一種新型弱耦合三平移并聯機器人機構及其運動學分析

朱 偉 戴志明 劉曉飛 沈惠平 朱小蓉 何寶祥

常州大學機械工程學院，常州， 213164

?

一種新型弱耦合三平移并聯機器人機構及其運動學分析

朱 偉 戴志明 劉曉飛 沈惠平 朱小蓉 何寶祥

常州大學機械工程學院，常州， 213164

提出一種弱耦合2RRPaR+PPaP三平移操作機器人機構，分析了機構的自由度及拓撲結構特征；推導了機構的正逆解方程以及速度、加速度模型，根據速度雅可比矩陣，分析了機構的奇異位置；根據機構的逆解方程和主要約束，采用三維極坐標邊界搜索法繪制了機構的工作空間三維實體圖和截面圖；由ADAMS三維模型仿真和運動正解方程計算所得的位移、速度、加速度曲線基本一致，驗證了運動方程的正確性。該機構解耦性好、結構簡單、運動靈活，在縱向移動方向上具有部分解耦和工作空間大的優點，適合用作生產線自動操作手機構。

弱耦合；并聯機械；三平移；運動學分析

0 引言

在食品加工、零件裝配、醫藥生產等輕工行業生產線中，普遍存在著諸如分揀、拾取以及貼標等大量重復性工作，通常需要高效、快速的自動化機械手代替人工進行操作。這類機械手通常要求具備速度快、精度高、操作靈活等特點，同時，在沿輸送帶運動方向上，機械手的移動速度應比其他方向更快、工作空間更大[1]。

目前，用于生產線操作的并聯機器人大多采用對稱型三平移機構，其中最具代表性的當屬CLAVEL[2]發明的Delta機器人，該機械手采用三條對稱布置的球面平行四邊形結構混合支鏈R-(SS)2，末端執行器可實現高速三維平移運動。KRUT等[3]和NABAT等[4]發明的由4條R-(SS)2混合支鏈構成的I4機構和Par4，黃田等[5]發明的由4條R-R-(RR)2-R混合支鏈構成的CrossⅣ機構，均可實現三平移一轉動高速運動。近年來，出現了多種對稱型三平移并聯機構，如3-PUU、3-RRC[6-7]、3-UPU[6]、3-RRRPa[8](R表示轉動副，P表示移動副，Pa表示4R平行四邊形機構，C表示圓柱副)等拓撲結構形式，這類機構對稱性好、結構簡單、運動靈活，但也存在耦合性強、控制復雜等問題。而完全解耦的三平移并聯機構種類較少，目前只有3-CPR[8]、3-PRRR[9]、3-PRR[10]等少數對稱構型，但在高速運動操作方面并沒有特別的優勢。

根據前述生產線操作的具體特點，本文采用R-R-(RR)2-R混合支鏈設計一種新型弱耦合平面對稱型三平移高速機器人機構，通過建立機構運動學方程并分析其工作空間、奇異位形等運動學性能，為機器人結構設計及工程應用提供理論基礎。

1 機構設計與拓撲分析

設計2RRPaR+PPaP(下劃線表示驅動副)三平移抓放機械手三維模型如圖1所示。動靜平臺由3條主動支鏈連接，其中2條平面對稱支鏈為RRPaR結構，支鏈轉動副由電機驅動；中間支鏈為PPaP結構，上移動副通過同步帶驅動，可實現機械手沿運輸帶縱向移動。

圖1 三維模型Fig.1 3D model of the robot

機構原理簡圖見圖2。在中間支鏈上移動副中心O點(初始位置和定平臺中心重合)建立笛卡兒坐標系Oxyz，x軸平行于OA1方向，z軸豎直向上，根據右手定則確定y軸沿中間移動副導路方向。2條RRPaR對稱支鏈中，Ai、Bi、Ci(i=1，2)處的轉動副軸線均平行于y軸方向，4R平行四邊形(Pa)中的R副軸線與Ci點處的轉動副軸線垂直，該支鏈末端構件可實現三平移一轉動運動。中間支鏈中，O點處移動副軸線沿y軸方向，E點處移動副平行于z軸，4R平行四邊形中的R副軸線垂直于xz平面，該支鏈末端可實現三平移運動。

圖2 機構原理圖Fig.2 Schematic diagram of mechanism

根據方位特征理論[11]，機構動平臺中心P點的運動輸出方位特征(POC)集為

式中，ν為機構的回路數，ν=2;t、r分別為移動和轉動特征;Mbj為第j條支路末端構件的POC集。

可見，該機構可實現三平移運動輸出，其運動特征取決于中間支鏈，這種支鏈稱為恰約束支鏈[12-13]或方位特征支鏈[14]。另外，根據機構結構特征，機構沿y軸方向的移動取決于中間支鏈的驅動副移動范圍，不受2條RRPaR支鏈的影響，因此該機構具有部分解耦的特點。

2 機構位置分析

2.1 位置逆解

根據圖2中建立的坐標系，設2條對稱支鏈RRPaR的驅動桿AiCi與x軸夾角分別為θ1、θ2，OAi和PBi的長度分別為a、b，l1、l2分別為AiCi桿和BiCi桿的長度。中間支鏈沿y軸的位移為s，動平臺中心P點坐標為(xP,yP,zP)T，A1、A2點的位置坐標分別為A1=(a,0,0)T，A2=(-a,0,0)T，則Bi點、Ci點的坐標分別表示為

根據BiCi桿桿長約束條件

‖Ci-Bi‖=l2

(1)

可得運動方程為

(2)

根據式(2)，整理可得

Gi1sinθi+Gi2cosθi+Gi3=0i=1,2

(3)

G11=2(a-b-xP)2l11G12=-2l2zP

G21=2(a-b+xP)2l21G22=-2l21zP

由此可求解機構的逆解方程為

(4)

2.2 位置正解

已知支鏈驅動桿輸入分別為θ1、θ2，中間支鏈沿y軸位移為s，則式(2)可轉化為如下形式：

(5)

i=1,2

E1=b-a-l1cosθ1E2=a-b+l1cosθ2

Fi=l1sinθi

由于式(5)為二元二次方程組，可求得機構的正解方程如下：

(6)

該機構由于耦合度低，故可以求得正解的連續方程，且x、z方向的運動只與機構支鏈的輸入角度有關，y方向的運動只取決于中間支鏈的移動，均有利于機構的軌跡規劃與控制程序的簡化。

3 速度、加速度分析

3.1 速度分析

式(2)兩邊同時對時間求導，整理后，可得速度方程：

(7)

Jq11=1

Jq22=(xP-a+b-l1cosθ1)l1sinθ1+
(zP-l1sinθ1)l1cosθ1

Jq33=(xP+a-b+l1cosθ2)l1sinθ2+
(zP-l1sinθ2)l1cosθ2

若JX非奇異，則

(8)

J=(JX)-1Jq

式中，J為機構雅可比矩陣。

若Jq非奇異，則

(9)

J-1=(Jq)-1JX

式(8)、式(9)分別為機構速度的正反解方程。

3.2 加速度分析

對式(7)兩邊求導，整理得

(10)

若JX非奇異，則

(11)

若Jq非奇異，則

(12)

式(11)、式(12)分別為機構加速度的正反解方程。

4 奇異分析

機構的奇異狀態可通過速度雅可比矩陣JX和Jq進行判斷。

4.1 逆解奇異

機構逆解奇異發生的條件為

(13)

根據式(7)，對應Jq22=0或Jq33=0，整理后得

(14)

或

(15)

由式(14)對應的機構平面位置如圖3a所示，此時，B2C2與B1B2共線；當式(14)、式(15)均滿足，則機構平面位置如圖3b所示，B2C2、B1B2、B1C1均共線，此時，機構無法承受豎直方向的載荷，從而失去控制。由圖3結構可知，當l1>l2時，有可能發生這種奇異，若要避免這種奇異，設計時要使l1

(a)滿足式(14)的機構平面位置

(b)滿足式(14)、式(15)的機構平面位置圖3 逆解奇異Fig.3 Singular of inverse solution

4.2 正解奇異

機構正解奇異發生的條件為

(16)

根據式(16)整理后可得

(xP-b+a)sinθ2+zPcosθ2=0

(17)

式(17)化簡、整理后可得

(18)

此時機構到達工作空間邊緣位置，AiCi與BiCi拉直共線(圖4a)或重疊共線(圖4b)。

當det(JX)=0，det(Jq)=0時，則可能出現正解奇異和反解奇異的混合情況，稱為混合奇異。此外，為了描述方便，文中僅將RRPaR支鏈中平行四邊形簡化為BiCi桿進行分析，而平行四邊形閉合支鏈本身也會出現奇異位形，文獻[15]對此作了詳細描述，這里不再贅述。

5 工作空間分析

工作空間的約束包括桿長約束和角度約束。

(a)AiCi與BiCi拉直共線

(b)AiCi與BiCi重疊共線圖4 正解奇異Fig.4 Singular of forward solution

本機構主要包括驅動角度約束和移動桿長約束，約束條件可以表示為

(19)

qmax=l2cosαi

式中，θmax、θmin為驅動角最大值、最小值；qmax為沿y軸移動的單向最大距離；αi為支鏈中平行四邊形所夾銳角。

考慮到中間支鏈對機構運動的約束，根據OE桿長約束條件，可得

(20)

式中，l3為OE桿桿長；l4為PE桿桿長。

由于生產線中沿運輸帶方向(即沿y軸方向)需要較大的工作空間，盡管沿y軸方向的移動具有解耦性，但根據式(19)，其移動范圍s受到l2長度的限制，因此BiCi桿長應取較大值。同時考慮機構的對稱性以及轉動副的實際運動能力，設定機構的幾何參數如表1所示。選擇動平臺中心P點作為參考點，根據機構的有效可達空間，搜索高度h區間設定為[0, -800] mm。

表1 機構參數

通過極坐標搜索法對機構工作空間進行搜索，所得工作空間如圖5所示。圖5a為三維工作空間實體圖，顯示本機構可達工作空間范圍較大，連續性較好。由于機構的兩條RRPaR支鏈對稱布置，因此工作空間形狀是一個關于xz平面完全對稱的空間體，投影如圖5b、圖5c、圖5d所示。對工作空間圖形沿y軸方向進行剖層分析，當y=0時，截面圖顯示無空洞，如圖5e所示。隨著y軸沿正方向移動，截面形狀向x軸兩端以及z軸正方向擴大，可見機構的工作空間連續性良好，表示在此平面內，動平臺參考點P可到達該平面范圍內的任意位置，如圖5f所示。當y=300 mm以上時，機構z軸方向上可達最低點明顯上升，表面工作空間到達極限位置，圖形開始逐步收斂，如圖5g、圖5h所示。機構在y軸負方向運動空間形狀與正方向一致，關于xz平面對稱。

(a)三維圖 (b)xy投影圖

(c)xz投影圖 (d)yz投影圖

(e)y=0 (f) y=200 mm

(g)y=300 mm (h)y=450 mm圖5 工作空間Fig.5 Workspace of the mechanism

可見，機構的工作空間在所給定參數范圍內具有良好的連續性，沿y軸方向的工作空間主要取決于l2及沿y軸移動的距離，l2越大，工作空間越大，且該機構的工作空間具有良好的對稱性。

6 模型求解與驗證

設定機構的結構參數如表1所示，驅動輸入按下式給定的函數：

(21)

根據上述運動正解方程(式(6)、式(8)、式(11))，采用MATLAB編程分別求解位移、速度、加速度曲線。為了驗證運動數學模型的正確性，采用同樣參數在ADAMS環境中建立機構的三維仿真模型。

由于沿y軸方向的輸入s是解耦的，對其他方向的運動不產生影響，因此這里只繪制了x軸、z軸方向運動輸出曲線。經仿真，可得機構位置正解的運動曲線如圖6所示。圖6a、圖6b分別為x軸、z軸方向的位移曲線，圖6c、圖6d為速度曲線，圖6e、圖6f為加速度曲線。圖中，實線表示由ADAMS三維模型所得的運動曲線，而虛線表示由上述推導的機構正解運動方程所得曲線。由圖6可知，兩者所得運動曲線基本一致，從而驗證了上述所建立的位移、速度、加速度運動正解方程的正確性。

7 結論

(1)根據生產線用操作手的工作特點，設計了一種2-RRPaR+PPaP三平移弱耦合并聯機器人機構，該機構具有對稱性好、結構簡單、控制方便、運動靈活快速的特點。

(2)以機構桿長為約束條件，建立了機構的運動正反解方程。根據速度雅可比矩陣，分析了機構的正解奇異和反解奇異情況，為機構參數設計提供了參考。

(3)采用極坐標搜索法，繪制了機構工作空間的三維圖形及其剖層圖，表明機構的工作空間連續，沿y軸方向具有較大的工作空間，滿足生產線工作的實際需求。

(a)動平臺沿x軸方向位移

(b)動平臺沿z軸方向位移

(c)動平臺沿x軸方向速度

(d)動平臺沿z軸方向速度

(e)動平臺沿x軸方向加速度

(f)動平臺沿z軸方向加速度圖6 運動學分析曲線Fig.6 Curves of kinematics analysis

(4)分別根據運動方程和三維仿真模型繪制了機構的位移、速度、加速度曲線，二者高度接近，表明了所建立的運動學方程的正確性。

[1] RYNALDO, ZANOTELE, HEMERLY, et al. Structural Synthesis, Dynamic Modeling and Analysis of a 3-DOF Asymmetric Parallel Mechanism [C]// 13th World Congress in Mechanism and Machine Science. Guanajuato, México,2011:19-25.

[2] CLAVEL R A. Fast Robot with Parallel Geometry [C]// Proceedings of 8th International Symposium on Industrial Robots. Sydney, 1988:90-100.

[3] KRUT S, BENOIT M, OTA H, et al. I4: A New Parallel Mechanism for SCARA Motions[C]// Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation. Taibei, China: IEEE, 2003: 1875-1880.

[4] NABAT V, COMPANY O, KRUTS, et al. Par4: Very High Speed Parallel Robot for Pick-and-place[C]// Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems. New York: IEEE, 2005:1202-1207.

[5] 黃田，趙學滿，梅江平,等. 一種具有三維平動一維轉動的并聯機構：中國，ZL201220007884.X[P]. 2012-11-14. HUANG Tian ，ZHAO Xueman，MEI Jiangping, et al. A Parallel Mechanism with Three Translations and One Rotations: China，ZL201220007884.X[P]2012-11-14.

[6] 尹小琴，馬履中. 三平移并聯機構3-RRC的工作空間分析[J]. 中國機械工程, 2003, 14(18):1531-1532 YIN Xiaoqin, MA Lüzhong. Workspace Analysis of a 3-DOF Translation Parallel Mechanism of 3-RRC[J]. China Mechanical Engineering, 2003, 14(18):1531-1532

[7] 尹小琴，楊啟志，馬履中，等．3-RRC 并聯機構的變拓撲結構及其特性分析[J]. 中國機械工程, 2006, 17(24):2531-2534. YIN Xiaoqin，YANG Qizhi，MA Lüzhong. Variable Topological Structure of Parallel Mechanism 3 - RRC and Its Characteristic Analysis[J]. China Mechanical Engineering, 2006, 17(24):2531-2534.

[8] 黃真，李秦川．三自由度移動并聯機器人機構：中國，CN1311083[P]. 2001-09-05. HUANG Zhen，LI Qinchuan. Three Degrees of Freedom Mobile Parallel Robot Mechanism: China，CN1311083[P]. 2001-09-05.

[9] KONG Xianwen, GOSSELIN C M. Type Synthesis of in Output Decoupled Parallel Manipulator[J]. Translations of the Canadian Society for Mechanical Engineering, 2004,28(2):185-196.

[10] LI W M, GAO F, ZHANG J J, et al. A Decoupled Parallel Manipulator only with Revolute Joints[J]. Mechanism and Machine Theory, 2005,40(4):467-473.

[11] 楊廷力. 機器人機構拓撲結構學[M]. 北京：機械工業出版社，2004. YANG Tingli. Robot Mechanism Topology[M]. Beijing: Machinery Industry Press，2004.

[12] 黃田，李矇，吳孟麗,等. 可重構PKM模塊的選型原則——理論與實踐[J]. 機械工程學報, 2005, 41(8): 36-41. HUANG Tian, LI Meng, WU Mengli, et al. Criteria for Conceptual Design of Reconfigurable PKM Modules—Theory and Application[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering,2005,41(8):36-41.

[13] 劉萍莉. 含有中間約束分支的三自由度并聯機構綜合與性質研究[D]. 秦皇島：燕山大學, 2007. LIU Pingli. Study on the Synthesis and Properties of 3-DOF Parallel Mechanism with Intermediate Constraint Branches[D]. Qinhuangdao: Yanshan University,2007.

[14] SHEN Huiping, YANG Liangjie, ZHU Xiaorong, et al. A Method for Structure Coupling-reducing of Parallel Mechanisms[C]// The 2015 International Conference on Intelligent Robotics and Applications. Portsmouth UK: 2015, 199-210.

[15] 朱偉，耿林，許兆棠,等. 含4R回路并聯機構奇異位置分析[J]. 機械傳動，2016,40(3)：17-22 ZHU Wei, GENG Lin, XU Zhaotang. Singular Position Analysis of Parallel Mechanism with 4R Circuit[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2016,40(3)：17-22

(編輯 王艷麗)

A Novel Weak-coupling Three-translation Parallel Robot Mechanisms and Its Kinematics Analysis

ZHU Wei DAI Zhiming LIU Xiaofei SHEN Huiping ZHU Xiaorong HE Baoxiang

School of Mechanical Engineering, Changzhou University, Changzhou,Jiangsu,213016

A weak-coupling three-translation parallel robot mechanisms was introduced, which was composed of two RRPaR branches and one PPaP. Firstly, the topological structural characteristics and DOF of the mechanism were analyzed through POC(position and orientation characteristics) theory. Secondly, the forward and inverse solutions of the mechanism and the model of velocity and acceleration were derived. Based on the speed Jacobi matrix, the singular positions of the mechanism were analyzed. According to the inverse solution equations and the main constraints of the mechanism, 3D polar boundary search method was used to draw the 3D solid and sectional drawings of the mechanism. The displacement, velocity and acceleration curves obtained from the solid model and mathematical model were basically consistent, which verified the correctness of the motion equations. The mechanism has the advantages of good decoupling performance, simple structure and flexible movement, and has the advantages of partial decoupling and large working spaces in the longitudinal direction of movement, and is suitable for the automatic operations of the automata structures for production lines.

weak-coupling; parallel mechanism; three-translation; kinematics analysis

2016-07-15

國家自然科學基金資助項目 (51075045)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20161192)；江蘇省產學研前瞻項目(BY2015027-24)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.13.008

朱 偉，男，1976年生。常州大學機械工程學院副教授。主要研究方向為機器人機構學。E-mail:80498761@qq.com。戴志明，男，1990年生。常州大學機械工程學院碩士研究生。劉曉飛，男，1990年生。常州大學機械工程學院碩士研究生。沈惠平，男，1964年生。常州大學機械工程學院教授。朱小蓉，女，1972年生。常州大學機械工程學院副教授。何寶祥，男，1966年生。常州大學信息工程學院教授。