從上海經驗看中國式數學課堂的典型特征

吳穎康 鮑建生

2009年的國際學生評估項目（PISA）結果公布后，上海的基礎教育成為了許多國家研究的熱點。其中，上海的數學基礎教育又成為熱點中的焦點。一方面，數學是科學技術的基礎，是現代公民的必備素養；另一方面，數學也是中小學課程中最能夠達成國際共識的一門核心學科。許多西方媒體中的“中國式數學課堂”并非上海所獨享，但我們有理由相信，上海有自己的特色。

一、中國式數學課堂的特征

1.關注全體學生的發展，因材施教。

在數學課堂教學中，“材”的理解可以很寬泛，因材施教的含義可以拓展為針對學生的認知特點和具體教學內容的要求，教師從個人的教學專長出發，選取恰當的教學方法進行教學。上海的數學課堂教學以學生的數學發展為本，在關注中間水平學生的同時兼顧兩頭，從學生的實際情況出發進行教學。

2.突出數學的學科本質，循序漸進。

孔子在《學記》中說教育成功有四個原因，其中之一是“不陵節而施之”，即為要循序漸進。從整體來看，它的確整合了數學學科發展的邏輯順序、學生數學學習的認知規律和數學學科的歷史發展順序。從局部來看，每一堂數學課的教學也符合數學知識結構和學生認知方式所提出的“序”的要求。

3.優化傳統的教學經驗，教無定法。

中國教師善于從教學實踐經驗中總結和提煉教學方法及模式。盡管上海已經有了青浦的嘗試指導教學模式、楊浦的基本圖形分析法等，但是在課堂還是可以看到靈活多樣的教學模式。這正是基于因材施教的教學思想，不同課型、不同學生、不同教學內容，需要不同的教學方式。同課異構已成為教研活動的重要組織形式，通過對兩個或兩個以上教師基于相同教學內容但不同教學設計的課堂教學的觀摩和討論，能分享看法，促進反思，提高教師的專業素養。

4.鼓勵教師的課堂研究，教學相長。

教師應該成為研究者，學會分析診斷課堂教學中的具體問題，提出改進方案，并加以實施改進。上海市教育科學研究院顧泠沅教授提出了一種以課例為載體，在教學行動中開展教學研修，包含三關注兩反思”操作活動的行動教育模式。另外，教學相長的理念是中國傳統教學思想的重要特征之一。李士和代欽指出，教學相長至少有以下三層意思：教與學是互相促進的，教師與學生是互相促進的，教師的教與教師本人的學是互相促進的。

二、典型的中國數學教學模式：變式教學

變式教學在中國由來已久，被廣大數學教師所運用，其中不乏經驗性教學研究，但系統梳理數學變式教學的實踐經驗，并在針對性教學實驗的基礎上進行理論分析，則起始于上世紀70年代末的“青浦實驗”。

1.“青浦實驗”的變式教學

為了實現“大面積提高教學質量”的目標，由顧泠沅主持的“青浦實驗”小組在廣泛篩選經驗的基礎上，對變式教學進行了系統而深入的實驗研究與理論分析。這項研究主要涉及兩個方面的工作：一是對傳統教學中的概念變式進行系統的恢復與整理；二是將概念變式推廣到過程變式，從而使變式教學既適用于數學概念的多角度理解，也適用于數學問題解決的有層次的推進和數學活動經驗的增長。

“青浦實驗”對變式教學的研究源自幾何教學。在上世紀七八十年代，幾何概念是一個普遍的教學難點，顧泠沅的研究表明，影響學生掌握幾何概念的主要因素有三個：直觀的圖形經驗、概念的詞語敘述、概念所包含的圖形變式。因此，“青浦實驗”小組提出了幾何概念變式教學的兩條策略：通過圖形的變式與比較，凸顯概念的本質屬性；通過背景的復合與分離，建立概念的多角度理解。

在數學教學中，除了概念教學外，還包括數學活動經驗的教學。由于數學活動經驗通常鑲嵌在動態的數學過程之中，而靜態的概念變式難以反映這種動態的特征，因此，顧泠沅提出了過程變式的概念，并通過實驗總結出過程變式教學的兩條策略：通過變式鋪墊與化歸，提高問題解決的效率；通過典型例題的分類與關聯，實現核心知識的融會貫通。

2.變式教學的基本策略

在“青浦實驗”的推廣過程中，上海市青浦區及其他區縣出現了一大批數學變式教學的有效設計和典型案例，并提煉出一些變式教學的有效策略。

第一，通過概念變式，幫助學生多角度理解數學概念。數學概念是一種外延性概念，每個概念都可以用一個集合來表示，即數學概念可以表示為一個具有某個本質屬性p的所有樣例x所組成的集合P。我們既可以通過概念的本質屬性p來學習一個概念，也可以通過概念所包括的各種特例（集合元素x）來理解和運用概念，并建立概念屬性與特例之間的各種聯系，也由此產生了標準變式、非標準變式和反例變式。其中，概念的標準變式有利于學生對概念的準確把握，概念的非標準變式有助于多角度的理解概念，反例變式則有利于明確概念的外延，澄清概念與非概念的本質區別。

第二，通過變式鋪墊，在學生的最近發展區搭建合適的腳手架。搭建合適的教學腳手架是學生從事數學探究活動（做數學）的必要條件。上海的數學教學實踐表明，通過設置奠基性的變式鋪墊，有助于學生發現和提出高質量的數學問題，形成數學猜想，證明定理，使他們既可以親歷知識的形成過程，又可以充分體驗解決問題的愉悅。

第三，通過過程變式，為數學問題解決提供化歸的臺階。數學問題解決的一條基本思路是“將未知的問題化歸為已知的問題，將復雜的問題化歸為簡單的問題”。但由于未知（復雜）問題與已知（簡單）問題之間往往沒有明顯的聯系，因此要設置過程性變式在兩者之間進行適當的鋪墊，作為化歸的臺階。運用變式為化歸作鋪墊，成為教師引導學生進行問題解決的關鍵環節。學生的數學活動經驗在一定程度上就體現在變式問題的豐富性及化歸策略的多樣性上。

第四，通過典型例題的變式拓展，構建有層次的經驗系統。在數學學習中，典型例題具有特殊的學習價值。以典型例題為核心進行適當的變式拓展，既有利于對數學概念和數學思想方法的深入理解，還可以增加活動途徑的多樣性和活動過程的層次性，圍繞典型例題形成一個有層次的經驗系統，成為認知結構的一個重要組成部分。用于構建特定經驗系統的變式，通常來自典型例題的三種拓展：一題多變，既包括用于鋪墊的變式，也包括對原問題的各種引申（如改變條件、改變結論、一般化等）；一題多解，將典型例題的不同解決過程作為變式，聯結各種不同的解決方法，建立各種數學思想方法之間的聯系；一法多用，將某種特定的方法用于一類基于典型例題拓展的相似問題，由此可產生用于引發化歸或探究策略的變式。

三、需要進一步研究的問題

第一，構建具有中國特色的變式教學理論體系。從新世紀開始，顧泠沅領導的上海研究團隊就開始對變式教學進行深入解讀和理論分析，在國內外學術期刊和著作中發表了一系列研究論文。這些研究雖然在一定程度上給出了變式教學的合理解釋和理論解讀，但仍需要在實踐經驗的基礎上，依據數學的學科特征，認知科學的研究成果以及中國的教育文化傳統，對變式教學進行系統的理論分析和實證研究，形成具有中國特色的數學教學理論。

第二，超越雙基，促進學生高層次數學思維能力提升。影響學生高層次數學思維能力的因素有很多，其中的兩個關鍵因素分別是：開發需要高層次數學思維的各種數學探究任務以及實施這些任務的有效教學策略。雖然上海的一些區縣和學校已經在這方面開展了有益的嘗試，但目前仍存在把變式教學淪為單純的變式訓練的情況。因此，如何在“雙基”的基礎上，圍繞數學的知識主干、核心概念和重要的數學思想方法進行變式拓展，開發具有高層次認知特征的數學探究活動，有計劃地發展學生的高層次數學思維能力是上海中小學亟待解決的一個關鍵問題。

第三，協同班級授課與個別化學習。大班教學雖然是一種高效的教學模式，但也在一定程度上制約了學生的個性發展和特殊教育教學需求。因此，如何協同班級授課與個別化學習，在所有學生都受到良好教育的基礎上，使不同的學生得到不同的發展，也是上海中小學數學教學所面臨的挑戰。個別化學習的一個核心問題是學生的自主學習和教師的精準幫助。要解決這個問題，不僅需要開發針對學生不同需求的數學課程與教學資源，而且需要教師知道如何利用這些資源激發學生的學習興趣；不僅要求教師做到少教多學，鼓勵學生自己學，教會學生如何學，還要在學生需要的時候以合適的方式和時機給予精準的幫助。近年來，上海開始了針對個別化學習的教學實驗，如“電子書包”“茶館式教學”等，但總體而言，仍缺乏系統的理論探討和大面積的教學實驗。