巧用著名不等式證明4個優美不等式

董義宏

【摘要】對四個優美不等式給出了新的證明.

【關鍵詞】四個優美不等式；新證

安振平老師在《中學數學教學參考》2010年第1期中給出了26個優美不等式，在2010年第11期又給出了30個有趣的不等式，經過深思，發現4、5、6（來自文[1]）及16（來自文[2]）題都可由著名不等式簡明證出.

優美不等式4設a，b，c是正實數，則a3+b3+c3≥2a1b+c+b1c+a+c1a+babc.

證明2a1b+c+b1c+a+c1a+babc

=a22bc1b+c+b22ac1c+a+c22ab1a+b

=a22111b+11c+b22111c+11a+c22111a+11b

≤a2b+c12+b2c+a12+c2a+b12

=a2b+b2a12+b2c+c2b12+a2c+c2a12

≤a3+b312+b3+c312+a3+c312

=a3+b3+c3.

優美不等式5設x，y，z都是正實數，則（x+y）（y+z）（z+x）≥4y+z1z+x+z+x1y+zxyz.

證明4y+z1z+x+z+x1y+zxyz

=2y（y+z）2xz1z+x+2x（z+x）2yz1y+z

=2y（y+z）2111x+11z+2x（z+x）2111y+11z

≤2y（y+z）x+z12+2x（z+x）y+z12

=（x+y）（y+z）（z+x）.

優美不等式6設x，y，z為正實數，且x+y+z=3，則

xx11+yz+yy11+zx+zz11+xy≥311+xyz .

證明xx11+yz+yy11+zx+zz11+xy

=x21x+xyz+y21y+xyz+z21z+xyz

≥（x+y+z）21x+xyz+y+xyz+z+xyz

≥913（x+xyz+y+xyz+z+xyz）

=311+xyz .

優美不等式16設a，b，c為正實數，證明

a21b+b21c+c21a≥3（a2+b2+c2）.

證明a21b+b21c+c21a

≥（a2+b2+c2）21a2b+b2c+c2a

≥（a2+b2+c2）21（a+b+c）（a2+b2+c2）13

=（3（a2+b2+c2））21a+b+c

≥3（a2+b2+c2）.

用這一方法還可推出不等式：設a，b，c是正實數，則a21c+b21a+c21b≥3（a2+b2+c2）.

證明a21c+b21a+c21b≥（a2+b2+c2）21a2c+b2a+c2b

≥（a2+b2+c2）21（a+b+c）（a2+b2+c2）13

≥（3（a2+b2+c2））21a+b+c

=3（a2+b2+c2） .

【參考文獻】

[1]安振平.三十個有趣的不等式問題[J].中學數學教學參考，2010（11）：58.

[2]安振平.二十六個優美不等式[J].中學數學教學參考，2010（1）：136.