用好翻轉課堂打造學習共同體
——以“簡單線性規劃的應用”教學為例

文︳胡波

用好翻轉課堂打造學習共同體
——以“簡單線性規劃的應用”教學為例

文︳胡波

互聯網催生了翻轉課堂式教學模式。翻轉課堂與混合式學習、探究性學習及其他教學方法和工具在含義上有所重疊，都是為了讓學習更加靈活、主動，讓學生的參與度更強。數學教學中如何用好翻轉課堂？筆者以“簡單線性規劃的應用”教學為例談一談。

一、教學設想

鑒于長郡中學學生的自學能力較強，且長郡中學的相關硬件水平較高，我采用翻轉課堂的模式，先讓學生通過平板教學系統自學微課，完成一組預習檢測題并提交教師批改。在課堂上，教師先點評預習情況，有針對性地補充講解例題，在此基礎上進行歸納、引申，將學習效果加以鞏固與提升。

二、教學過程

師：昨天我們通過平板中的微課自學了簡單的線性規劃，知道了什么是線性規劃問題，以及解答簡單的線性規劃問題的基本步驟。下面我們先來看看大家完成預習檢測題的情況：從平臺統計來看，練習1和練習2基本上全對，練習3請一位同學說說他的做法。（隨機點名）

生1：（通過平板展示問題及自己的解答過程）若變量x，y滿足約束條件求目標函數z=2x+3y的最大值和最小值。我是先畫出二元一次不等式組表示的平面區域，然后令z=0，畫出相應的直線，平移后得到z的最大值為10，最小

1.重點知識及方法深回顧

師：看樣子大家對于線性規劃的基本問題掌握得還不錯。讓我們先簡單回顧一下昨天的主要內容：（平板展示）線性規劃問題的含義以及線性規劃問題求解的四個步驟：畫，作，移，求。其中“移”要結合直線的斜率找準最優解的位置，“求”要根據最優解對應的方程求出坐標，并根據目標函數的形式求出最大值或最小值。

2.對微課中問題的反思

師：下面，我們對微課中的問題做一次回爐再造，原題是：設變量x，y滿足約束條件則目標函數z=2x+5y的最小值為（）。

A.-4B.6C.10D.17

現在，我們把目標函數改為z=2x－5y，那么z的最小值為多少呢？（學生搶答）

生2：（有點疑惑）可行域沒有變化，令z=0后得到直線yx，平移到點（3，0）處可得到z的最小值為6。但是好像不對，應該是平移到點（1，3）處取得最小值－13。

師：根據數值可以知道（1，3）才是最優解，最小值為－13。但為什么直線y=x平移到上面的點（1，3）取得的值反而是最小值呢？

生3：因為目標函數可以化為，從中可以看到這條直線的縱截距是-z，所以要求z的最小值，就是要求縱截距最大，因此移到可行域的最上面的點（1，3）時z取得最小值。

師：說得很好。我們發現，求線性目標函數z= ax+by的最大（小）值并不是簡單地看直線的縱截距，而是要注意y的系數b的正負和平移直線在y軸上的截距。

3.課堂學習效果當堂測

檢測1.設變量x，y滿足約束條件求目標函數z=x+6y的最大值。

檢測2.x，y滿足約束條件若z= y-ax取得最大值的最優解不唯一，則實數a的值為（）。

師：（利用平板同時展示兩位學生不同的解答過程）在檢測題1中，我們比較一下這兩位同學的做法，哪一位同學的做法是對的？為什么？

生4：左邊演示的有問題，可行域的畫法不正確，在x軸下方的部分沒有畫，導致可行域不完整，容易出現錯誤。

生5：（一邊在平板上演示做法和圖例，一邊講解）對于檢測題2，我先畫出可行域，然后將目標函數寫成y=ax+z，分a>0和a<0兩種情況討論，通過平移直線與可行域的邊界重合可知a的值為2或－1。

4.方法技巧的思考與引申

師：通過前面微課的預習和本節課的學習，我們基本掌握了簡單的線性規劃的技巧和方法。歸納如下：（1）要掌握數形結合的思想，利用圖形解決簡單的線性規劃問題；（2）必須注意目標函數中各系數對求z最值的影響。此外，我們在實際問題中，還經常可以看到非線性目標函數的規劃問題，那么，我們又可以借助什么手段解決呢？看下面的思考題：求下列式子的取值范圍

已知實數x，y滿足

生6：第一問我覺得可以畫一個以原點為圓心的圓，這個圓要與可行域有公共點，這樣就容易看出x2+y2的最大值是13，最小值還得再算一下。第二問可以看成點（x，y）與點（-1,-1）連線的斜率，其中點（x，y）在可行域內，從而求得范圍是［，2］。

師：很好，其他同學還有什么補充嗎？

生7：第一問可以看成點（x，y）與原點的距離的平方，容易求出原點到這個區域的最小距離是

師：看樣子大家的理解力和創造力都很不錯，能夠舉一反三。通過本節課的學習，我們初步掌握了簡單的線性規劃問題的解法，也學會了利用數形結合解決非線性目標函數的規劃問題，希望今天的學習能讓大家更好地解決后續的線性規劃應用問題。

三、教學反思

1.通過微課、學習小組將學習任務、問題探究前置

學生在課堂上敢提問、會提問，敢質疑、會思考，都是因為有了充分的準備。準備什么，準備到什么程度，都是由課前布置的學習任務決定的。這就需要教師根據學科特征，設計制作微課，將本節內容分成幾個基本層次進行講解。并針對學生情況，布置各學習小組的預習任務，引導學生提問、思考。設計微課和學習任務時可以借鑒導學案、學習單，但又要避免設計的誤區，如設計思路教案化、知識習題化。課前學習任務應當從學生的興趣出發、從學生的發展潛能出發，備學生、備學情、備學法，才能真正讓學習發生在學生身上，讓每個學習小組的成員都有感而發、有疑而問。

2.有效利用翻轉課堂模式強化學習共同體

要想在教學中順利實施翻轉課堂，必須先在班級中建立學習共同體或學習小組。比如，根據學生的學習能力、表達能力、性格差異進行搭配分組，才能更好地激發學生的表現欲和求知欲，并達到集體幫助個體、開朗者帶動內向者的理想狀態。翻轉課堂能更好地強化學習共同體的構建。因為翻轉課堂少不了課前微課的預習、課前檢測，課堂中還有大量的分組討論、分析對比，這些都離不開學習小組的互幫互助。尤其是課前組長對任務的布置，組員對微課的疑問和解答，對討論結果的歸納總結，課堂中對本組成果的展示等，無一不是在強化學習共同體的形成和發展。

3.充分利用信息技術，實時指導共同體的組內交流及組與組之間的交流討論

學習共同體中的學習小組一般通過分享資源、溝通以及交流的方式完成學習任務，但如果僅僅是一個學習小組的成員圍坐在一起，最多也只能是組內交流、討論，組與組之間的對比、探討并不方便。而信息技術可以做到利用平板和相應的課堂教學系統實時地顯示各個小組交流的進展和提出的疑問，教師可以實時解答或由任意學員直接解答。這樣就打通了小組之間交流的障礙，提出問題和解決問題不局限在組內，而是在整個班級進行，從而能更好地實現自主學習、自主探究，為營造學習共同體打下良好的基礎。

（作者單位：長沙市長郡中學）