數學教學：因“結構”而精彩

汪明峰

摘 要：數學學習是個體自我認知結構不斷完善和發展的過程。在數學教學中，教師首先要認識數學的知識結構和兒童的認知結構狀態，在識“聯”的基礎上求“聯”。通過知識連線、知識勾面、知識成體，優化兒童的認知結構，讓兒童的“認知結構”更具活性、質性和生長性。

關鍵詞：數學教學 知識結構 認知結構

認知心理學認為：各種知識都是對于按照一定的關系或一定的模式構成的事物結構的認識。因此每門學科也就是與事物結構相應的知識結構。兒童對數學知識的掌握不僅僅指理解了知識點的本質，更重要的是通過對數學知識結構的同化或順應而形成認知結構。知識結構是客觀的，而認知結構則是主體的，它依賴于兒童的記憶、思維、直覺、想象等數學認知活動。每個人的數學經驗、認知特點、認知風格等存在差異，因此兒童的認知結構也呈現出個體化、個性化的特征。在數學教學中，教師要重視“三聯”，即聯系、聯結、聯想，在“識聯”基礎上“求聯”。

一、“識聯”：兩種“結構形態”的分析

認識數學知識形態和兒童的認知結構形態是“求聯”的教學基礎。在數學教學中，數學知識結構形態和兒童認知結構形態的分析往往是交融在一起的，常見的方式有“同化”和“順應”。“同化”即兒童原有的認知結構與數學知識結構是相匹配的，能夠正向遷移、納入、整合；“順應”即兒童原有認知結構與數學知識結構是不適應的，需要兒童主動調整、改組甚至更新自我原有認知結構。

（一）數學知識結構形態分析

從系統論的角度看，數學知識有著極強的整體性、系統性；從認知論的角度看，數學知識有著很強的結構性、關聯性。因此，教師要用聯系、發展的眼光觀照數學知識。例如教學“分數的基本性質”一課時，教師要有“顧后的思索”，即“分數的基本性質”和“商不變的規律”是一致的，可以運用“商不變的規律”引導兒童展開自主探索。同時，教師亦要有“前瞻的眼光”，分數的基本性質指向通分和約分，而通分和約分指向異分母分數的加減法和分數的乘除法。華東師范大學李士琦教授指出，數學的知識結構可看成是由“節點”和“連線”組成的網絡，“節點”即數學對象在心理上的表征形態，“連線”即知識點之間的聯系。其中，“節點”指數學“基點”（基本知識點或核心知識點）。在數學知識節點周圍環繞著許多相關的數學知識，筆者稱之為“附點”。附點在某種數學情境中是為基點服務的，主要是反映基點的特質，但在另一數學情境中，附點又會成為新的基點。

（二）兒童認知結構形態分析

兒童的認知結構以數學知識節點為“原材料”，以兒童自身個性心理特征為“黏合劑”而形成的具有個性化、層次性和邏輯性的網絡心理結構。數學認知結構是在對數學節點和附點知識把握的基礎上形成的，包括感受、理解與經驗等。兒童運用自身形成的感受、理解、經驗等而形成各自解決問題的心理通道，這些心理通道將會在兒童學習數學新知時發揮作用。心理通道有時能夠順利同化新知，有時卻和新知產生矛盾、沖突。當心理通道和認知產生沖突時，兒童就需要屏蔽一些心理通道，打開新的心理通道。例如學習“長方形的面積”知識點時，學生已有“長方形面積=長×寬”的認知，再加上學習了“平行四邊形可以推拉成長方形”知識點，因此自然地形成了“平行四邊形的面積=底×斜邊”的觀念，而且這一觀念是深刻的、持久的。即便學生通過“平行四邊形的面積推導”掌握了平行四邊形面積計算方法后，原來心理結構中形成的舊有觀念還會不時地冒出來。針對這種情況，教師一方面要強化學生新的心理通道，使之深刻掌握平行四邊形面積的推導過程；另一方面要將新舊知識進行對比辨析，讓兒童順應原有認知心理結構。

二、“求聯”：結構教學視野下兒童認知的心理建構

數學學習是認知結構的組織和建構。教師要依循數學知識的結構性特點和兒童的認知特點，一方面，把零散、孤立、繁雜的數學知識聯結起來，形成有機的知識結構；另一方面，幫助兒童將數學知識結構轉化成穩定的心理結構。

（一）知識線的聯結

特級教師吳正憲說：“知識猶如珍珠，如果不會整理，只是一盤散沙，沒有太大的價值。只有穿成美麗的項鏈，才會價值連城。”教師要有意識地將一個個零散的知識點串聯起來，幫助兒童形成具有生長性的認知結構。運用同化和順應兩種心理機制，用大問題、高觀點、全視野來觀照數學知識，幫助兒童掌握清晰的知識軌跡，深刻理解知識的來龍去脈。例如教學“認識小數”一課，筆者運用數軸幫助學生理解一位小數的產生以及一位小數與兩位小數、整數與一位小數之間的關系。首先讓學生通過數軸直觀感知自然數，然后運用課件動畫截取0和1之間的一段，0到1之間平均分成10份，產生9個均分點，讓學生在數軸上標出整數部分為0 的9個一位小數。之后，在1到2、2到3之間平均分成10份，讓學生在數軸上標出整數部分不是0的一位小數。啟發學生思考在0到0.1之間再平均分成10份，每一份是多少。如此逐層遞進，學生既理解了一位小數的意義，又為第二學段學習多位小數奠定基礎。清晰的知識線，有效溝通了數學知識之間的關聯，形成了線性的兒童認知結構。

（二）知識面的聯結

一條條知識線不是相互平行的，而是交織成一個個知識面。因此，教師在教學中不僅要“瞻前顧后”，更要“左顧右盼”。要善于把握知識線之間的關聯，使之形成知識面，促進學生認知結構的形成。例如教學“異分母分數相加減”一課，筆者首先帶領學生復習了整數相加減、小數相加減的計算法則，讓學生懂得計數單位相同才能直接相加減，異分母分數加減中分數單位不同，所以不能直接相加減，必須先統一分數單位，由此催生兒童的“通分意識”。這是知識線上的認知構建。不僅如此，在這個過程中，學生對分數單位、小數的計數單位、自然數的單位等都有了深刻的認知。在此基礎上，筆者還告訴學生，名數的加減法要統一單位，做數學習題要統一單位，等等。這樣一來，一種“統一”的數學意識漸漸種植在兒童的頭腦中。教師要將教學視角放置于計算中，敏銳地捕捉到整數相加減、小數相加減、分數相加減的聯接點——計數單位，通過類比、遷移等方法讓學生自主建構數學知識，形成加減運算的結構面，分辨分數、小數、整數相加減的異同，并由這樣的結構面拓展至量的計量，拓展至一般的解題乃至生活。

（三）知識體的聯結

完善的認知結構需要兒童將數學知識串聯成線、勾連成面、織編成網，如此認知結構才具有更強的包攝性、遷移性、生長性。根深才能葉茂，良好的認知網有助于提高兒童認知結構的可利用性、可辨別性和穩定性。例如教學“平面圖形的復習”一課，筆者首先讓學生復習了三角形、四邊形、五邊形。在復習四邊形時選擇了各個擊破，梳理平行四邊形、長方形、菱形和正方形的特征以及它們之間的關系。在此基礎上，重點復習了判定方法和溝聯關系，使之形成一個有機的結構體。如向學生提問：什么樣的菱形是正方形？什么樣的長方形是正方形？什么樣的平行四邊形是正方形？什么樣的四邊形是正方形？等等。在這個過程中，學生對所學的知識有了深刻的理解和把握，逐步形成自身的認知結構系統。

參考文獻：

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[3]章世倩.優化認知結構 促進數學學習[J].江蘇教育（中學教學），2016（2）.

（作者單位：江蘇省蘇州市高新區實驗小學）