層層質疑，彰顯數學學科的育人價值

林朝冰

[摘要]教書最終是為了育人，拓展學科的育人價值是培養新一代高素質人材的需要，當數學學科的育人價值與質疑精神遇時，將碰撞出怎樣的火花？本文通過兩個實例來探討如何通過層層質疑的方法探究數學概念的形成過程及數學問題的本質，從而彰顯數學學科的育人價值。

[關鍵詞]層層質疑 學科的育人價值 概念的形成過程 問題的本質

[中圖分類號]G633.6 [文獻標識碼]A [文章編號]2095-3089（2017）12-0078-02

數學學科的育人價值包括很多方面，其中以數學概念的形成過程、某類數學問題的本質的挖掘過程作為育人資源，可以使學生了解數學概念的來龍去脈，感受數學發現的基本思想和方法，并利用學習到的數學的思想和方法逐漸建立起自己的發現方法和理性思維策略，形成基本的數學素養。這是數學教學所特有的教育價值。質疑是探索知識，發現問題的開始，是獲得真知的必要步驟，數學課堂教學是一個師生共同設疑，釋疑的過程。通過層層質疑的方法探究數學概念的形成過程，數學問題的本質，更能彰顯數學教學的育人價值。本文通過兩個實例來探討如何通過層層質疑的方法探究數學概念的形成過程及數學問題的本質，從而彰顯數學教學的育人價值。

一、通過層層質疑，探究概念的形成過程

正確理解概念是數學學習的基礎，缺乏產生過程的概念教學將導致學生對數學概念的認識缺乏整體性。下面以導數的概念教學為例，說明如何通過層層質疑的方法探究概念的形成過程。

1.設問題情境，引發自主探究

高速公路的某處，限速100km/h，一輛汽車以120km/h的速度到達距測速攝像頭50米處，駕駛員發現攝像頭后立即減速，正好以100km/h的速度通過測速點，問該輛汽車是否超速？

設計意圖：讓學生產生質疑測速攝像頭所測到的“速度”是平均速度還是瞬時速度？瞬時速度是如何得到的？平均速度是怎樣計算的？（ ），瞬時速度又是怎樣計算的？（ ），通過層層質疑和探究體會到瞬時速度是平均速度的極限。

2.曲線的切線問題探究

問題一、圓與圓錐曲線的切線是如何定義的？

問題二、觀察圖1（用幾何畫板使切線運動）。

圖象中的動直線始終是曲線的切線，切線與曲線可以有多個公共點，而且曲線圖象的也不總在切線的一側，學生開始質疑以前學的切線的定義，接下來引導學生尋找新的切線的定義方法。

問題三、圖2中割線MN與點M處的切線有何關系？

引導學生通過運動得到切線，體會由“割”變“切”的過程，從而體會逼近和極限的數學思想。并得出曲線的切線的定義，切線是割線MN當N點沿曲線運動到點M時的極限位置。得出切線的定義后，又引導學生質疑：

問題四、切線的斜率應該如何求？

回顧問題二，引導學生探究，切線是由割線運動的極限位置，那么切線的斜率是否可通過割線的斜率求得？

問題五、平均速度及割線的斜率本質是什么？

通過問題五使學生體會到導數的本質是平均變化率的極限，從而實現了思維的飛躍。

本例通過引導學生層層質疑，體會到數學來源于生活，體會了由特殊到一般的抽象過程，體會了逼近和極限的數學思想，使學生的思維得到了升華，從而彰顯數學學科的育人價值。

二、通過層層質疑，探究數學問題的本質

透過問題的現象，探究問題的本質，通過層層質疑，使學生在不斷發現和提出問題、分析和解決問題的過程中，產生主動探究的欲望，培養思維能力和創新能力，從而提高學生的解題能力；同時產生豐富的情感體驗，彰顯數學學科在培養學生信心、習慣、意志、態度和價值觀等情感的育人價值。下面以“幾何體外接球的體積”為例說明如何通過層層質疑的方法探究數學問題的本質。例、一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為a，求球的體積。

此例比較簡單，學生完成后教師提出問題：

問題一、能不能把正方體換成其它幾何體？

學生得出以下兩個問題：

（1）一個正六棱柱的底面邊長為a，高為h，頂點都在球面上，求球的體積。

（2）一個正三棱柱的底面邊長為a，高為h，頂點都在球面上，求球的體積。

問題（1）學生模仿例一能輕松解決，然而對于問題（2）學生將三棱柱補形成四棱柱來解決。

問題二、你能確定補形后的四棱柱的頂點都在球面上？

學生開始反思，“要使四棱柱的頂點都在球面上，底面四邊形必須是圓內接四邊形！”

問題三、球心與底面外接圓的圓心有什么位置關系？

學生自主研究并容易得出以下結論，“球心到底面的正投影就是與底面外接圓的圓心”

小結反思：“本題的關鍵是什么？”（球心的位置）。“本題的本質是什么？”（球的半徑與正方體棱長的關系）。

問題四、如何找出球心的位置？

經過自主探究學生得出尋找球心的方法：先找到底面多邊形的外心，再垂直向上尋找球心。

學生探究問題（2）后，得出結論“球心位于底面正三角形中心垂直向上距底面處”。

問題五、球心到底面的距離是否一定是高h的一半？

問題六、你能再次改變球內接幾何體的形狀嗎？

得出以下問題：

（3）三棱錐V-ABC中，AB=AC=a，VA底面ABC，頂點都在球面上，求球的體積。

（4）三棱錐V-ABC中，AB=AC=BC=a，VA底面ABC，頂點都在球面上，求球的體積。

（5）正三棱錐V-ABC中，AB=AC=BC=a，高為h，頂點都在球面上，求球的體積。

問題（3）、（4）的結論是：球心到底面的距離是否一定是高h的一半。問題（5）的結論卻不同。學生自然會問為什么？引導學生觀察下圖：

問題（3）、（4）中，頂點V在底面的投影正好是底面頂點如圖1示，因為球心O到點v的距離與到點A的距離相等，所以球心到底面的距離是高h的一半。問題（5）中，頂點V在底面的投影正好是底面多邊形外接圓的圓心如圖2示，因為球心O到點V的距離與到點A的距離相等，所以球心到底面的距離不等于高h的一半。緊接著引導學生產生新問題：

問題七、幾何體外接球的半徑R與幾何體的高h及底面外接圓的半徑有什么關系？

結合圖1、圖2學出容易得出以下結論：（i）當錐體側棱與底面垂直時，R²=r²+2h²，（ii）當錐體側棱與底面不垂直，頂點v在底面的投影正好是底面多邊形外接圓的圓心時，R²=r²+（h-R）²

問題八、已知A，B，C三點在球面上，AB=AC=2，球心到面ABC的距離為1，求球的體積。

本例通過引導學生改變幾何體的形狀，層層質疑，探究出此類問題的本質及解決辦法，學生處在一種愉快的探索知識的過程中，學習和體驗到發現和探究問題的基本方法，不僅使學生所學知識縱向加深，橫向溝通，使學生的發散思維和創新思維得到了培養，提高學生分析問題和解決問題的能力，還使學生得到了豐富的情感體驗，彰顯了數學學科的育人價值。

三、結語

數學學科的育人價值不能停留在教學數學知識上，數學概念的產生和發現的過程，數學的質疑精神，思維方式，思想方法以及在數學探究過程的情感體驗等等都具有豐富的育人價值，廣大的數學教師應將育人的意識，貫穿于自己的教育教學的始終，落實在教學活動實際中。