胸中有圖，見數想圖

彭尚峰

【摘要】“數形結合”是數學學習中要具備的重要解題意識，更是高中階段數學學習的法寶.本文首先分析了小學、初中階段的“數形結合”運用情況，接著重點分析了高中階段“數形結合”運用的必要性、主要策略以及應注意的事項，以期尋求一條高效的解題路徑.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；必要性；策略

“數”和“形”是數學的基本特征，有“數”就有“形”，“形”也離不開“數”，“以數賦形”“以形助數”是兩大解題策略.“數形結合”在高中數學中的運用非常普遍，它以其直觀、高效、便捷成為高中數學解決疑難問題的法寶.

一、“數形結合”的運用剖析

（一）在小學數學中的運用

在解決小學數學行程類的問題時，教師就會引導學生借助于“畫圖”的方式，將代數問題用幾何方法表示，從而降低問題的難度，使學生產生頓悟現象.如，小學數學中經常遇到的相對、相向行駛的應用題，只要輔之以圖，找出相同的要素，問題便一目了然了.不僅行程類問題，借助于“以形助數”，植樹的問題、花壇里放花的問題、串珠的問題等，都借助于圖形，使問題簡單明了.

（二）在初中數學教學中的運用

如果說小學數學是初識“數形結合”，讓學生初步了解和運用“數形結合”，那么初中對這一思想的運用更為普遍.如，數軸、有理數的學習、函數、方程等，尤其是幾何題，包括解三角形、周長、面積等問題無一不用到這一理念，助力數學解題輕松簡潔.

二、高中數學教學中“數形結合”運用的必要性

“數形結合”思想在小學數學中的滲透，對于小學生而言，無疑是“萌芽”狀態，到初中數學教學中，這一理念成為數學問題解決的“利器”.那么，高中數學中，更有必要滲透和運用這一理念，因為高中數學更加艱澀難懂，問題深奧不易解決，而“數形結合”使數學知識直觀化、數學問題簡單化、生動化，變抽象思維為形象思維.

高中數學教學中，數形結合的思想運用的情況總的來說有以下這些情況：（1）集合及其運算問題（數軸與Venn圖）；（2）利用函數圖像解決的問題——方程、不等式、恒成立、范圍問題等；（3）三角函數圖像的運用；（4）平面圖形、立體圖像的運用問題；（5）應用向量解決的有關問題；（6）解析幾何中的數形結合的運用問題等.

高中數學教學中，滲透“數形”思想更有實踐意義，用途更加廣泛.就以簡單的“集合”類的問題為例：實數集是R，M={x|-2≤x≤2}，N={x|<1}，那么（

瘙 綂 RM）∩N=？這個問題只需要在數軸上畫出集合M和N，再利用觀察法，問題就迎刃而解.的確，高中數學運用“數形結合”的廣度與深度要遠遠超過小學、初中階段，在高中廣闊的題海中，這種意識對于提高解題的效度與準確率大有意義.

三、高中數學教學中使用“數形結合”的主要策略

（一）“以形助數”“以形解數”

高中數學教學中，“以形助數”的主要體現有：（1）利用曲線方程解題；（2）利用“直線的斜率”；（3）利用單位圓；（4）利用“點到直線的距離”……

如，一個實踐性的應用題：教師組織10名學生進行夏令營活動，中午天氣特別熱，這10名學生就去商店買飲料，6人買了雪碧，5人買了綠茶，5人買了純凈水，其中3人既買了雪碧又買了綠茶，2人既買了綠茶又買了純凈水，3人既買了雪碧也買了純凈水，有1人三樣都買了，問：幾個人沒有要飲料？

這個問題，如果不借助于圖形的方式而求解，純粹用代數方法求解，問題復雜不言而喻.而如果通過Venn圖求解，方便快捷，可謂復雜問題簡單化，抽象問題直觀化.

再如，一些復雜的三角函數題也有必要運用“數形結合”的解題技巧.“以形助數”，可以讓三角函數的問題增強生動性和直觀性.如，已知a是銳角，則sina，a，tana的關系為：A.sina

（二）“以數助形”“以數賦形”

以數助形、以數賦形在高中數學教學中的主要體現有：（1）向量坐標計算；（2）立體幾何中空間向量坐標運算；（3）平面解析幾何.比如，立體幾何中的平行與垂直問題，建立一個直角坐標系，利用坐標計算，更能體現出解題的方便快捷.

四、運用“數形結合”思想解題時應注意的事項

使用“數形結合”解題時，應注意一下“數”和“形”的轉化：（1）幾何的運算與Venn圖；（2）函數以及圖像；（3）數列通項及求和公式的函數特征以及函數圖像；（4）直線的方程與曲線的方程（二元方程）.

如，函數y=a|x|與y=x+a的圖像有兩個公共點，求實數a的取值范圍.對于這個問題，如果從代數方面考慮，毋庸置疑難以找到解題的思路，而如果引導學生通過畫出y=a|x|與y=x+a的圖像，分別從a>0和a<0以及k=1和k=-1兩種情況作圖，就可根據所作的圖形的兩種情形而得到a的取值范圍.函數問題用作圖的方法更容易看清關系與條理，增強函數問題的直觀性和生動性.再如，Venn圖，在集合的學習中，使用最為頻繁和廣泛，如，交集、并集、補集、子集、真子集等的表示，Venn圖給人一目了然之感.

“數形結合”將數學問題用“形”表示，就如同古代詩人把抽象的情感用具體的外物來表示，使學生更容易快速找準問題的癥結所在，找到形與數的一一對應關系，從而理清題目關系，找到對癥下藥的良方.教師要讓學生養成胸中有圖，見數想圖的數學習慣，使學生終身受益.