不動點和一類非線性隨機動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性

王春生，丁 紅

(1.廣州大學華軟軟件學院 管理系，廣東 廣州 510990;2.廣州大學 公共管理學院，廣東 廣州 510006)

不動點和一類非線性隨機動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性

王春生1，丁 紅2

(1.廣州大學華軟軟件學院 管理系，廣東 廣州 510990;2.廣州大學 公共管理學院，廣東 廣州 510006)

考慮了一類變時滯非線性中立型隨機動力系統(tǒng)，給出了確保其零解均方漸近穩(wěn)定性條件.這些條件不需要時滯有界，也不要求系統(tǒng)的系數(shù)函數(shù)符號固定.給出的均方漸進穩(wěn)定性定理一定程度上推廣和改進了相關文獻的結(jié)果.

非線性中立型隨機動力系統(tǒng)；不動點; 變時滯;均方漸近穩(wěn)定

目前很多專家和學者都選擇采用不動點方法研究隨機動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得到了很優(yōu)異的結(jié)果.如文獻[1-6]利用不動點方法研究過隨機動力系統(tǒng)零解的存在性、周期性、有界性和穩(wěn)定性，文獻[7-12]也采用不動點方法研究過多種類型的隨機動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性.作為此項研究的推廣，本文將研究具有變時滯非線性中立型隨機動力系統(tǒng)的均方漸近穩(wěn)定性，以期推廣和改進相關文獻結(jié)果.

1 主要結(jié)果

考慮以下變時滯非線性中立型隨機系統(tǒng)

d[x(t)-G(t,x(t-τ(t))]=[a(t)x(t)+f(t,x(t-τ(t)))]dt+g(t,x(t),x(t-δ(t)))dw(t)

(1)

其中當s∈[m(0),0]時，x(s)=φ(s)，φ∈C([m(0),0],R),a(t)∈C(R+,R),τ(t),δ(t)∈C(R+,R+) 滿足：當t→時，t-τ(t)→和t-δ(t)→.m(0)=min{inf(s-τ(s),s≥0), inf(s-δ(s),s≥0)}.

同時，G(t,x)∈C(R+×R,R)，f(x)∈C(R+×R,R)，g(x,y)∈C(R+×R×R,R)和存在一個q(t),c(t),e(t)∈C(R+,R) 使得

定理1 假設τ(t) 可導且存在常數(shù)α∈(0,1)和連續(xù)函數(shù)h(t):[0,)→R,使得當t≥0時,

(i) liminft→h(s)ds>-;

則，系統(tǒng)(1) 的零解均方漸進穩(wěn)定當且僅當t→時,

證明 定義S為所有F-適應過程φ(t,ω):[m(0),)×Ω→R所構(gòu)成的Banach 空間，且對固定的ω∈Ω，φ(t,ω)關于t幾乎處處連續(xù)，其初值ψ(s,ω)=φ(s).我們定義當t→時,

定義算子π:S→S滿足：當t∈[m(0),0]時，(πx)(t)=φ(t).當t≥0時

(1)π在[0,)上均方連續(xù).

易證當

(2)π(S)? S.

當t→時，t-δ(t)→且E|x(t)|2→0，E|x(t-δ(t))|2→0.對任意ε>0，存在T1>0使得當t≥T1時，E|x(s)|2<ε和E|x(s-δ(s))|2<ε.所以有

類似可證當t→時所以有π(S)?S.

(3)π是壓縮映射.

由條件(ii)可知，存在常數(shù)L>0和β滿足α2<β<1使得

(3)

對任意x,y∈S有

為了證明漸近穩(wěn)定性，需要證明方程(1)的零解是均方穩(wěn)定的.假設任意的ε>0 和δ>0 (δ<ε) 滿足

其中L來自公式(3).如果x(t)=x(t,0,φ(0))是方程(1)的解，滿足： E|φ|2<δ且x(t)=(πx)(t).下面證明對所有的t≥0有E|x(t)|2<ε.

這與t*的定義相違背.這說明，如果條件(iii)成立，方程 (1)的零解均方漸近穩(wěn)定.

由公式 (2) 和x(t)=(πx)(t)知，對所有的t≥tk,

然而，

(4)

另一方面，如果方程(1)的零解均方漸近穩(wěn)定，則當t→時，E|x(t)|2=E|x(t,tk,φ)|2→0.

因為當n→時，tn-τ(tn)→，由條件(ii)知，當n→時，

這與公式(4)相違背.所以條件(iii)是方程(1)零解均方漸近穩(wěn)定的必要條件.故得證.

2 實例

d[x(t)-0.1x(t-τ)]=-x(t)dt+ex(t-τ)dω(t)

(5)

很顯然，在定理1中可取q(t)=0.1,a(t)=-1,b(t)=0,e(t)=1，如果選擇h(t)≡1，

則由定理1可知，系統(tǒng) (5) 的零解均方漸進穩(wěn)定.

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(編輯：郝秀清)

Fixed point and stability of a kind of stochastic nonlinear system

WANG Chun-sheng1,DING Hong2

(1.Management Department,South China Institute of Software Engineering, Guangzhou University, Guangzhou 510990,China;2.School of Public Administration,Guangzhou University,Guangzhou 510006,China)

In this paper，we consider a nonlinear neutral stochastic system with variable delays and give conditions to ensure that the zero solution is asymptotically mean square stable by means of fixed point theory. These conditions do not require time delays, and do not require the system to be fixed. An asymptotically mean square stable theorem with necessary and sufficient condition is proved. Some well-known results are improved and generalized.

nonlinear neutral stochastic system; fixed point; variable delays; mean square stable

2016-07-02

廣東省自然科學基金項目(2016A030313542)；廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項目(自然科學)(2015KQNCX200)；廣州大學華軟軟件學院教學、科學研究項目(ky201402)

王春生,男，paperspring@163.com； 通信作者: 丁紅，女，182377757@163.com

1672-6197(2017)05-0024-05

O231.3

A