基于耦合分析與加權滿意度的機械系統多目標協同優化方法

馬 軍 武柳洋 何文斌 明五一 曹 陽

鄭州輕工業學院機電工程學院，鄭州，450002

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基于耦合分析與加權滿意度的機械系統多目標協同優化方法

馬 軍 武柳洋 何文斌 明五一 曹 陽

鄭州輕工業學院機電工程學院，鄭州，450002

針對機械系統優化中因設計變量耦合關聯導致的優化結果可靠性問題，提出了基于加權滿意度的耦合關聯機械系統多目標協同優化方法。建立機械系統設計變量耦合關聯模型，采用最大-最小滿意度函數法，并考慮各子目標的相對權重，建立基于權重加權和的多目標協同優化評價函數，將多目標優化問題轉變為單目標優化問題。以掩護式液壓支架四連桿機構-結構多目標協同優化為對象的應用表明，提出的方法簡化了耦合關聯機械系統多目標優化求解的復雜度，而且提高了優化結果的可靠性。

多目標優化；耦合關聯；滿意度；掩護式液壓支架

0 引言

許多機械裝備的主要承載構件是離散結構，如液壓支架、升降臺支架和夾持機器手等，這些離散結構必須通過一定的機構運動完成其承載功能，因此其本質上是一個機構-結構耦合關聯的機械系統。在此類機械系統中，每個子系統(如機構和結構)都有其特定的功能和獨特的設計方法，這些子系統相互協調，協同實現機械系統的整體功能。

近年來，許多學者對機構-結構耦合關聯機械系統設計進行了研究，其研究思路一般是首先對結構進行設計，然后根據系統的性能要求設計機構系統。楊毅等[1]分別以結構柔度最小化和結構效率最大化為優化目標函數，對圓柱式折疊結構進行了拓撲布局優化。劉成穎等[2]針對機床結構薄弱件立柱進行結構優化，提出了一種基于拓撲優化、筋板形式選擇與布局以及尺寸優化的結構設計方法。周明剛等[3]為提高船式拖拉機的動態性能，針對船式拖拉機機架進行多目標優化設計。羅文豹等[4]以平臺可控性能和平臺結構尺寸的加權綜合最優為目標函數，采用加速遺傳算法，對一款帶防扭臂的三自由度平臺的機構參數進行了優化。曹紅娟[5]利用ANSYS 有限元軟件對運載火箭上的面級發動機用機架的結構進行了優化。李曉舟等[6]運用數值分析軟件MATLAB實現了異形片剎車機構的多目標規劃和優化設計。李治多等[7]以各工況載荷下的結構剛度最大化為優化目標函數，基于線性加權和法建立多工況下結構拓撲優化設計模型。

已有文獻研究表明，機構-結構耦合關聯機械系統設計問題在大多數情況下是多目標協同優化問題[8]，也就是在整體系統優化目標中同時包含技術性(如機構的安全性和可靠性)和經濟性(如結構的成本和質量)兩類評價指標，而且各評價指標之間通常是互相沖突的，一般情況下不存在同時使所有目標都達到最優的解，而只能得到滿意解[9]。但由于機械系統各個子目標的設計變量之間存在耦合關聯性，得到的滿意度函數的估計很不可靠，這使得常規優化方法在耦合關聯機械系統多目標協同優化上受到很大限制[10]，設計決策者難以合理協調不同目標之間的沖突和耦合關系。

本文旨在解決機構-結構耦合關聯機械系統設計中多目標、多變量耦合問題，提出機械系統耦合建模及其多目標協同優化方法，采用加權滿意度函數法逼近多目標協同優化模型，從而獲得相對優化的滿意解，提高求解結果的可靠性。

1 耦合關聯機械系統多目標協同優化方法

在耦合關聯機械系統多目標協同優化中，各子目標的相對重要程度、數量級和量綱存在較大的差異，很難使其各子目標同時達到最優，而只能在設計決策過程中采用多目標協同處理方式，將復雜的多目標優化問題轉變為較為獨立的單一目標優化問題，并協調單一目標間的關聯關系，以獲得一個總體設計方案的滿意解，顯然這是一個反饋迭代、多方博弈的過程，其過程(圖1)如下：

圖1 機械系統多目標協同優化的處理過程Fig.1 The process of multi-objective cooperative optimization of mechanical system

(1)通過設計變量關聯性分析，按耦合度定性區分設計變量的特征。

(2)建立設計變量的設計結構矩陣，對耦合變量進行解耦，以獲得獨立的優化變量。

(3)建立評價指標下各個子目標函數及其約束，并選擇對應子目標的滿意度函數形式。

(4)根據專家評價打分法，確定各子目標的相對重要性權重因子。

(5)對各子目標滿意度函數加權，形成加權滿意度的多目標評價函數。

(6)對加權滿意度評價函數進行優化求解，并對解的滿意解進行綜合評價。

2 機械系統多目標協同優化中的耦合關聯分析

機械系統多目標協同優化問題的典型特征就是各子目標通過設計變量發生關聯，即一個目標領域內某些約束中的設計變量需要滿足其他目標領域中的約束關系，甚至這些變量的決策權都是由其他目標領域控制的，因此，需要對設計變量進行全局分析。圖2給出了一個典型的多目標協同優化耦合關聯模型，描述了子目標間的耦合關系。

圖2 機械系統多目標協同優化的耦合關聯模型Fig.2 Coupled correlation model for multi-objective cooperative optimization of mechanical system

根據設計變量在耦合關聯機械系統中發揮的作用，將其劃分為系統變量、局部變量和接口變量三種類型。

(3)接口變量Yij(Yji)表示影響子目標j(i)但受目標領域i(j) 控制的接口變量。

顯然，局部變量為子目標的獨立優化變量而不需要解耦；系統變量在進行協同尋優過程中某一時刻，該變量的值在各子目標中是一致的，因此，盡管系統變量與接口變量可能會存在耦合關系，但可假設系統變量為常量，因此最終只有接口變量具有跨子目標的耦合關聯現象，在進行協同尋優計算之前，必須經過解耦處理，使之在耦合關聯機械系統各目標領域中發揮獨立優化變量的作用。

設計結構矩陣是識別并解耦對象關聯關系的有效方法，它以矩陣形式間接地表達了復雜過程中變量間信息的依賴關系[11]，如圖3所示，該矩陣具有如下特性:

YnnX1X2…XnX1X2

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圖3 基于設計結構矩陣的設計變量解耦

Fig.3 Decoupling of design variables based on design structure matrix

(1)對稱性。矩陣中以主對角線為對稱軸的兩元素相等。

(2)主對角線元素為1，表示變量與自身的耦合度。

(3)耦合矩陣表示機械系統中變量之間的耦合關系。

通過耦合矩陣，可以明確接口變量的數量和耦合度并進行處理，其基本思路是，在考慮子系統之間變量的輸入輸出關系時，接口變量可以通過其輸入子目標系統內的表達式轉換為局部變量，從而實現變量解耦。

3 基于加權滿意度的耦合關聯機械系統多目標協同優化模型

3.1 最大-最小滿意度函數

滿意度函數法是將每個子目標函數轉換成滿意度函數，求各子目標的幾何均值，然后使其最大化，從而使多目標問題轉化為單一目標問題。一般來講，如果單一目標間具有一定的相關性，則基于滿意度函數的優化將不可靠，但可通過最大-最小化指數滿意度函數來對多目標函數進行建模，以獲得穩健可靠的優化結果。

(1)對于最小期望，其滿意度函數可表示為

(2)對于最大期望，其滿意度函數可表示為

式中，ai為第i個子目標滿意度函數si的當前解；dmin為第i個子目標滿意度函數si的最小值；dmax為第i個子目標滿意度函數si的最大值；mi為指數常數，決定滿意度函數的類型，本文子目標滿意度函數采用線性函數形式，即取mi=1。

3.2 多目標協同優化加權評價函數

評價函數構建有理想點法、最大最小法以及線性加權和法。其中，線性加權求和法選取不同的權重因子，進而獲得多個加權滿意度函數，通過求解多組最優解并進行比較，是一種最為簡單有效的求解方法。

本文選取加權滿意度作為多目標協同評價函數進行建模，即通過定義各子目標的權重因子，將多目標問題的評價函數線性化為各子目標滿意度函數的加權。其中，權重因子的合理性直接影響最終優化結果的可靠性，這需要有一個客觀的評價指標體系。

假定產品優化過程中需滿足n個子目標，記為s=(s1,s2,…,sn)，它們對總體目標的權重記為W=(w1,w2,…,wn)。取2個子目標sk與sl，用wkl表示sk與sl對總體目標的影響之比，即各子目標兩兩相對重要程度的比較。全部比較結果用矩陣W=[wkl]表示，其中，wkl可用客觀賦權法給定子目標的權值，如表1所示。

表1 評價指標量化指數

4 應用案例

掩護式液壓支架是實現高效率、高產能的煤礦綜采設備，該設備能夠對綜采工作面的頂板實現可靠的支撐和控制，對采空區進行隔離，并對回采工作面和推進輸送機進行保護，防止矸石進入[12]。四連桿機構是掩護式液壓支架的主要穩定和承力構件，為保證液壓支架的強度和剛度及工作需求，四連桿的質量往往都很大，約占液壓支架總質量的15%～20%[13]。對掩護式液壓支架四連桿進行優化設計，目的在于尋求既安全又經濟的掩護式液壓支架系統，使其在提供最大承載前提下，減小結構質量，屬于典型的機構-結構耦合關聯的機械系統多目標協同優化問題。

4.1 掩護式液壓支架四連桿機構-結構解耦分析

掩護式液壓支架四連桿的拓撲結構如圖4所示，其中，l1為后連桿長度，l2為掩護梁長度，l3為前后連桿上鉸點距離，l4為前連桿長度，l5為前連桿下鉸點與底座距離，l6為前后連桿鉸點在底座的水平距離，α、γ、β分別為后連桿、掩護梁和前連桿的水平角度。

圖4 掩護式液壓支架四連桿的拓撲結構Fig.4 Topological structure of four-link of protective hydraulic support

由圖4可知，頂梁運動軌跡與E點運動軌跡一致，只要已知任意高度He，則其他各鉸點的位置都可計算出來。

然后根據掩護式液壓支架實際工況，進行圖5所示的液壓支架四連桿機構動力學分析。

圖5 掩護式液壓支架四連桿的機構動力學分析Fig.5 Mechanism dynamic analysis of four-link of protective hydraulic support

聯立如下方程組，可計算出支架頂梁所受外載荷以及前后連桿受力：

式中，Q為支架頂梁外載荷，方向與頂梁正交；μQ為縱向水平載荷；μ為頂板與頂梁間的摩擦因數；Nf、Nv分別為前后連桿受力；Ps為平衡千斤頂的推(拉)力；Pt為立柱支撐力；Kx、Ky分別為掩護梁重力K在x、y方向上的分力；Nxe、Nye分別為x、y方向上力的平衡方程；α1、α2分別為支柱工作阻力和平衡千斤頂推力與y方向的夾角。

4.2 優化模型的建立

基于上述掩護式液壓支架四連桿機構-結構分析，根據優化變量獨立性原則，掩護式液壓支架四連桿機構-結構的關聯解耦模型如圖6所示。

圖6 掩護式液壓支架四連桿機構-結構耦合分析Fig.6 Mechanism-structure coupling analysis of four-bar of protective hydraulic support

根據掩護式液壓支架四連桿機構-結構的關聯解耦模型，取四連桿優化設計變量為

X=(x1,x2,…,x6)=(l1,l2,…,l6)

掩護式液壓支架四連桿的優化目標就是求解具有最小質量的拓撲結構和最高的機構工作性能(包括結構變形、應力水平、整體與局部穩定性、動力特性)，使液壓支架獲得最優良的力學特性和最經濟的制造成本，因此各子目標函數如下:

(1)在材料密度均勻的前提下，四連桿結構的總質量最小，即

式中，ρ為單位長度桿的質量，由于假定各桿材料密度相同，故ρ為一常量。

(2)為使結構發揮最大的承載能力，以各對應工況載荷下的結構剛度最大(即柔度最小)為子目標函數，即前后連桿的受力之和最小：

f2(x)=|Nf|+|Nv|

約束條件包括：①前后連桿的比值范圍g1，即l4/l1為0.9～1.2；②前連桿的高度取值范圍g2，即l4

4.3 優化模型的滿意度函數

分別求出兩個子目標函數在約束下的最優解和最劣解，如表2 與表3所示。

表2 子目標f1(x)的最優解與最劣解

表3 子目標f2(x)的最優解與最劣解

根據子目標函數的分布特征，建立基于各評價指標的子目標滿意度函數，即

采用加權滿意度對掩護式液壓支架四連桿進行多目標協同優化，多目標評價函數為

minS(x)=w1s1(x)+w2s2(x)

由于掩護式液壓支架四連桿的工作空間受限，優化目標重點應放在機構承載能力優化上，因此提升機構的承載能力明顯比減小機構的體積重要。設結構質量評價指標的權重為w1，機構承載能力評價指標的權重為w2，根據表1取w1=1，w2=5，則權重判斷矩陣為

S(x)=0.167s1(x)+0.8333s2(x)

優化結果如表4所示，評價函數S=0.956≥0.9，各目標函數的滿意度s1=0.902≥0.9，s2=0.967≥0.9，符合滿意度函數約束。

表4 優化前后設計變量對比

與優化前對比，優化后桿總長度減小2.8%(等同于桿總質量減小量)，前后連桿受力減小了5.4%。桿總長度減小量相對受力減小量小的原因，一是兩目標函數進行了差異化的權重配置，二是設計變量對各目標函數的敏感性有差異。

5 結論

耦合關聯機械系統多目標優化中各子目標往往是相互矛盾的，一般情況下不存在最優解而只能得到滿意解，但由于設計變量的耦合性帶來子目標的相關性，使得滿意度函數估計很不可靠。本文通過機械系統多目標耦合關聯解耦，將變量耦合關系轉化為優化設計變量的一致性表達，在此基礎上建立基于加權滿意度的多目標協同優化評價函數，不僅提高了優化解的可靠性，而且還能對優化解進行滿意度評價，從而更好地反映設計人員的設計意圖和用戶需求。雖然本文研究問題的引入對象是機構-結構耦合關聯的機械系統，但該方法對其他具有復雜耦合關聯現象的機械系統設計同樣具有借鑒作用。

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(編輯 蘇衛國)

Multi-objective Collaborative Optimization Method for Mechanical Systems Based on Coupling Analysis and Weighted Satisfaction Degree

MA Jun WU Liuyang HE Wenbin MING Wuyi CAO Yang

School of Mechanical and Electrical Engineering,Zhengzhou University of Light Industry， Zhengzhou，450002

Aiming at the mechanical system optimization result reliability problems caused by design variables coupling relation, based on weighted degree of satisfaction and coupling relation, a mechanical system multi-objective collaborative optimization method was proposed. At first, the coupling model for design variables of mechanical systems was established. And then, using maximum-minimum satisfaction function, considering sub-objective weighting factors, a weighted multi-objective collaborative optimization evaluation function was build. At last, the applications of mechanism-structure multi-objective collaborative optimization design of shield type hydraulic support four-bar prove the method may simplify optimization solution processes and improve the optimization result reliability.

multi-objective optimization; coupling relation; satisfaction degree; shield type hydraulic support

2016-08-22

國家自然科學基金資助項目(U1404621)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃資助項目(2015GGJS-183);河南省科技攻關計劃資助項目(162102210053)

TH165

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.13.010

馬 軍，男，1977年生。鄭州輕工業學院機電工程學院教授、博士。主要研究方向為大批量定制、模塊化設計和PDM/PLM。發表論文20余篇。E-mail:78983836@qq.com。武柳洋，男，1988年生。鄭州輕工業學院機電工程學院碩士研究生。何文斌(通信作者)，男，1970年生。鄭州輕工業學院機電工程學院教授。E-mail:hwb@zzuli.edu.cn。明五一，男，1981年生。鄭州輕工業學院機電工程學院講師、博士。曹 陽，女，1987年生。鄭州輕工業學院機電工程學院講師、博士。