度系統在任意激勵力作用下的響應、畫彎矩圖、求梁的彎曲變形、廣義胡克定律計算公式的推導以及求解組合變形等。特別是對于Duhamel積分的推導、組合變形的求解等這些問題，疊加法提供了求解問題的最具特色的可行方法。疊加法有相對統一的求解步驟即按照求解已知量與未知量關系分解成基本單元、求解基本單元、疊加。基礎力學的教學中應對疊加法給予足夠的重視。

[1]孫訓方，方孝 淑，關來泰.材料力 學（I,II）（第 5 版）[M].北 京：高等教育出版社，2009：164-167.

[2]哈爾濱工 業大學理論 力學教研室.理論 力學（I,II）（第 7 版 ）[M].北京：高等教育出版社，2009：45-49.

[3]楊立軍,張勇.疊加原理在剛體靜力 學中的應用[J].陜西科 技大學學報，2005，23（2）:70-72.

[4]梁秋道.略論“疊 加法”在材料 力學中的應 用[J].洛陽大學學報，1995，10（4）：49-53.

責任編輯：胡德明

The Application of Superposition Method in the Teaching of Basic Mechanics

He Zhixian,Fan Qinghua
(School of Architectural Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

In this paper,the application of superposition method in basic mechanics is illustrated by typical examples,involving seeking the constraints of a structure,solving the response of a single degree of freedom vibration system applied on arbitrary exciting force,drawing the bending moment diagram of a beam,computing the bending deformation of a beam,deriving generalized Hooke's law and solving combined deformation problems,etc.The suitable condition and general steps to solve problems with superposition method are discussed.The results show obvious advantages of superposition method in solving problems in basic mechanics when the problems meet the suitable condition.Superposition method should be given enough attention in the course teaching of basic mechanics.

linear problem;superposition principle;suitable condition;general steps to solve problems

G642

：A

：1672-447X（2017）03-0100-04

2017-03-01

安徽省教育廳重點教研項目（2015jyxm17）

何芝仙（1963-），博士，安徽工程大學教授，研究方向為基礎力學的教學科研工作。