議轉(zhuǎn)化與化歸思想的幾種方法

陳偉蘭

【摘要】轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在研究、解決數(shù)學問題中，當思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式.常見的轉(zhuǎn)化方法有以下幾種類型：（1）直接轉(zhuǎn)化法；（2）換元法；（3）數(shù)形結合法；（4）等價轉(zhuǎn)化法；（5）特殊化方法.

【關鍵詞】轉(zhuǎn)化與化歸；解題；類型

一、前言

轉(zhuǎn)化就是將解法未知或者解法困難的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，使用正確的方法進行變換，將現(xiàn)有的問題轉(zhuǎn)化成我們比較容易解決的問題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學中最常用的思想.其精髓在于將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題.常見的轉(zhuǎn)化方法有：一般與特殊的轉(zhuǎn)化、等價轉(zhuǎn)化、復雜與簡單的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、構造轉(zhuǎn)化、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、類比轉(zhuǎn)化等.

轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決數(shù)學問題的根本大法，數(shù)學中的函數(shù)與方程的思想、分類討論的思想以及數(shù)形結合的思想歸根結底都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用.因此，在數(shù)學思想方法的教學過程中，以轉(zhuǎn)化與化歸這一根本思想為主軸，可以有效促進學生理解數(shù)學思想方法的進程.由于高考模式趨于成熟和題型相對穩(wěn)定，化歸思想可以使數(shù)學問題的解決變得目標明確、簡潔，起到化繁為簡、化難為易的效果，所以，在高考數(shù)學的解題中有著廣泛的應用，掌握這種思想往往能起到事半功倍的效果.下面我結合今年高考數(shù)學中的試題予以說明化歸思想的應用.

二、轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想在高考解答題中的應用舉例

（一）利用函數(shù)與方程的數(shù)學思想在函數(shù)、方程與不等式之間的轉(zhuǎn)化

例1已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0≤f（-1）=f（-2）=f（-3）≤3，則（C）.

A.c≤3B.39

解析由題意，設g（x）=x3+ax2+bx+c-m，m∈[0，3]，則g（x）的三個零點分別為x1=-3，x2=-2，x3=-1，

因此有（x+1）（x+2）（x+3）=x3+ax2+bx+c-m，則c-m=6，因此c=m+6∈（6，9].

評析本題主要考查三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，要求結合函數(shù)的圖像轉(zhuǎn)化為g（x）的零點即方程問題去解決.

變式已知奇函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（x2+x）-f（2）<0，則實數(shù)x的取值范圍為（）.

A.（-2，+∞）B.（-1，+∞）

C.（-2，1）D.（-1，2）

例2設函數(shù)f（x）=x2+x，x<0，

-x2，x≥0， 若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2].

評析本題主要考查分段函數(shù)和不等式問題，由于f（x）是與二次函數(shù)有關的分段函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像進行分析求解，就更加的直觀.

（二）利用數(shù)形結合的思想來實現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)形結合的思想其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在很多數(shù)學問題中，數(shù)量關系的抽象概念若能賦予幾何意義，往往變得直觀形象，有利于解題途徑的探求；另一方面，一些涉及圖形的問題如能化為數(shù)量關系的研究，又可以獲得簡捷而一般的解法.

例3設θ為兩個非零向量a，b的夾角，已知對任意實數(shù)t，|b+at|的最小值為（B）.

A.若θ確定，則|a|唯一確定

B.若θ確定，則|b|唯一確定

C.若|a|確定，則θ唯一確定

D.若|b|確定，則θ唯一確定

解析由向量加、減法的幾何意義，對于任意實數(shù)t，b+ta看成兩個向量的差，|b+ta|的最小值為1，即向量b的終點到a的投影長為1.只有當θ確定，則|b|唯一確定，反之若|b|確定，則θ不一定確定.

評析本題考查的是向量模與一元二次函數(shù)的最值問題，如果選擇向量減法的三角形法則會起到事半功倍的效果.

例4如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值5319.

解析過P作PP′⊥BC，交BC于P′，連接AP′，

則tanθ=PP′1AP′.設PP′=x，AP′=（20-3x）2+152，

tanθ=x1（20-3x）2+152.

當x=1253112時，tanθ有最大值5319.

評析本題主要考查立體幾何的線面角問題，與實際問題相結合，需要先把實際問題轉(zhuǎn)化為立體幾何問題，在把立體幾何問題又轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最大值問題進行求解.題目立意新穎，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想.

變式如圖所示，在棱長為5的正方體ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF=2，點Q是A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則四面體PQEF的體積（）.

A.是變量且有最大值

B.是變量且有最小值

C.是變量有最大值和最小值

D.是常量

（三）分類討論思想在轉(zhuǎn)化中的應用

分類討論思想的實質(zhì)就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異，將一個復雜的問題分成幾個簡單的問題予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多，同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體、明確分類的標準、分層別類不重復、不遺漏的分析討論.

例5已知函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.

（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對P恒成立，求ξ的取值范圍.

解析（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分別記為M（a），m（a），求M（a）-m（a），由函數(shù)f（x）=x3+3|x-a|（a∈R），得f（x）=x3+3x-3a（x≥a），

x3-3x+3a（x

3x2-3（x

（2）設b∈R，若[f（x）+b]2≤4對x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范圍，可令h（x）=f（x）+b，由[f（x）+b]2≤4，得-2≤h（x）≤2，即h（x）在x∈[-1，1]上的值域是集合[-2，2]的子集，即求h（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值，讓最大值小于等于2，最小值大于等于-2，即可求出3a+b的取值范圍，結合（1）分a≤-1，-1

評析本題主要考查了函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題等基礎知識是一道綜合性很強的壓軸題.但是該題起點低易入手，只要抓住兩個常規(guī)的討論（去絕對值和a與區(qū)間的討論）問題就迎刃而解，其實分類討論就是把未知轉(zhuǎn)化為已知的過程，只要搞清楚為什么討論和怎么討論就可以了.

三、結束語

轉(zhuǎn)化與化歸思想不僅僅體現(xiàn)在以上三大基本解題思想中，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化還有其他途徑：空間向平面的轉(zhuǎn)化、常量與變量的轉(zhuǎn)化、一般與特殊的轉(zhuǎn)化等.

數(shù)學思想方法的形成比知識的理解和掌握慢，難度大.一種思想的形成必須與學生的認知水平相結合，化歸思想的培養(yǎng)應與知識教學一樣，經(jīng)過反復孕育、初步形成、應用發(fā)展三個階段，結合不同階段的知識教學.因此，在平時的教學過程中有意識地反復孕育同一數(shù)學思想顯得尤其重要，以期收到潛移默化、水到渠成的功效.

總而言之，轉(zhuǎn)化與化歸的思想有著多樣化和靈活性的特點，不會提供可以遵循的統(tǒng)一模式.熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎；豐富的聯(lián)想、細微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；提高自己的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習題的總結和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系.

“抓基礎，重轉(zhuǎn)化”是學好高中數(shù)學的金鑰匙.所以，在學習高中數(shù)學的過程中，熟悉轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，來達到可以熟練運用數(shù)學變換的方法靈活解決有關的數(shù)學問題，對提高我們對數(shù)學問題的技能和應變能力，是十分有必要的.