基于粒子群優(yōu)化算法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計

趙華東，宋保業(yè)，張建勝，許 琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

基于粒子群優(yōu)化算法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計

趙華東，宋保業(yè)，張建勝，許 琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

分數(shù)階PID控制器具有可變的微分和積分階次，通過調(diào)整控制器參數(shù)可以獲得更好的控制性能。本文基于粒子群優(yōu)化算法設(shè)計分數(shù)階PID控制器。首先介紹分數(shù)階PID和粒子群優(yōu)化算法，然后給出分數(shù)階PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、分數(shù)階微積分算子的近似算法和分數(shù)階PID控制器設(shè)計的仿真流程，最后通過MATLAB/Simulink對算例進行控制器設(shè)計仿真。仿真結(jié)果表明，通過粒子群尋優(yōu)能夠獲得滿意的分數(shù)階PID控制器參數(shù)，滿足對控制性能的要求。

粒子群優(yōu)化；分數(shù)階控制器；比例-積分-微分

PID(比例-積分-微分， proportional-integral-derivative)控制器是目前工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用最廣泛的控制器，而近年來發(fā)展起來的分數(shù)階PID控制器在經(jīng)典PID控制器基礎(chǔ)上增加了兩個可調(diào)參數(shù)，從而可以在原有PID控制器基礎(chǔ)上進一步優(yōu)化控制性能、提高控制品質(zhì)，其適用對象包括分數(shù)階系統(tǒng)和整數(shù)階系統(tǒng)[1]。

近年來，大量的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法被用于PID控制器參數(shù)整定和分數(shù)階PID控制器設(shè)計，如文獻[2]提出基于改進遺傳算法的分數(shù)階PID控制器，顯著優(yōu)化系統(tǒng)性能并提高了系統(tǒng)魯棒性。文獻[3]提出一種基于改進蜂群算法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法，新算法能夠擴大搜索范圍避免陷入局部極小點，從而獲得最優(yōu)的控制器參數(shù)。此外，禁忌搜索算法[4]、差分進化算法[5]、粒子群優(yōu)化算法[6]等也被用于分數(shù)階PID控制器設(shè)計。

本文基于粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法給出一種分數(shù)階PID控制器設(shè)計的MATLAB/Simulink仿真方法。首先介紹分數(shù)階PID控制器和粒子群優(yōu)化算法，然后給出基于粒子群優(yōu)化算法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法和仿真流程，最后通過算例比較驗證設(shè)計結(jié)果的優(yōu)越性。

1 分數(shù)階PID控制器

分數(shù)階微積分是經(jīng)典微積分的一般化，其微積分階次從整數(shù)擴展到非整數(shù)，包括任意實數(shù)甚至復(fù)數(shù)[7]。分數(shù)階微積分的定義有多種形式，其中Grunwald-Letnikov(GL)分數(shù)階微積分定義和Riemann-Liouville(RL)分數(shù)階微積分定義是最常用的兩種，并且可以證明在實際物理系統(tǒng)和工程應(yīng)用中，兩者是完全等效的[8]。對連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(t)的r階Grunwald-Letnikov微積分定義如下[9]：

(1)

(2)

其中，n-1

(3)

其中，L{·}表示拉普拉斯變換，s為拉普拉斯算子。

分數(shù)階動態(tài)系統(tǒng)可用如下的分數(shù)階微分方程描述：

anDαny(t)+an-1Dαn-1y(t)+……+a0Dα0y(t)

=bmDβmu(t)+bm-1Dβm-1u(t)+…+b0Dβ0u(t)，

(4)

(5)

圖1 分數(shù)階控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of fractional-order control system

單輸入單輸出分數(shù)階控制系統(tǒng)的框圖如圖1所示。其中，r為給定值，y為被控對象輸出值，e為兩者的偏差，分數(shù)階PID控制器即根據(jù)偏差e調(diào)整控制器輸出u。分數(shù)階PID控制器的微分方程表達式為：

u(t)=Kpe(t)+KiD-αe(t)+KdDβe(t)，

(6)

其相應(yīng)的控制器傳遞函數(shù)為：

(7)

其中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分增益，α和β分別為積分和微分階數(shù)。當(dāng)α和β為1時，分數(shù)階PID控制器退化為經(jīng)典的整數(shù)PID控制器。與整數(shù)階PID控制器相比，分數(shù)階PID控制器中積分和微分的階次可不為1，從而為控制器設(shè)計增加了兩個可調(diào)參數(shù)，使得分數(shù)階PID控制器與整數(shù)階PID控制器相比達到更好的控制性能指標(biāo)。

2 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法是由Kennedy和Eberhart提出的一種模擬鳥群或魚群群體行為的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法[10]，目前已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各類優(yōu)化問題的求解。粒子群優(yōu)化算法定義了一組與優(yōu)化問題相關(guān)的粒子，每一個粒子是待優(yōu)化問題的一個可行解，其維數(shù)與優(yōu)化問題可行解的維數(shù)相同。粒子群優(yōu)化算法根據(jù)各個粒子的歷史最優(yōu)解和粒子群中的全局最優(yōu)解迭代更新每一個粒子的飛行速度，并進而更新粒子位置，最終得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化算法的速度更新方程和位置更新方程如下：

vi(k+1)=wvi(k)+c1r1(pi(k)-xi(k))+c2r2(pg(k)-xg(k))；

(8)

xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1) 。

(9)

其中，w為慣性權(quán)系數(shù)，vi(k)和xi(k)分別為粒子i在第k代的速度和位置，pi(k)和pg(k)分別為粒子i的歷史最優(yōu)位置和當(dāng)前代粒子群中的全局最優(yōu)位置，常數(shù)c1和c2稱為加速系數(shù)，r1和r2為[0,1]中均勻分布的隨機數(shù)。

目前，眾多學(xué)者提出了一系列改進的PSO算法。如Shi等[11]提出了慣性權(quán)系數(shù)線性降低的PSO-LDIW算法，其慣性權(quán)系數(shù)的計算方法為

(10)其中，kmax為最大迭代次數(shù)。Ratnaweera等[12]提出了具有時變加速系數(shù)的PSO-TVAC算法，其加速系數(shù)計算如下

(11)

(12)

Clerk[13]為提高算法的搜索性能提出了具有壓縮因子的PSO-CK算法等。此外，除了對PSO算法中的參數(shù)選擇提出改進方法之外，結(jié)合多種輔助操作的混雜PSO算法也是學(xué)者們關(guān)注的研究方向[14-16]。

3 分數(shù)階PID控制器設(shè)計

本文使用MATLAB/Simulink仿真，基于粒子群優(yōu)化算法設(shè)計分數(shù)階PID控制器。由于MATLAB目前尚沒有正式推出面向分數(shù)階系統(tǒng)仿真的工具箱，因此分數(shù)階PID控制器首先近似為整數(shù)階系統(tǒng)，然后可按照整數(shù)階系統(tǒng)搭建仿真環(huán)境，系統(tǒng)仿真框圖如圖2所示。

圖2 分數(shù)階PID控制系統(tǒng)Fig.2 Fractional-order PID control system

在仿真過程中，本文使用Oustaloup 近似化方法對分數(shù)階PID控制器中的微積分算子進行近似。設(shè)待近似的微積分算子為sγ，擬合頻率段為(ωb,ωh)，則可以構(gòu)造出一個近似sγ的頻域濾波器如下[9]：

(13)

(14)

(15)

(16)

本文的粒子群優(yōu)化算法中的粒子為5維，各維分別為Kp、Ki、Kd、α、β。優(yōu)化過程中最大迭代次數(shù)為100，種群規(guī)模為20，按照式(10)～(12)計算慣性權(quán)系數(shù)和加速系數(shù)，分數(shù)階PID控制器設(shè)計的仿真流程如圖3所示。

為驗證本文的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法的有效性，以下使用文獻[17]中的兩個典型算例，采用平方偏差積分(square deviation integral, ISE)、時間平方偏差積分(time squared deviation integral, ITSE)、絕對偏差積分(absolute deviation integral, IAE)和時間絕對偏差積分(time absolute deviation integral,ITAE)4種性能指標(biāo)設(shè)計分數(shù)階PID控制器并進行比較。

圖3 分數(shù)階PID控制器設(shè)計仿真流程Fig.3 Simulation flowchart of fractional-order PID controller design

例1 高階被控對象的傳遞函數(shù)為：

(17)

文獻[17]中給出的控制器為：

C(s)=0.741 3(1+0.186 9/s1.310 6) 。

(18)

根據(jù)文獻[18]基于誤差的最優(yōu)控制器設(shè)計程序，對例1進行整數(shù)階PID參數(shù)尋優(yōu)，得到的控制器為：

(19)

本文采用4種性能指標(biāo)(ITSE、ITAE、ISE、IAE)得到的分數(shù)階PID控制器參數(shù)如表1所示，圖4給出了各控制器的階躍響應(yīng)，表2給出了相應(yīng)控制器的性能指標(biāo)。

由以上仿真結(jié)果可見，采用本文給出的參數(shù)優(yōu)化方法所得到的系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量均不超過10%，遠遠小于采用文獻[17]和[18]方法得到的超調(diào)量；同時，除基于ISE指標(biāo)的調(diào)節(jié)時間略大外，其余控制器性能指標(biāo)均優(yōu)于文獻[17]和[18]中的設(shè)計方法；這說明本文給出的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法比現(xiàn)有方法具有更好的性能。

表1 例1分數(shù)階PID控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of fractional-order PID controllers of exampe 1

圖4 例1各控制器的階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of controllers in Example 1表2 例1各控制器的性能指標(biāo)Tab.2 Performance indexes of controllers in Exampe 1

超調(diào)量M/%調(diào)節(jié)時間ts/s峰值時間tp/s上升時間tr/sITSE7．46．7895．8124．593ITAE1．66．7168．4687．575ISE9．811．096．4625．024IAE3．95．3026．9685．832文獻[17]22．427．4813．57．958文獻[18]34．910．056．9664．856

例2 帶時滯被控對象的傳遞函數(shù)為：

(20)

文獻[17]中給出的控制器為：

(21)

根據(jù)文獻[18]中基于誤差的最優(yōu)控制器設(shè)計程序，對例2進行整數(shù)階PID參數(shù)尋優(yōu)，得到的控制器為：

(22)

本文采用四種性能指標(biāo)(ITSE、ITAE、ISE、IAE)得到的分數(shù)階PID控制器參數(shù)如表3所示，圖5給出了各控制器的階躍響應(yīng)，表4給出了相應(yīng)控制器的性能指標(biāo)。由以上仿真結(jié)果可見，對含有時滯的被控對象，采用本文給出的參數(shù)優(yōu)化方法能夠克服文獻[17]和[18]中方法的缺陷，所得到的系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有更優(yōu)越的性能。

表3 例2分數(shù)階PID控制器參數(shù)Tab.3 Parameters of fractional-order PID controllers of Example 2

圖5 例2各控制器的階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of controllers in Example 2表4 例2各控制器的性能指標(biāo)Tab.4 Performance indexes of controllers in Example 2

超調(diào)量M/%調(diào)節(jié)時間ts/s峰值時間tp/s上升時間tr/sITSE2．13．3214．1653．702ITAE2．43．4658．5113．938ISE33．5096．4294．247IAE2．63．3024．2913．646文獻[17]45．233．9710．826．563文獻[18]2912．855．1923．873

從仿真結(jié)果來看，本文給出的基于粒子群優(yōu)化算法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法在4種性能指標(biāo)下均能夠得到較好的控制器參數(shù)，階躍響應(yīng)具有響應(yīng)速度快、超調(diào)量小、穩(wěn)定時間短的特點，與文獻[17]及文獻[18]中的設(shè)計方法相比能夠?qū)崿F(xiàn)更好的控制性能。

4 結(jié)論

給出了一種基于粒子群優(yōu)化算法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法，獲得的控制器參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)更好的控制性能，并對兩個算例通過MATLAB/Simulink仿真驗證了設(shè)計方法的有效性。本文可作為基于智能優(yōu)化方法的分數(shù)階PID控制器設(shè)計的一般框架，通過修改所使用的智能優(yōu)化方法，可驗證新算法性能并進行比較。在此基礎(chǔ)上，將進一步研究自適應(yīng)的分數(shù)階PID控制器設(shè)計方法及數(shù)字分數(shù)階PID控制器設(shè)計及其應(yīng)用等。參考文獻：

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(責(zé)任編輯：高麗華)

Fractional-order PID Controller Design Based on PSO Algorithm

ZHAO Huadong,SONG Baoye,ZHANG Jiansheng,XU Lin

(College of Electrical Engineering and Automation,Shandong University ofScience and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

The performances of the fractional-order PID controller could be advanced by adjusting two of the variable parameters, i.e. differential order and integral order. This paper is concerned with the design of fractional-order PID controller based on particle swarm optimization. Firstly, the fractional-order PID controller and particle swarm optimization were introduced respectively. Then the structure of the fractional-order PID controller, the approximation algorithm of the fractional-order differ-integral operator, and the simulation flowchart of the fractional-order PID controller design were presented. In the end, the controller design was simulated for the examples by MATLAB/Simulink. The simulation results show that with particle swarm optimization, the satisfying fractional-order PID controller parameter could be obtained to achieve better control performances.

particle swarm optimization;fractional-order controller;PID(proportional-integral-derivative)

2017-03-22

山東省高等學(xué)校科技計劃項目(J14LN34)

趙華東(1991—)，男，山東泰安人，碩士研究生，主要從事分數(shù)階控制理論與應(yīng)用的研究. 宋保業(yè)(1982—)，男，山東青島人，博士，講師，主要從事智能優(yōu)化算法、移動機器人控制的研究，本文通信作者.E-mail：songbaoye@gmail.com

TP273

A

1672-3767(2017)04-0060-06

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.04.009