高中數學中的關系、映射與反演方法淺說

王劍

在醫院，我們常常會看到外科醫生在診斷內傷病人時，先請病人透視拍片，再根據底片判斷內傷的位置和程度，從而制訂治療方案，然后，按照這一方案進行治療.外科醫生的這種工作方法，我們在處理數學問題時也常常用到，例如，

解方程6x2-2x+6+x2-2x=21.

很顯然本題直接求解難度較大，于是令y=x2-2x+6，可把原方程轉化為y2+6y-27=0，從而求得y=3或y=-9（舍），進而得到x2-2x+6=3，所以，原方程的解為x1=-1，x2=3.

上面的例子給出了如下數學方法的生活背景和簡單舉例.

一、關系、映射、反演方法的闡釋

一個數學問題，都是由一些已知的數學對象、數學關系和待定的數學對象與關系（都稱為“原象”）組成的，我們希望由此求得未知的元素，如果直接求解比較困難時，往往可以尋求一個映射，把“原象”映射成“映象”，通過映象關系求得未知元素的映象，最后，“反演”求得未知元素.

RMI是關系（Relationship）、映射（Mapping）、反演（Inversion）的簡稱，這一過程可以用如下框圖表示：

RMI方法是一種普遍的工作方法，它可以化生為熟、化難為易、化繁為簡，在高中數學中有著廣泛的運用，例如，換元法，對數法，復數法與向量法，坐標法，參數法，數學模型法等，都可以被理解為RMI方法的應用.

二、RMI方法在高中數學中的應用

（一）換元法

本文開頭舉的例子本質上就是通過換元法求解的，可見，換元法是RMI方法的典型應用.

例1若p∈R且|p|<2，不等式（log2x）2+plog2x+1>2log2x+p恒成立，求實數x的取值范圍.

分析如果把不等式看成關于log2x的不等式，則問題很難入手，于是我們通過變換主元，看成關于p的一次不等式，則容易解決.為了化超越不等式為代數不等式，我們可以令a=log2x，于是不等式可以寫成（a-1）p+a2-2a+1>0，再將其轉化為函數，令f（p）=（a-1）p+a2-2a+1，根據題意f（p）>0恒成立，即

f（2）>0，

f（-2）>0 2（a-1）+a2-2a+1>0，

-2（a-1）+a2-2a+1>0，

解得a>3或a<-1，對應x>8或0

通過換元法可以將一些元素化歸，化超越不等式為代數不等式，化無理不等式為有理不等式，化高次不等式為低次不等式等，在運用RMI方法時，關鍵就在于選取恰當的映射，使問題中本難解決的元素變得易于確定.

（二）復數法與向量法

一個復數z=x+iy本質上是由一對有序實數（x，y）唯一確定的，于是能夠將平面上的點與全體復數建立一一對應的關系.在高中數學中，向量的概念是作為復數的一個幾何意義提出來的，這樣一來，以原點為起點的向量與復數、復平面上的點這三者間建立了一個映射關系，彼此可以互相轉化.

例2誘導公式cosπ12-α=sinα，sinπ12-α=cosα的復數證明.

證明令z=cos（-α）+isin（-α），則

iz=cosπ12+isinπ12[cos（-α）+isin（-α）]

=cosπ12-α+isinπ12-α，

又iz=icos（-α）+i2sin（-α）=sinα+icosα，

由復數相等的條件可以推得cosπ12-α=sinα，

sinπ12-α=cosα.

例3若等邊三角形ABC的邊長為23，平面內一點M滿足CM=116CB+213CA，則MA·MB=.

分析本題可以選取不共線的CB和CA作為一組基底，其他向量可用這一基底線性表示.

答案-2（過程略）.

解決向量問題的途徑之一就是尋找一組合適的基底，然后，將題中所有向量通過映象關系用基底線性表示，最后，反演得到結論，使問題得以很好解決.這也是“基本量”在RMI方法中的經典例證.

當然本題也可建立適當的坐標系，把幾何問題映射為代數問題，通過代數運算求出未知關系，把該關系通過反演解決某個幾何問題，在高中階段，坐標法通常是指平面直角坐標系和極坐標系.

（三）參數法

參數法，顧名思義，就是在解決某一數學問題時，根據問題的特點，合理地選擇其長度、面積、角度、體積等參數，由其映象關系簡化運算、降低難度.對于平面解析幾何的問題，可運用其參數方程，也是參量法解題的一個重要方面，體現了RMI方法對于高中數學中的解析幾何問題的優越性.

例4（2016年高考全國Ⅰ卷第20題）設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（Ⅱ）設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

解（Ⅰ）所求軌跡方程為x214+y213=1（過程略）.

（Ⅱ）根據題意，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，所以直線l的傾斜角不為π12.

可設直線MN的參數方程為x=1+tcosθ，

y=tsinθ （t為參數，θ為傾斜角）.①

因為直線PQ與直線MN垂直，所以傾斜角相差π12，

所以直線PQ參數方程為x=1-msinθ，

y=mcosθ （m為參數，θ+π12為傾斜角）.②

將 ① 代入x214+y213=1，

整理得（3+sin2θ）t2+6tcosθ-9=0（Δ>0）；

∴t1+t2=-6cosθ13+sin2θ，t1t2=-913+sin2θ，

∴|t1-t2|=（t1+t2）2-4t1t2

=36cos2θ+36（3+sin2θ）13+sin2θ=1213+sin2θ.

同理將②代入圓方程x2+y2+2x-15=0中，

整理得m2-4msinθ-12=0（Δ>0）；

∴m1+m2=4sinθ，m1m2=-12，

∴|m1-m2|=（m1+m2）2-4m1m2=43+sin2θ，

∴S=112|t1-t2|·|m1-m2|=24113+sin2θ，0<θ<π，

∴S∈[12，83）.

分析本題考查的是橢圓的標準方程和直線的相關知識，對運算能力要求較高，一般來說，對于直線和圓錐曲線的交點問題，常常是聯立方程組通過韋達定理來求解的，這種常規思路的求解一來計算量較大，二來學生容易產生思維定式，不利于學生創新思維的培養.筆者采用參數方程的方法，不僅開拓了解題思路，且能提高學生觀察、分析問題的能力.

三、RMI方法在高中數學教學中的意義

自從數學家徐利治先生完善了RMI方法后，該方法就成為數學學習與研究的基本方法之一，尤其是利用RMI方法指導解題時，往往能夠化生為熟，化難為易，化繁為簡，達到事半功倍的效果.RMI方法有利于鍛煉學生的數學思維，培養學生的數學核心素養.

（一）鍛煉學生的數學思維

數學學習是一個學生自己經歷發現、理解和反思數學問題的過程，數學問題多來源于生活，所以在學習過程中學生多把數學知識與已有生活經驗聯系起來，而數學概念高度抽象的特點，又讓學生產生困惑，這種“聯系”與“困惑”是RMI方法產生的原因.《普通高中數學課程標準（實驗稿）》倡導在教師的引導下，讓學生經歷“數學化”和“再創造”的活動過程.這個過程最初是由數學教育學家弗賴登塔爾提出來的，他認為：“數學研究的對象，是現實世界同一類事物或現象抽象而成的量化模式.”

RMI方法作為問題解決的策略性方法越來越受到一線教師和教育專家的重視，他們認為使用RMI方法解題時，能夠更好地關注學生的解題思路，鍛煉學生的數學思維.

（二）培養學生的數學核心素養

教育部《普通高中數學課程標準》修訂組組長王尚志教授提出，中國學生在數學學習上應當培養好數學抽象、直觀想象、數學運算、邏輯推理、數學建模、數據分析六大核心素養.

《標準》也鼓勵學生進行數學探究活動，強調“在數學過程中應該讓學生充分地經歷探索事物的數量關系，變化規律的過程”.換句話說，學生的“學”已經從接受學習變為探究發現學習，更加注重學習過程與學習體驗，更加講究學習策略和學習方法，在這樣的背景之下，RMI方法作為一種問題解決策略，強調發現未知元素與已有經驗間的聯系，從而可以建立適當映射，通過處理映象關系反演得到最終結果，這與新課程中“注重數學問題（概念、原理、法則、公式）的發生、探索、發現、論證及應用的全過程展開”和“重視培養學生的自主學習和探究能力”這兩方面不謀而合.

通過RMI方法，可以引導學生發現零碎知識點間的聯系，從而將這些知識系統化，并納入自己的知識體系之中，指導他們像數學家一樣，面對新的問題時，通過探索和學習，發現事物變化的起因和內在聯系，從而真正理解學習，達到培養學生核心素養的目的.

當然，在我們充分肯定RMI方法在高中數學教與學中的重要作用的同時，也應注意到，RMI方法也是不斷更新的，不能一味地使用舊的模式和思路，并且在原象與映象之間的有效映射也受每個人的認知結構和數學能力的制約，所以要不斷學習，分析和認識高中數學各知識之間的聯系，不斷將數學知識系統化.

本文探討了RMI方法的釋義及其在高中數學中的應用與意義，不當之處，還望同仁批評指正.

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