從中考壓軸題淺談實踐教學

黃笠

[摘 要] 中考的命題趨向指導著初中教學的主要內容，近年的中考題越來越貼近實踐探究，注重考查學生的動手探究能力，本文就中考試卷中關于矩形折疊的綜合題進行分析解讀，并開展教學研討，以通過試題解析和價值探究給初中教學提幾點建議，供同行探討、交流.

[關鍵詞] 中考；壓軸題；研究；教學

近年的中考題出現了一類以操作分析為主題的題型，此類題設計新穎，結構巧妙，將書本知識與數學思想相結合，考查綜合實踐能力的同時考查學生研究、分析、猜想、論證的能力，其中以圖形變換為載體的問題較為突出. 教學革新逐步推進，培養學生的綜合實踐能力成為新的要求.

真題呈現

如圖1，四邊形ABCD是矩形，點C在x軸上，點A在y軸上，點D與坐標原點重合，點B的坐標為（3，4），將矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊的點G處，點E，F分別在邊AD，AB上，且點F的坐標為（2，4）.

（1）求點G的坐標；

（2）求直線EF的解析式；

（3）已知點N在x軸上，則直線EF上是否存在一點M，使得以M，N，F，G為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由.

試題背景

此題是一道典型的將四邊形性質運用與折疊相結合的熱點問題，本文將詳細解析此題的解法思路，立足本質，探討教學啟示. 中考結束后，考生對此題的感慨多是：題目設問簡單，但缺乏解題思路；明知需要分類討論，但不易畫出圖形；即使能畫出圖形，也不一定能畫出所有可能情形并正確計算出結果. 因此，試題有一定的區分度，體現了讓不同的學生在數學上有不同的發展.

試題點評及解析

1. 試題點評

本題有三個小問，以矩形的翻折為載體，將矩形與坐標系相結合，主要考查矩形的性質、三角函數、三角形全等的判定、直線解析式、平行四邊形的性質等初中數學重點知識，考查了學生的分析理解能力、遷移能力和一定的空間想象能力. 第（1）（2）問較容易，第（3）問是本題的難點，需要學生動手繪圖，采用分類討論思想探尋平行四邊形的位置，并利用全等三角形知識進行計算.

2. 試題解析

（1）由已知可知FG=AF=2，FB=1，因為四邊形ABCD是矩形，所以∠B=90°. 所以BG===. 所以點G的坐標為（3，4-）.

（2）設直線EF的解析式為y=kx+b，在Rt△BFG中，有cos∠BFG==，所以∠BFG=60°. 所以∠AFE=∠EFG=60°. 所以AE=AF·tan∠AFE=2tan60°=2. 所以點E的坐標為0，4-2. 又因為點F的坐標為（2，4），所以可用兩點法求得直線EF的解析式為y=x+4-2.

（3）需要對FG為平行四邊形的邊和對角線進行分類討論，探討可能的平行四邊形的具體形狀. 如果以M，N，F，G為頂點的平行四邊形存在，則可能存在以下幾種情況.

①當FG為平行四邊形其中一邊且點N在x軸正半軸上時，假如滿足條件的平行四邊形存在，則圖形如圖2. 過點M作MH⊥x軸于點H，則可以證得△MHN≌△GBF，于是有MH=GB=，即y=. 因為點M在直線EF上，且直線EF的解析式為y=x+4-2，所以可以求得x=，所以此時點M的坐標為，.

②當FG為平行四邊形其中一邊且點N在x軸負半軸時，圖形如圖3. 類似①的解法，可以求得此時滿足條件的點M的坐標為，-.

③當FG為平行四邊形的對角線時，圖形如圖4. 過點M作MH⊥FB，交FB的延長線于點H. 容易證得△MFH≌△GNC，則有MH=CG=4-，所以此時點M的縱坐標為8-，代入直線EF的解析式，可以得到點M的橫坐標為，所以此時滿足條件的點M的坐標為，8-.

綜上所述，存在滿足條件的點M，且點M的坐標為，或，-或，8-.

試題研究價值

1. 把握命題方向——源于教材，立足實踐

新課標注重考查學生的動手操作能力和實踐探究能力，倡導對學生自我實踐能力的培養. 這幾年，中考數學命題通常是圍繞大綱，結合教材知識點命題，基本的折疊問題在蘇科版教材八（上）中心對稱圖形的復習題中出現過. 中考考題多以翻折、旋轉、平移等圖形變換為載體，融入勾股定理、三角形全等、三角形相似、數形結合、分類討論等思想方法. 各地中考對學生活動過程的考查也越來越多，趨勢是源于課本但立足于實踐，題目新穎但不背離教材，貼近生活，學生在解題時不會感到陌生，但實際題目綜合性強，難度也不小，對學生基礎知識、綜合實踐能力的考查要求較高. 以本題為例，以矩形的折疊為載體，考查學生的推理判斷能力，所以想要取得好的教與學的效果，關注中考、把握命題方向是關鍵. 因此，教師在平時要將教材概念與例題相結合，重視教材與試題的整合與拓展，進行引申教學，針對中考新命題趨勢備課講授，在認真研讀中考“源”題的基礎上，開展豐富有效的數學活動，讓數學課堂注重培養學生的能力發展.

2. 探究試題遷移——變化萬千，滲透思想

對于折疊四邊形為背景的試題，在平時的教學和復習中，我們也經常遇到，各地中考題也多次出現.

例如2013年江蘇蘇州中考試題：如圖5，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10 cm，BC=12 cm，點E，F，G分別從A，B，C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1 cm/s，點F的運動速度為3 cm/s，點G的運動速度為1.5 cm/s. 當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動. 在運動過程中，△EBF關于直線EF對稱的圖形是△EB′F，設點E，F，G運動的時間為t（單位：s）.

（1）當t=______s時，四邊形EBFB′為正方形；

（2）若以點E，B，F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；

（3）是否存在實數t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

上述中考題中出現了△EBF關于直線EF對稱的圖形△EB′F，實際上就是以矩形折疊問題為背景，研究的方法具有相似性和通用性. 在教學中，要達到使學生會做這類題，不僅在于學生要多練，還在于教師要重視題目本質的講解. 對于折疊問題，需要有效地將圖形與坐標進行結合，在折疊過程中需要將軸對稱性質、全等三角形、相似三角形等基本幾何知識置于坐標系中進行研究，考查了學生的數形結合能力和想象力. 通過不同題目的對比，能讓學生逐步體會數學方法在解題中遷移的重要性，達到舉一反三. 在本題的翻折問題中，緊緊抓牢翻折前后對應邊相等和對應角相等是解題的前提，要在圖形變化中尋找不變要素，最后運用分類討論思想、三角形相似的知識進行解答. 分類討論思想作為數學的基本思想之一，要不斷地在練習中滲透并運用. 數學思想方法是數學知識的精髓，也是知識轉化為能力的橋梁. 因此，在平時的教學中，教師要講透題目中蘊藏的數學思想方法，通過題組教學和變式訓練，不斷提升學生對數學思想方法的遷移能力.

3. 尊重命題趨向——注重過程，凸顯方法

《數學課程標準》指出：數學教育活動必須建立在學生的知識水平和已有的知識經驗基礎之上，教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分的從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法. 歷年的中考題都是中考的指向標，中考的趨勢逐漸貼近學生實際生活，注重對學生綜合實踐能力的考查，這也提醒教師，在教學過程中不能過分依賴題海戰術，一定要重視數學方法的掌握和積累，這樣才能讓教學更有效，才能充分保證學生的學習熱情和積極性. 對于以翻折為載體的題目，也經常難住一批學生，比如下面這道2016年江蘇蘇州中考題：

如圖6，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點D，E分別在AB，BC上，且BD=BE=4. 將△BDE沿DE所在直線折疊，得到△B′DE（點B′在四邊形ADEC內），連接AB′，則AB′的長為______.

學生在平時的練習中接觸過不少翻折問題，但是遇到此題缺乏解題思路的學生不在少數，部分學生對于翻折的條件不會運用，不能順利發現四邊形BEB′D為菱形，由此陷入解題困境. 另外一個瓶頸是學生沒有熟練掌握求線段長度的三種方法：勾股定理、相似三角形和面積法，所以不會自主構造直角三角形利用勾股定理求解. 究其原因還在于學生對翻折過程中前后不變的量不清晰，對勾股定理的應用范圍不清晰，在平時的學習過程中走馬觀花，缺乏參與度和方法的提煉. 學生對于一些數學方法的理解和掌握確實有一定的困難，而數學活動正好是解決這一困難的有效手段. 學生在數學活動過程中會慢慢地接受新知識、探究新知識、感悟新知識，比起傳統的死記硬背概念公式更為有效. 教師要積極引導學生發現數學變化中“不變”的本質，給予學生充分的觀察和思考時間. 在“四基”的教學中，教師既要注重知識的發生過程，又要重視問題的抽象表征，使得所學的知識容易被激活和提取，而不是對傳統知識方法的簡單羅列和記憶.

結束語

數學教學要緊緊圍繞中考命題趨勢，結合教材和大綱，透徹分析有價值有意義的考題，結合生活，注重實踐，引導學生通過親身實踐發掘問題的本質，培養學生觀察、分析、歸納、抽象和猜想等方面的能力，讓學生從根本上認清問題，消化吸收知識，在實踐探究中積累數學活動經驗，掌握數學思想方法.