一種改進的Kron形式子結構模態綜合法

崔 杰，王光遠，鄭鋼鐵

(1. 清華大學航天航空學院，北京100084；2. 北京空間飛行器總體設計部，北京100094)

?

一種改進的Kron形式子結構模態綜合法

崔 杰1，王光遠2，鄭鋼鐵1

(1. 清華大學航天航空學院，北京100084；2. 北京空間飛行器總體設計部，北京100094)

基于Kron形式子結構方法提出一種近似自由界面子結構模態綜合法(Component modal synthesis, CMS)。為提高求解精度，在不提高縮減系統特征方程階數的情況下，將自由界面剩余附著模態的慣性貢獻引入了Kron形式CMS方法。同時，對廣義坐標按照頻域貢獻進行了凝聚，以降低最終縮減模型的維數。數值算例的結果表明，當截斷準則相同時，該方法計算量與傳統的基于靜態近似的CMS方法基本一致，但求解精度顯著提高，因此計算效率更高。

結構動力學；模型縮減；子結構模態綜合；動力子結構方法；Kron形式子結構方法

0 引 言

模態參數可以表征系統低頻段的動力學特性，是結構設計中的重要參考指標。現代航天器結構的有限元(Finite element, FE)模型常包含大量的自由度[1-2]，同時，在設計、分析過程中往往需要對模型進行大量的修改與調整。考慮到設計周期的限制，這便對計算效率提出了很高的要求。模型縮減是結構動力學中廣泛應用的方法，其目的在于以盡可能少的精度損失提高計算效率[3-5]。

子結構模態綜合法(Component modal synthesis, CMS)是一種常用的模型縮減方法[4-6]，其將整體復雜結構的模型縮減問題分解為部件級別的模型縮減。因此，計算效率可以得到極大提高。近年來，其在汽車[6-7]、衛星[8]、火箭[9]、轉子[10]系統等領域有著廣泛的應用。CMS方法中主要包括固定界面CMS法[11-13](Craig-Bampton, C-B法)及自由界面CMS法[14-16]兩類。兩類方法各有特點，其中固定界面法中廣義坐標必須包括界面自由度的物理坐標，而自由界面法可以僅選用模態坐標作為廣義坐標，因此后者得到的縮減模型維數更低，尤其是當有限元模型的網格密度較大時。此外，自由界面法采用的邊界條件與試驗狀態更為接近，便于結合實驗進行修正和驗證[17-18]。因此，本文著眼于自由界面法。

自由界面CMS方法中，Kron形式的CMS法通過連接矩陣及獨立界面力來表達子結構間的連接關系，具有數學表述簡單、便于處理大量子結構通過復雜拓撲關系連接的情況等優點。最近，Weng等[19]對此方法進行了改進，將自由界面剩余附著模態引入Kron形式CMS方法，極大地提高了其計算效率與工程適用性。但是，方法中對剩余附著模態進行了靜態近似，因此精度損失較大。一般工程問題中，綜合考慮求解精度與計算效率，計算時應考慮剩余項的慣性貢獻[20-21]。

本文對Weng等[19]的方法進行改進，進行截斷補償時考慮剩余附著模態的慣性貢獻。其中的主要問題有兩點：1)剩余附著模態為待求整體結構特征值的函數，一般通過級數展開進行近似，當保留項數大于一時，子結構縮減系統的特征方程為非線性特征方程，需要迭代求解，這反而可能降低計算效率；2)Weng等[19]方法的縮減系統廣義坐標中包含獨立界面力，這提高了縮減系統的維數。針對第一個問題，本文采用O’Callahan[20]將慣性貢獻引入Guyan凝聚[22]的方法，即采用靜態近似得到的縮減系統特征對來近似精確剩余附著模態中未知的整體結構特征對。這樣，對剩余附著模態進行慣性近似后，模態變換矩陣為常數矩陣，因此最終得到的縮減系統特征方程仍為線性特征方程。對第二個問題，文中對靜態近似后縮減系統的廣義坐標按照其頻域貢獻進行凝聚，以降低最終縮減系統的維數，這一思路源于多尺度子結構方法中的界面廣義坐標縮聚[21]。與改進前的方法相比，本文提出的方法在不提高縮減系統特征方程階數的情況下引入了慣性近似且最終縮減系統維數更低，因此計算效率更高。

1 Kron形式CMS方法回顧

1.1 傳統Kron形式CMS方法

(1)

式中：約束前的整體結構剛度及質量矩陣分別由Kdiag(K(1),…,K(n))及Mdiag(M(1),…,M(n))表示為整體結構模態，C為表示子結構間連接關系的連接矩陣，τk為與對應的獨立界面力矢量[4,19]。

(2)

式中：ΛL

ΦL

ΛH

ΦH

ΓLCΦL,ΓHCΦH

(3)

為進行截斷補償，引入自由界面剩余附著模態，由式(2)第二行可得：

(4)

將式(4)代入式(2)可消去坐標ηk，即：

(5)

其中，

(6)

(7)

式中：F為子結構剩余柔度。為簡化計算，忽略級數高階項對的貢獻，僅保留前兩項，即假設式(5)可化為：

(8)

其中

k

qk

(9)

1.2 CKC法討論：近似階數

從數學的角度，模態綜合法是一種Ritz法，模態變換矩陣為Ritz基。CKC法縮減系統(k,m)滿足如下關系：

(10)

基于動力凝聚法[20]及C-B法[21]研究結論，對剩余項進行近似時考慮其慣性貢獻計算效率更高。因此，本文通過在模態變換t中引入剩余附著模態的二階近似來改善CKC法效率，其關鍵在于引入慣性影響的同時不提高縮減系統特征方程的階數。

2 改進的Kron形式CMS方法

本節給出改進的Kron形式CMS(Enhanced Kron’s CMS, EKC)方法的推導過程。在CKC法的基礎上，其主要包含廣義坐標縮減及剩余附著模態慣性近似兩步。

2.1 廣義坐標縮減

CKC法縮減系統的維數為nCKC=nKC+NICF，其中NICF為獨立界面力的個數(或C的行數)。注意到NICF個獨立界面力坐標對應非特征向量，而nKC個子結構模態坐標中亦有部分坐標對應分析頻帶外的模態。因此，為提高計算效率，首先對縮減模型廣義坐標進行縮減，僅求解分析頻帶內的模態。

在求解特征方程式(8)后，廣義坐標qk可以表示為：

(11)

(12)

考慮凝聚變換式(13)后，式(8)化為：

(13)

其中,k=1,2,…,nEKC且

(14)

這樣，縮減系統特征方程由nCKC維縮減至nEKC維，同時分析頻帶內模態的精度仍能得到保證。

2.2 剩余附著模態慣性近似

首先，注意到廣義坐標縮減變換式(13)及一階近似模態變換式(11)，式(16)可近似表示為：

(16)

然后，由式(14)可知：

(17)

最后，將式(18)代入式(17)可得：

(18)

式中：TEKC為EKC法對應的模態變換矩陣，對應的縮減系統特征方程為：

(19)

2.3 算法實現及討論

步驟3：(a) 組裝：

(20)

上述EKC法中，步驟1～3為CKC法。從編程角度，步驟1～5需考慮如下注釋：

注1．關于系數因子θev，步驟1(b)中θev一般應大于1.5[23]；步驟3(b)中θev值可與步驟1(b)中的不同，應保證nEKC≤nKC，推薦nEKC=(1.5～2)nd，nd分析頻帶內整體結構模態數，可通過步驟3(b)估計。

注2．矩陣C(或C(j))為符號布爾矩陣，只有每個子結構界面處元素為1或-1，其余均為0。因此與C相關的矩陣乘法運算可通過直接組裝實現。

注3．注意到關系

(21)

且K為稀疏矩陣，因此需采用“分解-回代”的方式實現與F相關的乘法。當劃分后存在自由子結構時，K不可逆，此時可使用慣性釋放方法去除K中的剛體模態分量[14]。

EKC法與CKC法的計算量主要由行(或列)維數為N(j)的矩陣的運算決定。對第j個子結構：

3 數值算例

本節通過兩個算例，即Euler-Bernoulli梁及某衛星主動段模型，來比較EKC法及CKC法的精度及效率，兩種方法按第2.3節所述算法實現，計算機配置為：Windows7-64bit系統、4核Intel Core處理器及24GB內存。對于Euler-Bernoulli梁，為便于實現及對照，算法基于MATLAB 2012b實現。對于衛星模型，算法使用Nastran的二次開發語言Direct Matrix Abstraction Program(DMAP)實現。

3.1 Euler-Bernoulli梁

圖1 Euler-Bernoulli梁模型及其子結構劃分
Fig.1 Euler-Bernoulli beam model and its components

(22)

由表1可知，在分析頻帶內，EKC法精度比CKC法高出兩個數量級，這是由于EKC法在對剩余附著模態進行截斷時考慮了其慣性影響。對于EKC法，進行廣義坐標減縮后，精度略微下降，但仍遠高于CKC法。高階模態的精度較低階模態下降的更明顯，由于縮減時忽略的廣義坐標對應的模態所屬頻帶與高階模態所屬的頻帶更為接近。

圖2 EKC法及CKC法模態收斂性比較Fig.2 Modal convergence of the EKC and CKC methods

進一步比較上述近似子結構方法的模態收斂性，即：隨子結構保留模態的增加，綜合后達到給定精度要求的整體系統模態數的變化。這里精度要求取特征值相對誤差為1×10-6，廣義坐標縮減時仍取θev=1。結果如圖2所示,其中曲線“CKC”、“EKC-nKC”及“EKC-nEKC”分別對應CKC法、選取nKC及nEKC階主導廣義模態的EKC法結果。由圖2可知，EKC法模態收斂性優于CKC法，尤其是在低頻段，即子結構保留模態較少時；同時廣義坐標縮減對EKC法模態收斂性影響較小。

3.2 某衛星模型

本節通過某型衛星主動段FE模型來進一步驗證EKC法在實際工程應用中的精度與效率。如圖3所示，此模型按照實際衛星方案階段配置建立，單元類型統計見表2，共1602122自由度，星箭轉接框處固支。按照不同模塊在連接處將其劃分為10個子結構，相關矩陣維數見表3。

表1 Euler-Bernoulli梁算例結果Table 1 Results of the Euler-Bernoulli beam model

表2 衛星有限元模型構成Table 2 Summary of the satellite FE model

表3 衛星模型子結構劃分參數Table 3 Matrix size of the CMS methods for the satellite

假定需求解衛星前10階模態，對應主動段載具外激勵主導分量所處頻帶。求解時EKC及CKC法采用同樣的截斷準則，即步驟1(b)中θev≈2，對應子結構保留模態數見表3。注意到此時nKC=86遠大于所需整體模態數。為比較界面力減縮影響，按照注釋1所述準則，分別考慮nEKC=nKC=86及nEKC=16兩種情況。計算精度見表4，其中特征值及特征向量相對誤差定義與第3.1節中定義一致。

由表4可知，在分析頻帶內，EKC法精度遠高于CKC法。對于EKC法，考慮廣義坐標凝聚后，精度略微下降，其中高階模態的精度下降的更明顯。

表4 衛星模型計算誤差Table 4 Error of different CMS methods for the satellite

表5 衛星模型CPU運行時間(s)統計Table 5 CPU time(s) for the satellite

圖3 衛星主動段模型Fig.3 Launch phase model of a satellite

為分析計算效率，將兩種子結構方法主要步驟所需的計算時間列于表5，表中子結構模態分析對應步驟1，靜態近似對應步驟2、3，慣性近似對應步驟4、5。分析表5可知：

2)廣義坐標縮減后，慣性近似額外所需的時間減少為原來的21.5%，僅為CKC法所需時間的8.7%，而此時計算精度相比CKC法提高近兩個數量級，這說明了廣義坐標縮減的有效性；

綜上所述，本文提出的EKC法適用于實際復雜工程問題，且效率比傳統的CKC法更高。

4 結 論

本文提出了一種改進的Kron形式CMS方法。首先，在模態變換中考慮了剩余附著模態的慣性貢獻，因此在相同的模態截斷準則下，可以得到更高精度的模態。特別的，引入慣性近似后，本方法的縮減系統特征方程仍為線性。同時，為降低最終縮減模型的維數，對廣義坐標按照其頻域貢獻進行凝聚。這樣，相比傳統Kron形式CMS方法，本方法可以更高效地求解系統的模態參數。文中通過實際工程算例驗證了本方法的有效性。

[1] Wei F, Zheng G T. Nonlinear vibration analysis of spacecraft with local nonlinearities [J]. Mechanical System and Signal Processing, 2010, 24: 481-490.

[2] Liu M H, Zheng G T. Component synthesis method for transient response of nonproportionally damped structures [J]. AIAA Journal, 2010, 48 (11): 2556-2563.

[3] Besselink B, Tabak U, Lutowska A. A comparison of model reduction techniques from structural dynamics, numerical mathematics and systems and control [J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332: 4403-4422.

[4] de Klerk D, Rixen D J, Voormeeren S N. General framework for dynamic substructuring: history, review, and classification of techniques [J]. AIAA Journal, 2008, 46(5): 1169-1181.

[5] 向樹紅, 邱吉寶, 王大均. 模態分析與動態子結構方法新進展 [J]. 力學進展, 2004, 34(3): 289-303. [Xiang Shu-hong, Qiu Ji-bao, Wang Da-jun. The resent progresses on modal analysis and dynamic substructure methods [J]. Advances in Mechanics, 2004, 34(3): 289-303.]

[6] 應廣馳, 孟光, 龍新華, 等. 用自由界面模態綜合法研究發動機—排氣管—渦輪增壓器系統的振動 [J]. 機械與強度, 2010, 32(1): 10-16. [Ying Guang-chi, Meng Guang, Long Xin-hua, et al. Study on engine-manifold-turbocharger system’s vibration by free interface modal synthesis method [J]. Journal of Mechanical Strength, 2010, 32(1): 10-16.]

[7] 李英強. 基于模態綜合的汽車結構優化研究 [D]. 重慶: 重慶大學, 2012. [Li Ying-qiang. Study on automotive structural optimization based on component mode synthesis [D]. Chongqing: Chongqing University, 2012.]

[8] 史紀鑫, 曲廣吉. 可變構型復合柔性結構航天器動力學建模研究 [J]. 宇航學報, 2007, 28(1): 130-135．[Shi Ji-xin, Qu Guang-ji． Mathematical modeling of a class of variable structure spacecraft with flexible multibody appendages [J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(1): 130-135.]

[9] 章敏, 蔡國平. 捆綁式運載火箭的模型降階 [J]. 宇航學報, 2010, 31(5): 1317-1321. [Zhang Min, Cai Guo-ping. Model reduction of a strap-on launch vehicle [J]. Journal of Astronautics, 2010, 31(5): 1317-1321.]

[10] 陳海衛, 張秋菊, 曹毅. 波輪式全自動洗衣機剛柔耦合模型的建立 [J]. 振動與沖擊, 2012, 31(15): 185-189. [Chen Hai-wei, Zhang Qiu-ju, Cao Yi. Flexible model for a vertical axis automatic washing machine [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(15): 185-189.]

[11] Craig R R, Bampton M C C. Coupling of substructures for dynamic analysis [J]. AIAA Journal, 1968, 6(7): 1313-1319.

[12] 王緬, 鄭鋼鐵. 一種改進的固定界面模態綜合法[J]．宇航學報, 2012, 33(1): 291-297. [Wang Mian, Zheng Gang-tie. An improved fixed-interface modal synthesis method [J]. Journal of Astronautics, 2012, 33(1): 291-297.]

[13] 諸赟, 張美艷, 唐國安. 一種基于子結構界面動剛度的模態綜合法 [J]. 振動工程學報, 2015, 28(3): 345-351. [Zhu Yun, Zhang Mei-yan, Tang Guo-an. A modal synthesis method based upon dynamic stiffness on interface [J]. Journal of Vibration Engineering, 2015, 28(3): 345-351.]

[14] Craig R R, Chang C J. On the use of attachment modes in substructure coupling for dynamic analysis [C].The 18th Structures, Structural Dynamics and Material Conference, AIAA Paper, 1977, 77-405.

[15] 王緬. 有限元動力學寬頻帶計算與連接結構實驗建模方法研究 [D]. 北京：清華大學, 2011. [Wang Mian. Broadband dynamic computation and experimental connection modelling with finite element method [D]. Beijing: Tsinghua University, 2011.]

[16] 樓夢麟, 唐玉. 基于節點力插值的自由子結構界面自由度縮減方法 [J]. 同濟大學學報自然科學版, 2015, 43(5): 662-667. [Lou Meng-lin, Tang Yu. Degrees of freedom reduction technique for free-interface substructure based on nodal force interpolation [J]. Journal of Tongji University (Natural Science), 2015, 43(5): 662-667.]

[17] 邱吉寶, 王建民. 運載火箭模態試驗仿真技術研究新進展 [J]. 宇航學報, 2007, 28(3): 7-13. [Qiu Ji-bao, Wang Jian-min. The recent progresses on research into modal test simulation techniques for launch vehicles [J]. Journal of Astronautics, 2007, 28(3): 7-13.]

[18] 杜飛平, 譚永華, 陳建華, 等. 航天器子結構模態綜合法研究現狀及進展 [J]. 火箭推進, 2010, 36(3): 39-44. [Du Fei-ping, Tan Yong-hua, Chen Jian-hua, et al. Status and progress on substructural modal synthesis techniques for space vehicles [J]. Journal of Rocket Propulsion, 2010, 36(3): 39-44.]

[19] Weng S, Xia Y, Xu Y L. Improved substructuring method for eigensolutions of large-scale structures [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 323(3-5): 718-736.

[20] O’Callanhan J. A procedure for an improved reduced system (IRS) model [C]. Proceedings of the 7th International Modal Analysis Conference, Bethel CT, 1989: 7-12.

[21] Kim J G, Boo S H, Lee P S. An enhanced AMLS method and its performance [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015, 287: 90-111.

[22] Guyan R J. Reduction of stiffness and mass matrices [J]. AIAA Journal, 1965, 3: 380.

[23] Rubin S. Improved component-mode representation for structural dynamic analysis [J]. AIAA Journal, 1975, 13(8): 995-1006.

通信地址：北京市清華大學蒙民偉科技大樓N604室(100084)

電話：(010)62783235

E-mail: j-cui12@mails.tsinghua.edu.cn

An Enhanced Kron’s Component Modal Synthesis Method

CUI Jie1, WANG Guang-yuan2, ZHENG Gang-tie1

(School of Aerospace Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;Beijing Institute of Spacecraft System Engineering, Beijing 100094, China)

A new free-interface component modal synthesis (CMS) method is developed in this paper based on the Kron’s substructuring. For better precision, the inertia approximation of the residual attachment modes, which depends on the unknown global eigenvalues by definition, is included in the modal transformation matrix while the reduced system eigen-equation is still linear. Moreover, the generalized coordinates are further condensed to reduce the size of the reduced model. Compared with the conventional static-approximated CMS methods, the precision is significantly improved with little additional computational cost. Numerical examples validate the precision and efficiency of the proposed method.

Structural dynamics; Model reduction; Component modal synthesis; Dynamic substructuring; Kron’s substructuring

2017-03-14;

2017-04-25

V414.1

A

1000-1328(2017)06-0566-08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.06.002

崔 杰(1989-)，男，博士生，主要從事航天器結構動力學，振動與控制方面的研究。