數列極限的求解及其意義

摘 要：數列的極限問題是我們高中學習的一個重要部分，同時，極限的理論也是高等數學的基礎之一。數列極限的問題作為微積分的基礎概念，其建立與產生對微積分的理論有著重要意義。本文通過高中數學所涉及的數列極限問題的求解與探討，展現了數列極限的幾種解題方法，為微積分的學習與理解打下良好的基礎。

關鍵詞：數列；數列極限；求解

數列作為高中數學中一個重要的部分，是中學數學中一個必不可少的環節。同時極限的思想對于分析解決一些我們中學會遇到的函數、級數、初等的微積分等都有著重要的幫助。可以說，熟練掌握數列極限的求解與思路，對于我們數學的學習，以及今后對于微積分的理解都有著重要的意義。我通過對高中知識的總結，初步討論了數列極限的集中常用求解方法。

一、數列的極限

一般，我們設{xn}為一個實數數列，a 為定數。若對任意的正數ε，總能夠存在正整數N，使得當 n>N 時有|xn-a|<ε，則稱數列{xn}收斂于a，定數 a 就叫做數列{xn}的極限。即當n 趨于無窮大時，{xn}的極限趨于a。反之，如果數列{xn}極限不存在，則稱數列{xn}不收斂，{xn}為發散數列。

二、數列極限的求解

（一）初等變形法

初等變形是數列求極限最為基礎的方法，通過數學運算，將原本較為繁復的計算式進行一定程度的化簡，轉化成為一個較簡單的數列，進而對之求極限。

例1.求 + +…+ 。

解：由數列Sn=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6

所以上述例題分子12+32+…+（2n-1）2可變形為：

（二）變量替換法

通過適當的加入新的變量，替換式中原有的變量，從而達到簡化計算過程的目的。靈活運用變量替換，可以很大程度上完成數列極限求解過程中的計算過程。

例2.已知-1

解：通過分析原式的已知條件，可以令a0=cos？墜，？墜∈（0，？仔），則有：

a1= = =cos

以此類推可知an=cos ，（n=1，2，…）

所以原題的計算可變為：

（三）夾逼定理法

這個方法應用于數列本身的極限不易直接求出的情況下，這時將所求的數列進行一定的變形，使其適當的放大和縮小，通過求解變形之后的數列。若數列兩端的新數列的極限值相等，那么原數列的極值即他們的公共值。

例3.求n→∞時，數列 + +…+ 的極值。

解：因為存在 + +…+

通過計算可知 = =

（四）級數展開法

級數一般可以看做是一個無窮數列的和的形式，所以數列可以看做級數的一部分。通過這種方法利用級數的定理加以計算，可以非常方便簡潔的求出數列的極限。

作者簡介：胡丁群（1999-），男，漢族，河北肥鄉縣人，武邑中學學生。