基于多變量分析的環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)特性研究

梁來雨，汪志強

（武漢第二船舶設(shè)計研究所，湖北 武漢 430205）

基于多變量分析的環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)特性研究

梁來雨，汪志強

（武漢第二船舶設(shè)計研究所，湖北 武漢 430205）

為了從整個可行解空間研究圓柱殼結(jié)構(gòu)特性，采用全因子試驗設(shè)計獲得變量范圍內(nèi)的可行解空間，通過相關(guān)理論推導(dǎo)計算得到不同結(jié)構(gòu)形式圓柱殼的強度、穩(wěn)定性以及振動頻率等指標。采用相關(guān)性分析、主成分分析以及變量聚類分析方法根據(jù)可行解空間的數(shù)據(jù)對環(huán)肋圓柱殼強度、穩(wěn)定性、振動頻率之間以及這些屬性與設(shè)計變量之間的關(guān)系進行研究。采用相關(guān)系數(shù)矩陣圖、主成分分布圖以及譜系聚類圖將多變量分析的結(jié)果可視化。對可視化結(jié)果進行分析發(fā)現(xiàn)了圓柱殼結(jié)構(gòu)屬性之間的矛盾性，變量、屬性之間的相似性和關(guān)系的復(fù)雜性。通過多變量分析得到的相關(guān)結(jié)論能夠作為實際工程設(shè)計的參考。

環(huán)肋圓柱殼；結(jié)構(gòu)特性；多變量分析；相關(guān)分析

加筋圓柱殼以其良好的承壓性能被廣泛應(yīng)用于水下結(jié)構(gòu)，潛艇主體采用環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)。設(shè)計規(guī)范[1]采用的是校核的方法，結(jié)構(gòu)相關(guān)應(yīng)力和臨界載荷的值滿足校核條件，即認為設(shè)計滿足要求。在實際設(shè)計中為了使強度、穩(wěn)定性指標之間更均衡，需要對設(shè)計變量與屬性之間的關(guān)系進行分析，通過各變量與屬性之間的關(guān)系，來調(diào)整結(jié)構(gòu)形式讓結(jié)構(gòu)更合理。

目前更多的是對圓柱殼結(jié)構(gòu)變量對屬性的影響進行分析，采用“控制變量”方法，通過改變某個變量來分析結(jié)果的變化。如：黃振熙等[2]采用參數(shù)化方法研究潛艇耐壓液艙的優(yōu)化設(shè)計，分析了縱骨間距、肋距變化對液艙重量的影響。在縱骨間距不變的情況下研究了板厚、型材等變量對肋骨間的影響。M.Bagheri等[3]在圓柱殼的優(yōu)化中，研究了加肋對結(jié)構(gòu)重量的影響以及肋骨分布情況對結(jié)構(gòu)頻率和臨界載荷的影響。

實際上，圓柱殼結(jié)構(gòu)變量之間存在復(fù)雜的耦合關(guān)系，一個變量變化可能引起其它變量的改變。“控制變量”難以考慮變量之間的耦合情況。為更深入地認識圓柱殼設(shè)計變量之間、屬性之間以及設(shè)計變量與屬性之間的內(nèi)在關(guān)系。本文從多變量分析的角度出發(fā)，研究圓柱殼設(shè)計變量、屬性之間的相互關(guān)系。采用多變量分析方法從可行解空間對圓柱殼結(jié)構(gòu)特性進行分析，采用全因子試驗設(shè)計[4]得到可行解空間。用相關(guān)性分析[5]、主成分分析[6]以及變量聚類[7]等方法根據(jù)試驗數(shù)據(jù)對圓柱殼結(jié)構(gòu)變量、屬性之間的相互關(guān)系進行分析，并將多變量分析的結(jié)果可視化。對變量、屬性進行相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)了屬性之間的矛盾性以及變量與屬性之間關(guān)系的復(fù)雜性，主成分分析和變量聚類的結(jié)果顯示了變量、屬性之間存在的相似性。

1 理論分析

1.1 強度、穩(wěn)定性和振動分析

潛艇典型艙段及其受力如圖1所示。L為艙段長度；l為肋骨間距；h為殼板厚度；R為圓柱殼中面半徑；e為肋骨對殼中面偏心距，圓柱殼的兩端剛性支撐，外加均勻外壓力p。

圖1 典型艙段以及受力示意圖

需做強度校核的應(yīng)力有[1]：支座處殼橫剖面的內(nèi)表面應(yīng)力σ'1，跨中殼縱剖面的中面應(yīng)力σ02以及肋骨的應(yīng)力σl，計算式為[8]：

式中：p為計算深度處的靜水壓力，系數(shù)K1，K02，Kl以及其它輔助函數(shù)詳見文獻[5]。

靜水壓力下，當(dāng)圓柱殼肋骨的剛度超過其臨界剛度時，首先是肋骨之間的殼板失穩(wěn)。殼板局部失穩(wěn)的理論臨界載荷計算式為[8]：

式中：λ=πR/l，D=Eh3/2/(1-μ2)，n為失穩(wěn)時圓周上的整波數(shù)。

整體失穩(wěn)的理論臨界載荷計算式為：

式中：m為失穩(wěn)時軸線方向的半波數(shù)，I為計及帶板的肋骨慣性矩，λ'=πR/L。

對上述計算的理論臨界值進行修正。

式中：Cg，C'g分別為圓柱殼局部板殼失穩(wěn)和整體失穩(wěn)時的幾何非線性修正系數(shù)，Cs，C's分別為圓柱殼局部板殼失穩(wěn)和整體失穩(wěn)時材料物理非線性修正系數(shù)。計算過程中需要使用設(shè)計圖譜，采用一維3次樣條插值法進行求解。

圓柱殼重量為：

式中：M1為圓柱殼重量；M2為肋骨的重量；ρ為殼板材料密度；ρ1為肋骨單位長度的重量；N為肋骨數(shù)量，肋骨為外肋布置；R+e為肋骨的中性軸半徑。

環(huán)肋圓柱殼在靜水壓力下自由振動頻率的求解問題，最終可轉(zhuǎn)化為關(guān)于頻率的3次代數(shù)方程[9]。

式中：ξ=ρhR2/B，B=Eh/(1-μ2)，這里采用“均攤法”將肋骨的作用均攤到殼板厚度上，為板殼的相當(dāng)厚度。ω為圓頻率，f=ω/2/π。u，v，w分別為殼體在軸向、軸向和徑向的位移。矩陣[A]、[P]的元素詳見文獻[9]。方程（6）有三個特征值，在這里只需求其中最小的特征值對應(yīng)的圓柱殼的自由振動頻率f，就能夠滿足工程上的需要。

1.2 多變量分析

圓柱殼結(jié)構(gòu)含有強度、穩(wěn)定性重量等多個屬性以及艙段長度、半徑、板厚等多個變量，要了解多個變量之間的關(guān)系，可以用多變量分析方法。

為了更全面地了解圓柱殼結(jié)構(gòu)的特性，本文對給定的設(shè)計變量進行全因子試驗設(shè)計。全因子試驗設(shè)計指全部因子的所有水平的所有組合都至少進行一次試驗[4]。圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計為離散變量問題，給定了變量的范圍及水平用全因子試驗設(shè)計能得到所有可行解。本文圓柱殼結(jié)構(gòu)各變量為：殼板厚度h按標準[10]選取，肋距l(xiāng)按0.05 m的倍數(shù)遞增，肋骨型號cn按標準[11]選取。實際建造中，圓柱殼半徑R和艙段長度L都采用整型規(guī)格。

相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量之間不確定相關(guān)性常用的方法。最常用的相關(guān)系數(shù)是英國的統(tǒng)計學(xué)家Karl Pearson提出的簡單相關(guān)系數(shù)，兩個變量X，Y之間的相關(guān)系數(shù)定義為[5]：

式中：Cov(X,Y)為兩個變量的協(xié)方差，Var(X)、Var(Y)分別為兩個變量的方差。

對于多個變量，通過計算各變量之間的相關(guān)系數(shù)可得到相關(guān)系數(shù)矩陣。Taiyun Wei[12]提出了一系列將相關(guān)系數(shù)矩陣可視化的方法，其中有一種是定量與定性相結(jié)合的方法，將表示相關(guān)系數(shù)的圓放在矩陣的下三角部分，通過圓的大小表示相關(guān)性的大小，用圓的顏色表示相關(guān)性的正負，將相關(guān)系數(shù)放在上三角部分，稱之為相關(guān)系數(shù)圖。

主成分分析是一種多變量分析方法，利用降維的思想將原來的多個變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)的幾個主成分，通過原變量與主成分之間的關(guān)系得到原變量在主成分空間的分布情況，根據(jù)各變量在主成分空間的相對位置來分析各變量之間的關(guān)系[5]。

主成分分析的一般步驟：（1）構(gòu)造初始矩陣，并對數(shù)據(jù)標準化處理；（2）計算相關(guān)系數(shù)矩陣及其特征值；（3）根據(jù)特征值計算主成分的方差貢獻率；（4）計算主成分與原變量之間的因子負荷量。根據(jù)主成分與原變量之間的因子負荷量就能夠得到原變量在主成分空間的分布[6]。

聚類分析是研究對指標或者樣本進行分類的一種多元統(tǒng)計方法。對變量聚類稱為R型聚類，變量聚類按照變量之間的相似性對變量進行分類，使同類中變量之間的相似性較大，不同類變量間的差異性較大。通常用相似系數(shù)或者是相關(guān)系數(shù)來衡量變量之間的相似性[7]。層次聚類的結(jié)果常用譜系聚類圖表示[6]，通過譜系圖能直觀地看出各變量之間的聚類關(guān)系。

2 算例及討論

以某典型艙段為例。材料參數(shù)：E=1.96×105MPa，泊松比μ=0.3，屈服極限σs=590 MPa。設(shè)計變量的取值范圍如表1所示。

表1 典型艙段圓柱殼設(shè)計變量取值范圍

按照規(guī)范的校核條件，3個應(yīng)力和2個臨界載荷的約束范圍：

此外，為了解圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動特性與強度、穩(wěn)定性特性之間的關(guān)系，對圓柱殼結(jié)構(gòu)的自由振動頻率進行考慮，也對其進行約束：

根據(jù)表1以及約束條件式（8）～式（9），利用全因子試驗設(shè)計得到2 081個試驗樣本。每個樣本都有5個設(shè)計變量和7個不同的屬性，構(gòu)成2 081×12的數(shù)據(jù)矩陣。

利用式（7）根據(jù)試驗數(shù)據(jù)計算變量、屬性之間的相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)圖如圖2所示。

圖2 屬性、變量之間的相關(guān)系數(shù)圖

從圖2可看出，3個應(yīng)力之間具有較大的正相關(guān)性（0.59，0.85，0.9）。2個臨界載荷之間正相關(guān)但相關(guān)不大（0.3）。3個應(yīng)力與2個臨界載荷之間都是負相關(guān)（-0.22～-0.92），說明強度與穩(wěn)定性之間的矛盾性。重量與肋距之間負相關(guān)（-0.27）與其它變量之間都是正相關(guān)，增加肋距有助于減輕結(jié)構(gòu)重量。頻率與重量和艙段長度之間有顯著的負相關(guān)性（-0.69，-0.91），說明頻率越低對應(yīng)結(jié)構(gòu)的重量越重、艙段長度越長。與其它變量與屬性之間的相關(guān)性相比，板厚與3個應(yīng)力及局部臨界載荷之間都有顯著的相關(guān)性（-0.54～-0.89,0.8）之間，說明板厚是一個比較重要的變量，設(shè)計中應(yīng)重點關(guān)注。肋骨應(yīng)力與肋骨型號的相關(guān)性并不大（-0.1），與半徑、肋距以及板厚有一定的相關(guān)性（-0.4，-0.54）。

圖2設(shè)計變量之間相關(guān)性能夠顯示圓柱殼結(jié)構(gòu)形式的特性。如：肋距與板厚之間正相關(guān)（0.45）、與半徑負相關(guān)（-0.41），半徑與肋骨型號正相關(guān)（0.49），肋距大則板厚越厚、半徑越小，半徑越小則肋骨型號越小，說明變量之間是相互關(guān)聯(lián)性較大。這些變量與各屬性之間的相關(guān)性又不相同，如：肋距越大、肋骨型號小、半徑小則結(jié)構(gòu)重量越小，而殼板越厚則重量可能越重；肋距大、殼板厚，局部穩(wěn)定性好；肋骨型號小，則整體穩(wěn)定性不好。說明變量、屬性之間關(guān)系的復(fù)雜性和矛盾性。體現(xiàn)了圓柱殼結(jié)構(gòu)設(shè)計中多屬性、多變量之間協(xié)調(diào)、均衡的復(fù)雜程度高，設(shè)計難度大。

為了進一步了解圓柱殼的結(jié)構(gòu)特性，對試驗數(shù)據(jù)進行主成分分析。特征值以及對應(yīng)的方差貢獻率如表2所示。

表2 特征值和方差貢獻率

根據(jù)表2，前4個主成分的累計貢獻率達到92.43%，取4個主成分就足夠表達原變量的大部分信息。主成分與原變量之間的載荷矩陣如表3所示。

表3 主成分矩陣

表3中F1～F4代表的是前4個主成分。根據(jù)主成分矩陣，可得到原變量在主成分空間的分布。為了便于觀察這里分別取前3個和前2個主成分，得到原變量隨前3個和前2個主成分的分布如圖3（a）、（b）所示。

圖3 主成分分布圖

根據(jù)圖3（a），在3個主成分空間內(nèi)：M與R，L之間距離較近。P'cr和cn之間相距較近。3個應(yīng)力之間距離較近。Pcr與h，l之間較近。f單獨在一邊與其它變量都相距較遠。

圖3（b）在第1和第2主成分平面內(nèi)：3個應(yīng)力之間相距很近，M與L，cn和R之間相距較近，兩個臨界載荷與h，l分布在同一個區(qū)域，頻率單獨在一邊。

變量隨不同數(shù)目主成分的分布并不完全一致。分析表3，cn和P'cr都與第3個主成分有較大的相關(guān)性，說明兩個主成分并不足以反映原變量之間的原始關(guān)系。根據(jù)表2，兩個主成分只包含了原變量的65.34%的信息，3個主成分包含了原變量的80.08%的信息。相對于兩個主成分，3個主成分包含原變量的信息更多，原變量隨3個主成分的分布與它們實際的關(guān)系更接近，但還是有部分信息損失。

對比圖3和圖2可看出，在主成分空間內(nèi)，正相關(guān)且相關(guān)系數(shù)越大的變量之間的距離越近，如：3個應(yīng)力之間，重量與R，L之間。負相關(guān)且相關(guān)系數(shù)絕對值越大的變量之間的距離越遠，如：3個應(yīng)力與局部臨界載荷之間。可見主成分分布圖通過原變量在主成分空間的相對位置反映了變量之間的聚類特性。

對變量聚類更常用的方法是層次聚類。采用變量之間的相關(guān)系數(shù)（如圖2）表示變量之間的相似性，將變量聚類的結(jié)果用樹狀譜系圖表示，如圖4所示。

圖4 變量聚類譜系圖

按照給定的距離（圖4中虛線所示）可將變量分為5類，從左到右5類分別為:M與R，L為第1類，P'cr和cn為第2類，3個應(yīng)力為第3類，Pcr與h，l為第4類，頻率單獨為第5類。

根據(jù)圖5：頻率是一個很特別的屬性，與其他屬性和變量之間都沒有太大的相似性；整體臨界載荷與局部臨界載荷之間的相似性不大，這與它們之間的相關(guān)系數(shù)不大相對應(yīng)；結(jié)構(gòu)重量與半徑R、艙段長度L之間相似性最大，以最小重量為設(shè)計目標時，可以重點考慮這兩個變量。P'cr與肋骨型號的關(guān)系密切，設(shè)計中適當(dāng)選擇較大型號的肋骨有助于提高結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。

對比圖4和圖3，變量聚類結(jié)果與變量在3個主成分空間的分布情況是一致的。說明主成分分析中至少需要3個主成分才能將原變量之間原本關(guān)系表達清楚。可見由主成分分布圖得到變量之間聚類特性的準確性與主成分包含原變量信息的多少有直接的關(guān)系，當(dāng)所需主成分較多時，變量在主成分空間的分布情況較難獲取。

變量聚類反映的是變量之間原本的關(guān)系，沒有損失變量的信息，由變量聚類法得到的各變量之間的分類結(jié)果更可信。

3 結(jié)論

本文采用相關(guān)性分析、主成分分析以及變量聚類分析3種多變量分析方法利用可行解空間的數(shù)據(jù)對圓柱殼進行了結(jié)構(gòu)特性分析，并將分析的結(jié)果可視化來直觀地獲取有用的信息。得到如下的結(jié)論：

（1）根據(jù)變量和屬性之間的相關(guān)系數(shù)：圓柱殼的強度、穩(wěn)定性以及重量屬性之間是相互矛盾的；圓柱殼殼板厚度是一個較重要的變量，對各屬性的影響都較大，在設(shè)計中應(yīng)重點關(guān)注；頻率與艙段長度以及重量都有較大的相關(guān)性，頻率越低對應(yīng)的艙段長度可能越長、結(jié)構(gòu)重量也可能越重。

（2）3個主成分空間內(nèi)：重量、半徑、艙段長度之間距離較近。整體臨界載荷和肋骨型號相距較近。3個應(yīng)力相距較近。局部臨界載荷與板厚、肋距之間較近。頻率與其它變量之間都相距較遠。

（3）在主成分空間內(nèi)，正相關(guān)且相關(guān)系數(shù)越大的變量之間的距離越近，負相關(guān)的變量且相關(guān)系數(shù)絕對值越大的變量之間的距離越遠，主成分分布圖通過原變量在主成分空間的相對位置反映了變量之間的聚類特性。

（4）變量層次聚類的結(jié)果與3個主成分分布中變量的分布是相同的。相對于主成分分析的結(jié)果來說，變量聚類反映的是變量之間原本的關(guān)系，沒有損失變量之間的原本信息，得到的變量分類結(jié)果更可信。

[1]中國船舶工業(yè)總公司.GJB/Z21A-2001潛艇結(jié)構(gòu)設(shè)計計算方法[S].2001.

[2]黃振熙,王祖華.潛艇耐壓液艙設(shè)計[J].艦船科學(xué)技術(shù),2012,34(4):30-35.

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Study on the Structural Characteristics of Ring-Stiffened Cylindrical Shell Using Multivariate Analysis

LIANG Lai-yu,WANG Zhi-qiang
Wuhan 2nd Ship Design&Research Institute,Wuhan 430205,Hubei Province,China

To analyze the structural characteristics of cylindrical shell in the feasible solution space,the full factorial experiment design method is applied to obtain the feasible solution space.Multivariate analysis approaches,such as correlation analysis,principal components analysis and cluster analysis,are used to study the structural characteristics of ring-stiffened cylindrical shell.The correlation coefficient matrix,principal component map and dendrogram of variable cluster are utilized to show the results of multivariate analysis.By analyzing the visual results,the incompatibility of attributes and the similarity and complicated relations among attributes and variables of cylindrical shell are found.The useful conclusions obtained from the multivariate analysis approaches can be used as reference in practical engineering design.

ring-stiffened cylindrical shell;structural characteristics;multivariate analysis;correlation analysis

U663

A

1003-2029（2017）03-0097-06

10.3969/j.issn.1003-2029.2017.03.018

2017-01-02

梁來雨（1986-），男，工程師，主要研究方向為船舶結(jié)構(gòu)及救生。E-mail：465633580@qq.com