森林工程教學課堂融入高等數學知識的研究

胡志棟++董喜斌

摘要 針對學生缺少足夠的高等數學知識解決工程實踐中實際問題的現狀，為了在森林工程課堂教學中將高等數學知識與工程實踐更好地結合，基于實際的研究工作，對用于解決常微分方程的顯式歐拉法、隱式歐拉法、改進歐拉法、龍格庫塔法和ODE45方法進行了介紹和對比研究。結果表明，這些方法在解決常微分方程的數值解上是一致的，而且相互之間的誤差很小。介紹了解決偏微分方程的PDE 方法。在建模的過程中用到了有限元方法，在方程的列寫過程中用到了矩陣方法，通過理論分析可以看出，矩陣表示的是實際問題與空間、時間的關系，因而可以從直觀的角度去理解抽象的矩陣知識。這些方法可以很好地幫助森林工程領域的學生在今后的工作中建立數學模型并加以分析，從而加強解決實際工程問題的能力，也為森林工程課題今后的教學提供一定的參考。

關鍵詞 高等數學；森林工程；教學課堂；常微分方程（ODE）；偏微分方程（PDE）；矩陣

中圖分類號 G542 文獻標識碼 A 文章編號 1007-5739（2017）11-0272-04

1 研究背景概述

縱觀世界數學發展史，17—19世紀的英國、德國、法國等歐洲大國都是數學強國。英國的牛頓提出了微積分理論，不僅在數學領域引發一場革命[1]，同時也大量應用于許多物理問題的研究。法國一直擁有深厚的數學文化發展歷史，而德國的哥廷根于20世紀初成為世界數學的中心[2]。俄羅斯在數學領域的發展從19世紀開始，至蘇聯時期成為世界數學強國之一。特別是蘇聯于1958年成功發射了第一顆人造地球衛星，也象征著蘇聯在與此相關的數學領域處于世界領先地位。此外，蘇聯重視基礎科學教育，也是其在基礎科學研究中具有雄厚實力的一個重要原因。第二次世界大戰前美國在數學上遠落后于歐洲，但如今也已成為數學超級大國。一方面由于大批猶太裔數學家被迫移居美國，增強了美國的數學實力[3]；另一方面在蘇聯發射第一顆人造地球衛星后，美國加強了對數學研究和數學教育的投入，使其迅速成為一個數學強國。

學界普遍認為下一次科技革命將以人類3種新的“生存形式”為重要標志，即網絡人（生活在網絡空間的虛擬人）、仿生人（高仿真智能人）和再生人（具有自然人特征的“復制人”）。并預計這次科技革命將在2020—2050年到來。數學對整個社會經濟的發展起著至關重要的作用[4-6]，在前幾次科技革命中都起到了先導與支柱的作用，因而有理由相信數學必將成為下一次科技革命重要的推動力之一[7]。由此可見數學在科技發展中的重要地位[8]，本文對于將高等數學知識應用到森林工程教學課堂進行研究，以期推動數學在教育領域的綜合應用。

為了更好地說明如何將高等數學知識應用到森林工程教學課堂，文中采用了基于氣穴氣泡研究的一個實例。在過去的幾個世紀中，氣穴問題在森林工程領域一直被認為是流體機械氣蝕問題的主要起因之一。大量的試驗和數值分析工作都是圍繞企圖找出氣蝕問題的產生機理展開的。Rayleigh[9] 最先開始這方面的工作，其研究認為圓形氣泡潰破時產生的局部高壓，即氣穴是產生氣蝕現象的原因。式（1）為R-ayleigh推導得到的經典氣穴氣泡動力學方程。

r■+■■2=■（1）

式（1）中：r為氣泡半徑（m）；PB為氣泡內的壓力（Pa）；P∞為外界無窮遠處的壓力（Pa）； ρ為流體的密度（kg/m3）；t為時間（s）。

2 研究方法

2.1 量綱分析方法

國際單位組織定義了7個最基本的單位，其他的單位都可以由這7個基本單位導出。這7個基本單位分別為長度，米（m）；質量，千克（kg）；時間，秒（s）；電流，安培（A）；熱力學溫度，開爾文（K）；發光強度，坎德拉（cd）；物質的量，摩爾 （mol）。長度、質量和時間這3個基本單位是森林工程課堂中常用的單位。

量綱分析法又稱為因次分析法，是一種數學分析方法，其可以正確地分析各變量之間的關系，簡化試驗和成果整理，所以量綱分析是分析流體運動的有力工具。通過量綱分析可以檢查反映物理現象規律的方程在計量方面是否正確，甚至可提供尋找物理現象某些規律的線索。

應用量綱分析法，式（1）可以寫成：

m■+■■■=■∝■■（2）

通過這種分析方法，推導過程的準確性可以很容易得到保證，而且方程的特性和實質也很容易發現。

2.2 ODE求解方法

在數學領域中，只包含一個獨立變量及其導數的單個或多個微分方程被稱為常微分方程（ODEs）。常微分方程廣泛應用于數學、工程和科學等領域。在數學中“變化”是用導數和微分來描述的。種類繁多的導數、微分及函數通過方程聯系在一起，用來刻畫各種動態變化的現象、進化或演變過程。

如果式（1）中的壓差為定值，那么它屬于一個ODE問題，然后對比研究顯式歐拉法（Forward Euler′s method）、隱式歐拉法（Backward Euler′s method）、改進歐拉法（Modified Euler′s method）、ODE45方法和龍格庫塔法（Runge-Kutta method）在分析ODE問題上的應用[10]。

顯式歐拉法表達式：

ri+1=ri+h×f（ti，ri）（3）

隱式歐拉法表達式：

ri+1=ri+h×f（ti+1，ri+1）（4）

改進歐拉法表達式：

ri+1=ri+■×[f（ti+1，ri+1）+f（ti，ri）]（5）

4階龍格庫塔法表達式：

ri+1=ri+■×[K1+2K2+2K3+K4]（6）

式（6）中參數的計算如下：

K1=fti，riK2=fti+■，ri+■K1K3=fti+■，ri+■K2K4=fti+h，ri+hK3（7）

式（3）～（7）中：h為步長。

ODE45方法是MATLAB程序軟件包內植的一條命令程序。

首先應用上述方法分析單個氣泡的動態生長過程，包括氣泡半徑變化情況和生長速率情況（圖1）。

再應用上述方法分析單個氣泡的動態潰滅過程，包括氣泡半徑變化情況和潰滅速率情況（圖2）。

通過對比可以看出，這5種方法在解決單個氣泡的動態問題上是統一的，它們之間的誤差也很小。

2.3 矩陣方法

矩陣是數學中最重要的基本概念之一，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究及應用的一個重要工具。在數學中，矩陣是一個按照長方陣列排列的數、符號或表達式組成的集合。在不知道矩陣如何得來的情況下分析矩陣是很抽象的。為了更好地使學生理解矩陣的應用，通過兩充液平行平面的動態開啟過程實例來加以解釋。

在一定的初始間隙值下，建立兩充液平行平面的動態開啟模型，然后通過理論分析可以得到開啟過程中壓力分布的變化情況（圖3）。

首先針對沒有氣穴氣泡的情況，為了分析壓力分布的變化情況，針對第i個單元，運用間隙流動的理論公式和有限元方法得到理論公式，最后用矩陣的方法得到整個問題域的數學模型：

■×■=■（8）

式（8）中：h（t）為開啟高度函數；η為液體的動力黏度（Pa·s）。

1 0 0 L 02 -3 1 O 0 1 -2 1 O M 0 1 -2 1 M O O O O 0 L 0 1 -2 10 L 0 1 -1 p■p■p■p■Mp■p■=a1p0/a1h′（t）h′（t）h′（t）Mh′（t）h（t）（9）

式（9）用向量表示可以簡寫為：

■■=a■■（10）

式（10）中：a■=■，■=1 0 0 L 02 -3 1 O0 1 -2 1 O M 0 1 -2 1M O O O O 0 L 0 1 -2 10 L 0 1 -1，

■=P■P■P■P■MP■P■，■=p■/a■h′（t）h′（t）h′（t）Mh′（t）h（t）。

通過MATLAB編程求解，就可以得到壓力分布與空間、時間的關系（圖4）。

2.4 PDE求解方法

在數學領域，如果一個微分方程中出現多元函數的偏導數，或者說如果未知函數和幾個變量有關，而且方程中出現未知函數對應幾個變量的導數，那么這種微分方程就是偏微分方程。

許多問題用一個自變量的函數來描述已不夠，不少問題由多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的，叫做純量；速度、電場的引力等不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態描述出的量叫做張量。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐標也有聯系，這就要用多個變量的函數來表示。

同樣地，針對兩充液平行平面的動態開啟過程，Matlab軟件提供了一個求解PDE問題的工具箱“pdepe”。基于pdepd方法的壓力分布見圖5。在求解的時候，初始條件IC（Initial Condition）和邊界條件BC（Boundary Condition）是需要提前確定的[11-13]。

Cx，t，u，■■=x■-m■xmfx，t，u，■

+Sx，t，u，■（11）

令 m=0， x？綴[0，0.012 5]，t？綴[0，0.002] ，fx，t，u，■=■，

Cx，t，u，■=0，Sx，t，u，■=-■■，

IC：p（x，0）=1bar，BC：p（0，t）=1barp（0.012 5，t）=1bar。

通過圖4和圖5的對比研究可以看出，PDE求解和理論分析的結果是一致的，這為以后的理論分析提供了另外一條途徑。

如果將兩充液平行平面的開啟過程和氣穴氣泡的動態生長過程結合起來，則可得出理論分析模型，具體如圖6所示。

同時考慮流體的黏度，則含有氣穴氣泡的兩充液平行平面動態開啟過程可以用式（12）和式（13）來描述。

r■+■■■2+4■=■（12）

1 0 0 … 02 -3 1 …0 1 -2 1 … … 0 1 -2 1… … … … … 0 … 0 1 -2 10 … 0 1 -1p■p■p■p■？噎p■p■=a1p■/a■h′（t）h′（t）h′（t） ？噎h′（t）h（t）-a2■0

r12■1

r22■2

r32■3

？噎

r2N-1■N-1

r2N■N（13）

式（13）用向量表示可以簡寫為：A

■■=a1■-a2■（14）

式（14）中：a■=■，■=0r12■1r12■1r22■2r32■3？噎r2N-1■N-1r2■■N■N。

在每個單元內的每個氣泡的整個生命周期變化情況可以獲得（圖7）。

3 結論

在2個充液平行平面的動態開啟過程中，氣穴氣泡先是生長而后潰滅。在這個問題研究的基礎上，介紹和對比研究了顯式歐拉法、隱式歐拉法、改進歐拉法、龍格庫塔法和ODE45方法在數值分析ODE問題上的應用。結果表明，這些方法在解決ODE問題上是互相吻合的，在步長足夠小的情況下它們之間的誤差也非常小[14-16]。

這些方法在MATLAB環境下編程也不復雜，這樣就可以結合其他的程序獲得復雜問題的數值解。看起來很抽象的矩陣其實它表示的是向量之間在時間、空間上的關系，一旦這些關系確立以后，通過分析就可以得到很直觀的解釋。另外，還介紹了解決PDE方程的方法。在建立兩平行平面的動態開啟模型時，使用的是有限元法。

在實際的森林工程實踐中，有很多問題需要用微分方程來刻畫[17-20]，本研究旨在說明如何將高等數學知識與工程實踐更好地結合，在今后的森林工程課堂教學中加強這方面的運用，讓學生在今后的工作中有能力做出精確的分析，從而取得更大的發展。

4 參考文獻

[1] 劉鴻基，劉剛.數學發展簡史及未來趨勢簡論[J].科技信息，2012（4）：129-130.

[2] 鄧明立，張生春.19世紀德國數學發展原因初探[J].自然辯證法研究，2000（8）：45-49.

[3] 賴發孝.淺析高中數學在社會經濟發展中的作用[J].經貿實踐，2016（18）：36.

[4] 張奠宙.二十世紀數學發展一瞥[J].自然雜志，1982（3）：179-182.

[5] 冷螢征.探討數學在經濟發展中的地位及作用[C]//“決策論壇：企業黨建與政工創新工作發展學術研討會”論文集（下）.中國武漢決策信息研究開發中心、決策與信息雜志社、北京大學經濟管理學院，2016：1.

[6] 曹建美.數學在現代經濟學及經濟發展中的作用[N].山西經濟日報，2009-12-14（004）.

[7] 張恭慶.數學與國家實力（上）[J].紫光閣，2014（8）：76-78.

[8] 王汝發.從20世紀數學發展再看數學與科學技術之關系[J].廣東工業大學學報（社會科學版），2003（1）：57-60.

[9] RAYLEIGH L.On the Pressure Developed in a Liquid during the Colla-pse of a Spherical Cavity[J].Philosophical Magazine，1917，34：94-98.

[10] E HAIRER，S P NORSETT，G Wanner.Solving Ordinary Differential Equ-ations I-Nonstiff Problems[M].Second Revised Edition.Springer press，1992.

[11] SUN Zhizhong.Numerical solutions for partial differential equations[M].Science Publishing House，2005.

[12] DAVID BLEECKER，GEORGE CSORDAS.Basic Partial Differential Eq-uations[M].International Press of Boston，1997.

[13] ANDREI D，POLYANIN.HANDBOOK OF LINEAR PARTIAL DIFFER-ENTIAL EQUATIONS for ENGINEERS and SCIENTISTS （First Edition）[M].CHAPMAN & HALL/CRC，2002.

[14] 杜世拔.森林經營系統工程數學模型的研究[J].林業資源管理，1982（4）：27-29.

[15] 董斌，陳立平，錢國英.基于遙感的層次分析法和模糊數學模型綜合評價森林資源生態適宜性[J].自然資源學報，2011（3）：468-476.

[16] 吳發云，孫濤，王小昆.基于數學形態學的森林資源數據更新技術研究[J].林業資源管理，2009（5）：105-108.

[17] 成子純，呂勇.森林生物數學的發展與展望[J].中南林業調查規劃，1997（2）：47-49.

[18] 張映堂，郭安.云南楚雄州林火分布的數學模型及森林防火期的劃分[J].西南林學院學報，1996（2）：100-104.

[19] 劉春玲，路紫.數學方法在森林生態旅游區開發中的具體應用[J].經濟地理，2001（1）：118-120.

[20] 胥曉，蘇智先，黎云祥，等.嘉陵江流域南充金城山森林群落的模糊數學分析[J].四川師范學院學報（自然科學版），1999（2）：182-189.