基于分布函數法求解連續型隨機變量函數的分布教學設計與探索

卜維春　焦成文　周瑞芳

[摘 要] 概率論與數理統計課程中，連續型隨機變量函數的分布是教學中的重點和難點，其主要的求解方法是分布函數法，探討了基于此方法求解連續型隨機變量函數分布的教學設計與探索。

[關 鍵 詞] 隨機變量函數；分布函數法；教學設計

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）32-0050-01

等線概率論與數理統計課程中連續型隨機變量函數的分布是教學中的重點和難點，而此知識點頻繁出現在實際問題和理論研究中[1]。結合多年的教學實踐，學生普遍反映，概念難以理解，方法難以掌握，教學效果并不理想[2]，為了提高教學質量，對該知識點的教學設計和方法作如下的思考和探索。教學過程設計分為三個模塊：單臂車和電壓視頻問題導入、闡述相關定義及理論、給出分布函數法的具體求解步驟的理論講解。

一、提出問題

（一）單臂車視頻問題描述：單臂車從A地到B地，A地到B地距離為180公里，速度V服從[30，60]的均勻分布。試求：所用時間T=180/V的概率密度函數？

（二）電壓視頻問題描述：已知t=t0時刻噪聲電壓U的分布，求：功率W=U2/R的分布？

實例中若X是隨機變量，Y=g（X）是普通的實函數，則Y=g（X）是X的函數。探討：（1）實函數Y是隨機變量嗎？（2）如果是隨機變量，那么，隨機變量Y的分布與X的分布有什么關系？（3）如何由已知隨機變量X的分布，求其對應函數Y=g（X）的分布？

二、分析問題

（一）隨機變量函數

定義：設g（X）是連續函數，X是一個隨機變量，那么Y=g（X）作為X的函數也是一個隨機變量，稱Y=g（X）為隨機變量X的函數。

注：（1）g（x）是自變量x在其定義域內的函數，隨機變量X的函數g（x）是指這樣的一個隨機變量Y：當X取值x時，它取值Y=g（X），記作Y=g（X）；（2）從函數角度分析隨機變量X，可以判斷其是基本事件的函數，從而可知隨機變量X的函數Y是基本事件的復合函數；（3）隨機變量X是連續型隨機變量，但不能確定隨機變量函數Y一定連續。

（二）分布函數

分布函數在X點處取值的幾何意義是隨機變量X落入區間（-∞，x]的概率，它的本質是研究隨機變量在某區間取值時對應的概率。

（三）連續型隨機變量函數的分布

學生在學習分布函數法時產生的困惑可以從以下幾方面剖析：在概念方面，連續型隨機變量函數概念不易理解；在計算方面，需要用高等數學中的微積分知識；在教學過程中，學生對“分布”不理解，分布其實就是密度函數或者分布函數。

連續型隨機變量函數的分布是教材的經典內容之一[3]。公式法和分布函數法是其分布的兩種方法，公式法對隨機變量函數的單調性要求比較苛刻，而分布函數法不僅求解過程對隨機變量函數是否單調性沒有嚴格要求，而且分布函數法也是公式法理論證明的推導方法，所以，分布函數法是目前理論研究求解連續型隨機變量函數的分布的主要方法。

三、分布函數法

運用分布函數法求解連續型隨機變量函數的分布時，關鍵是要將Y的分布與X的分布建立起某種聯系，當X的分布已知，求Y的分布具體步驟如下：

（1）確定隨機變量Y的取值范圍R（Y），隨機變量X的取值范圍已知，結合關系Y=g（X）式可確定的隨機變量函數Y取值范圍R（Y）。

（2）在隨機變量Y的取值范圍R（Y）內，求出Y的分布函數：FY（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}=f（x）dx，步驟中，Y是隨機變量，其分布函數是FY（y）在R（Y）之外的取值為0或1。

（3）在隨機變量Y的取值范圍R（Y）內，求出Y密度函數：fY（y）=，分布函數FY（y）在R（Y）之外求導值為0。

（4）在定義域（-∞，+∞）上求出Y密度函數：fY（y）=F′Y（y），y∈R（Y）0，其他。

四、小結

隨機變量的函數分布的求解用公式法具有局限性，用分布函數法求密度函數應用很廣泛。本文的教學首先運用視頻、動畫等相結合的教學手段，由單臂車和電壓視頻導入提出問題，激起學生的學習興趣，進而講解分布函數法的具體求解步驟，使學生明白和領悟分布函數法求解連續型隨機變量步驟及相關知識，激發了學生的求知欲望和對概率統計學習的興趣。因此，為提高連續型隨機變量函數的分布的教學效果，對連續型隨機變量函數的分布的教學設計和教學方法仍需不斷地探索和研究。

參考文獻：

[1]郭家勇.隨機變量分布函數的連續性的教學探討[J].科技創新導報，2011（5）.

[2]劉淼，周鑫.連續型隨機變量函數分布的理論研究[J].伊利師范學院學報，2007（4）.

[3]李壽貴，余勝春.概率論與數理統計[M].2版.北京：科學出版社，2011.