一種分數階微積分算子的有理函數逼近階數最小化方法

張旭秀， 李衛東， 盛虎， 丁鳴艷

(大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028)

一種分數階微積分算子的有理函數逼近階數最小化方法

張旭秀， 李衛東， 盛虎， 丁鳴艷

(大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028)

針對分數階微積分算子的實現問題，基于對數幅頻特性，導出分數階積分算子1/sγ(0<γ<1)的一種有理函數逼近公式，該式與Manabe提出的公式類似，但比它更便于分析和應用，討論了該式應用范圍的拓展。為了改善相位逼近精度，提出有理函數構建頻率區間概念，它包含逼近頻率區間。在滿足逼近精度和逼近頻率區間條件下，提出使有理函數階數最小化的兩點措施：①充分利用對數幅頻特性漸近線與準確曲線之差，適當加寬分數階積分算子與有理函數二者對數幅頻特性之間的誤差帶；②根據逼近頻率區間，合理選擇函數構建頻率區間。計算實例表明上述工作的有效性。

分數階微積分算子;有理函數逼近;Manabe近似式;有理函數階數最小化；應用范圍拓展

0 引 言

分數階微積分算子的實現方法，分為頻域濾波器法(連續模型法)和數字濾波器法(離散模型法)兩大類。連續模型法是用s的有理函數去逼近分數階微積分算子，離散模型法是用z傳遞函數去逼近分數階微積分算子。本文研究內容屬于連續模型法。現有的一些連續模型法，如分段逼近連分式展開法、Matsuda連分式展開法、Carlson法、Oustloup法及其改進方法[1-2]，它們的共同特點是不能預先準確設置逼近誤差，這可能導致生成的有理函數階數偏高。

Manabe提出一種基于Bode圖的有理函數逼近方法[3-4]，克服了上述局限性，其做法是：在Bode圖的對數幅頻坐標平面中，繪出分數階積分算子的對數幅頻率特性 ,這是一條斜線，以這條斜線為基礎，根據對幅度逼近誤差的要求，設置一定寬度的誤差帶，在誤差帶內用兩種具有典型斜率(-20dB/dec,-40dB/dec)的線段交替連接組成折線，來逼近分數階積分算子1/sq(0

為克服以上兩種基于Bode圖的有理函數逼近方法存在的問題，本文采用另一種方法導出分數階積分算子1/sγ(0<γ<1)的有理函數逼近公式，以該式為基礎，拓展它的應用范圍。為改善相位逼近精度，提出有理函數‘構建頻率區間’概念，所要求的‘逼近頻率’區間在‘構建頻率區間’內部。在滿足逼近頻率區間和逼近精度(最大幅度逼近誤差)要求條件下，采取以下兩種措施實現有理函數階數最小化：1)考慮到用漸近線表示的對數幅頻率特性與實際曲線之差，適當放寬逼近誤差帶；2)根據逼近頻率區間，更精細地選擇構建頻率區間。

1 一種基于Bode圖的有理函數逼近公式的導出

Manabe法在Bode圖的指定頻域[Ω1,Ω2]內，用整數階有理函數R(s)的對數幅頻特性(折線)逼近分數階積分算子1/sq(0

1.1 交接頻率計算

圖1 ωc=1時的Bode圖Fig.1 Bode when ωc=1

經簡單推導，左側交接頻率有

(1)

(2)

右側的交接頻率通式

(3)

(4)

1.2 逼近有理函數的生成

首先構建縱軸左側對數幅頻特性對應的逼近函數RL(s)，自縱軸向左依次列出各環節傳遞函數，取它們的連乘積，在Bode圖中20lgA1=0，20lgA2=-20lgB1，表明環節系數A1=1，A2與B1互為倒數，故有

假設直到Ω1=aj+1，共有j對環節，則上式可推廣為一般形式

(5)

Ω1=aj+1。

(6)

假設縱軸右側直到Ω2為止，對數幅頻特性對應的環節共有k對，則上式可推廣為一般形式

(7)

(8)

左右兩側對應的逼近函數連乘，便得整個折線對應的逼近函數，即1/sγ的逼近有理函數

(9)

該式對應的函數構建頻率區間下、上限分別為

Ω1=aj+1，

(10)

Ω2=1/ak+1。

(11)

式(9)與Manabe逼近函數公式乘以算子s的結果相同。但二者的區別是，Manabe法把[Ω1,Ω2]就當作逼近頻率區間，而式(9)的逼近頻率區間是[ωa,ωb]，按上述，它是在[Ω1,Ω2]內部。

下面以式(9)為基礎，研究有理函數階數最小化以及應用范圍拓展問題。

2 逼近誤差帶寬的設定——逼近函數階數最小化措施之一

由圖1可見，在逼近頻率區間一定的前提下，誤差帶越寬，則有理函數的環節數越少，階數越低。為了降低有理函數的階數，應當在滿足逼近誤差條件下，盡量加寬誤差帶。為此，需要考慮以下兩個問題：第一，有理函數的對數幅頻特性漸近線與準確曲線之間的誤差。第二，對數幅頻特性逼近誤差曲線極點頻率與其鄰近的交接頻率的關系。

2.1 對數幅頻特性漸進線與準確特性之間的誤差

在Bode圖中，逼近函數的對數幅頻特性是用漸進線表示的。對數幅頻特性漸進線與準確特性之間存在誤差，交接頻率處，誤差最大。慣性環節的此誤差為(漸進線值減準確值)3dB；對于一階微分環節，此誤差為-3dB。

用漸近線表示的對數幅頻特性(折線)總是在準確特性曲線的外側，因此，如果直接按幅頻特性逼近誤差的最大允許值(折算成對數幅頻特性相應值)設置誤差帶寬(單側)δ，那么，誤差帶寬偏窄，求得的R(s)，其階數偏高，實際逼近誤差小于設定值，即逼近精度尚有裕量。消除這個裕量，可能換取R(s)階數的降低。為此，應適當加寬誤差帶。加寬多少為宜將在2.3節回答。

2.2 逼近誤差曲線極點頻率與交接頻率的關系

(12)

逼近誤差帶寬度的設置

假設要求幅度逼近的最大允許誤差為μ，在Bode圖中為

δ0=20lgμ。

(13)

Bode圖中的誤差帶寬度(單邊)δ應當在δ0基礎上，增加一個修正量Δδ，

δ=δ0+Δδ。

(14)

其中δ是逼近函數對數幅頻特性漸近線在ωj處與分數階積分算子對數幅頻特性之差，δ0是逼近函數對數幅頻特性準確值在ω*處與分數階積分算子對數幅頻特性之差。Δδ的取值同ω*與ωj的相對大小有關，具體分以下三種情況：

圖2 Δδ的選取Fig.2 Selecting of Δδ

Δδ=3 dB。

(15)

Δδ=δ-δ0<3 dB。

(16)

Δδ=δ-δ0<3 dB。

(17)

γ值偏離0.5越遠，則Δδ應越小。此時的Δδ值不能用解析方法求出，只能根據經驗或者試探選取，例如γ=0.4和γ=0.6 時，可以取Δδ≈2.8 dB，γ=0.2和γ=0.8時，可以取Δδ≈2 dB，等等。

基于上述，在計算交接頻率之前，應當按以下步驟計算α：

1)根據設定的幅頻特性最大允許逼近誤差α0，計算δ0=20lgα0，或者直接設定δ0；

2)根據γ，選取Δδ，計算δ=δ0+Δδ；

3)計算α=10δ/20。

3 應用范圍的拓展

式(9)的階數可以拓展用于以下幾種情況：

3.1 積分算子階數的拓展

式(9)的階數可以拓展用于以下幾種情況：

1)用于逼近 1/sq,(n

2) 用于對微分算子sβ,(0<β<1)的逼近：先按式(9)求出1/sβ的逼近有理函數R(s)，然后取R(s)的倒數即可。

3)用于逼近微分算子sp,(n

3.2 積分算子系數的拓展

設要逼近的傳遞函數為G0(s)=k0/sγ，k0>1，0<γ<1，要求逼近頻率區間為[ωa,ωb]，求G0(s)的逼近有理函數R(s)。

與圖1對照可見，圖3中的對數幅頻特性，是圖1中的對數幅頻特性沿著橫軸右移lgωc的結果。修改圖1中的交接頻率公式，得到圖3的交接頻率。有

aai=aiωc，i=1,2,3,…,

(18)

bbi=biωc,

(19)

(20)

(21)

圖3 公式(9)拓展到ωc>1時Bode圖Fig.3 Bodewhen equation (9) expanding to ωc>1

最后，得到G0(s)=k0/sγ的逼近有理函數表達式

(22)

相應地，函數構建頻率下、上限分別改為

Ω1=aaj+1=aj+1ωc，bbj≤ωb

(23)

(24)

4 有理函數的降階——逼近函數階數最小化措施之二

前面給出的逼近有理函數，其分子與分母階數都是相等的。在一定條件下，可以突破這種限制，使逼近有理函數階數降低一階。以右側為例，參看圖1，把式(7)和式(8)重寫如下

(25)

(26)

(27)

(28)

僅當ωb在式(27)所示范圍內時，必須使用式(25)和式(26)；當ωb在式(28)所示范圍內時，除了可以使用式(25)和式(26)以外，還可以取

(29)

(30)

類似地，把式(5)RL(s)的導出過程及其一般形式重寫如下：

(31)

(32)

式(32)第二式是參照式(31)(j=2)寫出的。

前面已指出，當ωa滿足條件bj≤ωa

Ω1=aj+1。

(33)

ωa的浮動范圍也可以分成兩段：

bj≤ωa

(34)

aj≤ωa

(35)

僅當式(34)成立時，才必須使用式(32)和式(33)，當式(35)成立時，除了可以使用式(32)和式(33)以外，為節省一個慣性環節，還可以取

Ω1=bj。

(36)

并把式(32)修改成

(37)

從Bode圖1來看，與式(32)及式(33)對應，折線從Ω1=a3對應的水平線的左端進入誤差帶；與式(36)及(37)對應，折線從Ω1=b2對應的斜線的上方進入誤差帶。

上述有理函數降階的思想，同樣可以用于ωc>1的情況。

5 實現方法

綜合上述，本文所給出方法的實現過程如下：

1)題設條件，包括要逼近的微積分算子，逼近頻率區間[ωa，ωb]，對數幅頻特性最大逼近誤差δ0或者幅頻特性最大逼近誤差α0；

2)把要逼近的微積分算子，轉換成逼近1/sγ的問題；

3)根據γ確定Δδ，進一步求出誤差帶寬(單邊)δ；

4)計算交接頻率：如果ωc=1，則按公式(1)、式(2)、式(3)、式(4)進行；如果ωc>1則按公式(18)、式(19)、式(20)、式(21)進行。以上公式都是遞推公式，可以取i=1,2,3,…

5)確定構建頻率區間和有理函數表達式

對于ωc=1，有以下4種情況：

1)如果ωa滿足不等式bj≤ωa

Ω1=aj+1，

(38)

(39)

2)如果滿足aj≤ωa

Ω1=bj，

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

根據ωa和ωb的實際位置，從情況1)和2)中取出一個逼近函數，從情況3)和4)中取出一個逼近函數，兩個逼近函數連乘，得到1/sγ的逼近有理函數R(s)。

6 驗證實例

實例1：求10/s0.5的逼近有理函數，逼近頻率區間[0.05，1.5×105](rad/s)，對數幅頻特性(準確值)逼近誤差不大于2dB，即幅頻特性逼近誤差不大于α0=102/20=100.1=1.26。

(46)

10/s0.5及其逼近函數式(46)的對數幅頻特性和相頻特性曲線如圖4所示，對數幅頻特性的逼近誤差曲線如圖5所示。

圖4 10/s0.5及其逼近函數的對數幅頻特性和相頻特性Fig.4 Logarithmic amplitude frequency and phase frequency characteristics of 10/s0.5and approximation function

圖5 對數幅頻特性的逼近誤差曲線Fig.5 Approximation error curve of logarithmic amplitude frequency characteristics

實例2：逼近區間為[3×102,3×105](rad/s), 其他同實例1。

解：ωa=3.16×102>ωc=102，所以只需使用圖1右側的幅頻特性，按表1，它對應的逼近有理函數為

(47)

10/s0.5及其逼近函數式(47)的對數幅頻特性和相頻特性曲線如圖6所示，對數幅頻特性的逼近誤差曲線如圖7所示。

圖6 10/s0.5及其逼近函數的對數幅頻特性和相頻特性Fig.6 Logarithmic amplitude frequency and phase frequency characteristics of 10/s0.5and approximation function

實例3：逼近頻率區間[3×102,3×104]，其他同實例2。

(48)

10/s0.5及其逼近函數式(48)的對數幅頻特性和相頻特性曲線如圖8所示，對數幅頻特性的逼近誤差曲線如圖9所示。

圖7 對數幅頻特性的逼近誤差曲線Fig.7 Approximation error curve of logarithmic amplitude frequency characteristics

圖8 10/s0.5及其逼近函數的對數幅頻特性和相頻特性Fig.8 Logarithmic amplitude frequency and phase frequency characteristics of 10/s0.5and approximation function

圖9 對數幅頻特性的逼近誤差曲線Fig.9 Approximation error curve of logarithmic amplitude frequency characteristics

7 結 論

本文基于Bode圖，導出一種分數階積分算子1/sγ，(0<γ<1) 的逼近有理函數公式，它式與Manabe提出的公式類似，但比它更便于分析和拓展。以該式為基礎，討論該式應用范圍的拓展提出函數構建頻率區間概念，它有別于逼近頻率區間；討論該式應用范圍的拓展問題；提出使逼近有理函數階數最小化的兩點措施：第一，根據γ值，給Bode圖中的誤差帶寬增加一個修正量，第二，根據要求的逼近頻率區間，精細選擇函數構建頻率區間，以便在可能情況下，突破有理函數分子分母階數相等的限制，實現降階。計算實例表明上述做法是有效的。

[1] 潘金文，彭程，王珍，等,分數階微分算子的最優有理逼近算法[J], 信息與控制,2014，43(5):518-523. PAN Jinwen, PENG Cheng, WANG Zhen, et al. An optima rational approximation algorithm for a fractional order differential operator[J]. Information and Control,2014,43(5):518-523.

[2] 李遠祿. 分數階微積分濾波原理、應用及分數階系統辨識[D].南京：南京航空航天大學，2007:17-23.

[3] Kouyou Sawai, Takahiro Takamatisu and Hiromitsu Ohmori.Adaptive control law using fractional calculus systems[C]//SICE Annual Conference 2012. August 20-23, 2012, Akita University, Akita, Japan.

[4] J.A. Tenreiro Machado.Application of fractional calculus in engineering sciences[C]//ICCC2008. IEEE 6th International Conference on Computational Cybemetics,November 27-29,2008. Stara Lesna, Slovakia．

[5] 李文，趙慧敏. 一種分數階微積分算子的有理函數逼近方法.自動化學報[J]，2011,37(8)：999-1005． LI Wen, ZHAO Huimin. Rational function approximation for fractional order differential and integral operators[J]. Acta Automatica Sinica, 2011,37(8)：999-1005．

[6] 趙慧敏, 李文, 鄧武. 一類分數階濾波器逼近階次的選擇[J]. 電機與控制學報, 2010, 14(1):90-94. ZHAO Huimin, LI Wen, DENG Wu,Approximation degree selection for one kind of fractional-order filter[J]. Electric Machines and Control, 2010, 14(1): 90-94.

[7] 蒲亦非, 王衛星. 數字圖像的分數階微分掩膜及數值運算規則[J],自動化學報, 2007, 33(11): 1128-1135. PU Yifei, WANG Weixing. Fractional differential masks of digital image and their numerical implementation algorithms[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(11): 1128-1135.

[8] 董俊,張廣軍,姚宏,等。異結構的分數階超混沌系統函數投影同步及參數辨識[J], 電子與信息學報,2013,35(6):1372-1375. DONG Jun, ZHANG Guangjun, YAO Hong, et al. Function projective synchronization and parameter identification of different fractional-order hyper-chaotic systems[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2013,35(6):1372-1375.

[9] 陳炳文，王文偉，秦前清,基于分數階積分算子的紅外弱小目標檢測[J]．控制與決策，2012,27(1):147-151． CHEN Bingwen,WANG Wenwei，QIN Qianqing．Infrared dim target detection based on fractional integral operator[J].Control and Decision，2012，29(1)：147-151.

[10] 李遠祿, 于盛林. 非整數階系統的頻域辨識法[J]. 自動化學報, 2007,33(8): 882-884. LI YuanLu, YU ShengLin. Identication of non-integer order systems in frequency domain[J]. Acta Automatica Sinica, 2007,33(8): 882-884.

[11] 何春，葉永強，姜斌，等。一種基于分數階次微積分模板的新型邊緣檢測方法[J],自動化學報,2012,38(5):776-787. HEChun,YE Yongqiang, JIANG Bin, et al. A novel edge detection method based on Fractional-order Calculus mask[J].Acta Automatica Sinica,2012,38(5):776-787.

[12] Li M.Approximating ideal filters by systems of fractional order[J]．Computational and mathematical methods in medicine, 2012:ID 365054.

[13] LIAO Z, PENG C, LI W, et al. Robust stability analysis for a class of fractional order systems with uncertain parameters[J]. Journal of the Franklin Institute, 2011,348(6)：1101-1113.

[14] LI W, PENG C, WANGY. Frequncy domain subspace identification of commensurate fractional order input time delay systems[J].Internatiional Journal of Control , Automation and Systems,2011,9(2):310-316.

[15] LI Changpin, ZHAO Zhengang, CHEN Yangquan. Numerical approximation of nonlinear fractional differential equations with subdiffusion and superdiffusion[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2011,62(3), 855-875.

[16] 譚程,梁志珊,張舉丘. 電感電流偽連續模式下分數階Boost變換器的非線性控制[J],物理學報,2014,63(20):1-6． TAN Cheng, LIANG Zhishan, ZHANG Juqiu. Non-linear control for the fractional boost converter in pseudo continuous conduction mode[J],Acta Phys.Sin,2014,63(20):1-6．

[17] 周星德,吳利平,曾鵬,等。高速列車引起地基振動分數階模型[J],振動與沖擊, 2014,33(10):34-37. ZHOU Xingde, WU Liping, ZENG Peng, et al. A fractional derivative model for highspeed train-induced ground vibration[J], Journal of Vibration and Shock, 2014,33(10):34-37.

[18] 孫會來,金純,張文明,等。基于分數階微積分的油氣懸架建模與試驗分析[J].振動與沖擊,2014,33(17):167-172,190. SUN Huilai, JIN Chun, ZHANG Wenming,et al. Modeling and tests for a hydro-pneumatic suspension based on fractional calculus[J],Journal of Vibration and Shock, 2014,33(17):167-172,190.

(編輯：劉素菊)

Minimum method of rational function orders for approximation fractional differential and integral operators

ZHANG Xu-xiu， LI Wei-dong， SHENG Hu， DING Ming-yan

(School of Electronics and Information Engineering, Dalian Jiaotong University,Dalian 116028, China)

Aiming at the problem of implementation of fractional differential and integral operators, an rational function approximation formula for 1/sγ(0<γ<1)is derived based on logarithmic frequency characteristic. The formula is similar to the Manabe formula,but is more convinient for analysis and application.Its extension of application scope was discussed. In order to improve the accuracy of phase approximation, a rational function constructing the frequency interval is proposed. It contained the approximation frequency interval. To meet the conditions of approximation accuracy and frequency interval approximation, two measures to minimize rational function orders was presented:firtly,make full use of the error between the asymptote and the actual value of the logarithm amplitude- frequency characteristic,and appropriately broaden the error strip of the logarithm amplitude- frequency characteristic of the fractional integral operator vs the rational function；secondly,select the rational function formation frequency area reasonably based on the approximation of the frequency interval. Computation examples show that above work is valid.

fractional differential and integral operator; rational function approximation; Manabe- approximation formula; minimum of rational function orders；extension of application scope

2015-12-30

國家科技支撐計劃(2015BAF20B02)；國家自然科學基金(61471080,No.61201419)；國家留學基金資助(201608210308)

張旭秀(1968—)，女，博士，教授，研究方向為分數階微積分理論及應用、智能控制等； 李衛東(1963—)，男，博士，教授，研究方向為鐵路信息與通信智能化技術、復雜系統分析與控制、智能控制等； 盛 虎(1978—)，男，博士，副教授，研究方向分數階微積分理論及應用； 丁鳴艷(1979—)，女，碩士，講師，研究方向為自動控制理論與應用。

張旭秀

10.15938/j.emc.2017.06.013

TN 713

A

1007-449X(2017)06-0096-08