談談空間想象能力的培養

蘇文祥

摘要 空間想象能力是中學數學傳統三大能力之一，高中的立體幾何課程是培養學生空間想象能力的重要栽體。現行的課程標準教材在內容編排順序、教學要求等方面做很大的改變，但課程對空間想象能力的培養要求并沒有降低，課標強調通過對幾何圖形、幾何體的觀察、直觀感知、操作確認、實驗推演、分析歸納來培養學生的空間想象能力。本文在空間幾何的直觀操作的層面給出了作者的經驗做法，為培養學生空間想象能力展示了一種可操作的實踐方法。

關鍵詞 教學 幾何直觀 空間想象能力 培養數學能力

三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形、發展幾何直觀能力、發展空間想象能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力是高中階段數學課程的基本要求。本文探討在高中立體幾何教學中培養學生的空間想象能力問題。

1空間想象能力的概述

空間想象能力是中學數學傳統三大能力之一，歷來受到教師和學生的重視。空間想象能力是指通過觀察、觸摸，以及實踐經驗得到的一種能思考物體形狀、位置的能力，是對空間圖形的觀察、分析、抽象的能力，主要表現為識圖、畫圖和對圖形的想象能力。具體來說，就是通過觀察研究所給圖形，能迅速合理地把握它的基本幾何元素及它們之間的相互關系，能將文字語言和符號語言按照畫法規則繪制出相應的空間圖形，從而轉化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形或對圖形進行分割、補全、折疊、展開、整合等各種變化，能從復雜的圖形中區分出基本圖形，甚至在無圖的情況下根據條件想象出空間圖形的直觀形象并進行基本圖形的識記、再現和思考。

2高中立體幾何內容的分析

2.1高中立體幾何內容呈現的特點

高中原立體幾何教材是從點、直線和面開始，講述平面及其基本性質、幾何元素的位置關系和相關的公理、定理和性質，再研究由他們組成的幾何體，是按照從局部到整體的思路安排的，特點是邏輯關系嚴謹。但這種安排被認為是有悖于學生的認知規律，造成高中立體幾何難學?，F行的課標教材則打破這種邏輯安排，先從對空間幾何體的整體感受入手認識常見的幾何體，如柱、錐、臺、球等，或者更細化的長方體、四面彈等，然后再研究組成空間幾何體的點、直線和平面。

2.2高中立體幾何的教學安排

高中立體幾何教學分三步。第一步，必修課程中數學2的“立體幾何初步”，主要通過直觀感知、操作確認，獲得空間幾何圖形的性質，并通過簡單的推理發現、論證一些幾何性質；第二步，選修系列2中的“空間向量與立體幾何”（理科要求），這是對于立體幾何初步的進一步提升，借助空間向量處理立體幾何中的位置關系、數量關系等；第三步，選修3系列和選修4系列，如選修4-1的“幾何證明選講”等，但由于高考對選修系列3不作要求，所以在中學數學教學中并非所有的學校都能夠完全開出此類選修課程，不能不說是一個遺憾。

2.3高中立體幾何學習的分層

新課程標準降低了幾何證明的要求，且對證明的要求也是逐步分層提高的：

層次1：必修2中的“立體幾何初步”對幾何體的認識，依賴學生的直觀感受，不作任何的推理要求；

層次2：以長方體為載體、其他幾何體的實物模型、生活中的實際例子，對照此圖形或者模型進行觀察、操作實驗和說理，引入合情推理；

層次3：嚴格的推理證明，如證明線面平行、線面垂直的性質定理和判定定理等。

層次4：在選修2-1的“空間向量和立體幾何”引入向量坐標，用空間向量處理空間中角問題和距離問題，使幾何問題代數化，使幾何問題的處理多了一種方法，對立體幾何的認識也多了一個視角。

對于立體幾何的學習，為了達到各個層次的要求與目標，課程標準也給出了基本方法：通過對幾何圖形、幾何體的觀察、直觀感知、操作確認、實驗推演、分析歸納出相應層次的結論，即相關的幾何性質定理。

3高中立體幾何的教學策略

3.1立體幾何教學應遵循學生的認知規律

教師在立體幾何教學中要遵循“直觀感知-操作確認-思辨論證-度量計算”的規律，設計相關的教學活動，充分利用觀察、思考、探究等教學過程展開學習研究活動。比如，可以以長方體作為直觀載體學習空間幾何元素的位置關系，按照觀察、操作確認，用精確的語言進行描述，再將判定定理、性質定理進行嚴格的論證，然后對相關的幾何度量進行計算等。

通過觀察、思考、探究等教學環節，讓學生在學習的過程中發揮自主探索精神，認識和掌握空間圖形的性質，積累數學活動經驗，發展空間觀念和推理能力、空間想象能力。

3.2立體幾何教學要突出幾何直覺

立體幾何教學強調幾何直覺，就是把空間觀念的建立和對空間想象能力的培養置于突出的位置。圖形的直觀，不僅為學生感受、理解抽象的數學概念提供了有力支撐，而且有助于培養學生的合情推理和演繹推理的能力。

無論是空間幾何體的結構，還是他們的三視圖、直觀圖、表面積、體積，都涉及大量的空間圖形、平面圖形，以及他們之間的相互轉化。沒有這些圖形的直觀演示而讓學生憑空掌握理解是不現實的，必須突出學生的幾何直覺。因此教師要積極引導學生從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形，再以長方體為載體，直觀認識空間元素的位置關系，抽象出概念，用數學語言表述性質與判定。

3.3立體幾何教學要適當使用信息技術

在立體幾何教學中，利用信息技術工具，可以幫助學生建立空間觀念，提高學生的空間想象能力和幾何直觀能力。比如展示豐富的實物圖片，讓學生抽象出幾何體的及其結構特征；或者態展示空間幾何體，這樣能很好地幫助學生認識立體幾何圖形與平面幾何圖形的關系。因此，應該適當使用信息技術，幫助學生學習立體幾何的內容。

4空間圖形的直觀操作舉例

因為空間想象能力涉及這些復雜的認知、操作、推理過程，所以盡管學生從小學開始接觸空間圖形，但到了高中階段，還是有一部分學生的空間想象能力不夠強。筆者認為在模塊“立體幾何初步”的授課中，借助一些經典的題目，對提高學生的空間想象能力有一定的幫助。

4.1把空間圖形倒過來

筆者教數學必修2模塊“立體幾何初步”時，在開始階段總拿一小題目來做一個測試。

題目1：正方體ABCD-A1B1C1D1如圖1，請學生想象一下，（1）過A1、D1、C、B四點“切一刀”，切下來的下半部分是什么形狀？（2）如果接著再過D1、D、B三點“切一刀”，切出來的兩個部分各是什么形狀？

想象不出“第一刀”結果的學生，在往后的立體幾何學習過程中表現出困難重重；而能迅速準確答對“第二刀”所得到的兩個多面體的形狀的學生，就是那些在往后的學習中表現出良好的空間想象能力的學生。所以這個小測驗往往成為了解學生空間想象能力比較有效的依據。筆者教的2014級有一個學生就是一個經不起“第一刀”的學生，小測試過后他來訴苦：老師，我看那些圖都是平面的，怎么也“立”不起來；我好像完全沒有空間想象能力啊！但當他站在我面前看到我備課本上圖形時驚呼：圖形現在會“立”起來了！他是站在我的對面與我相向的，我意識到這可能是因為有些人更容易“看懂”視線是從左往右看的圖形（圖2）中的空間關系。這件事使我想起自己念小學時遇到鏡面反射成像與鐘面指時關系的問題，每當難確定鏡像中的時間讀數時，就把頁面翻過來看就解決問題了（如果頁面能夠透光的話）。也許對一部分學生來說，學習立體幾何也需要這種“倒過來”看的竅門。

4.2把不動的變成動的

立體幾何中的一些幾何體本身就是通過運動產生的，如球、圓錐、圓臺、圓柱等，課本在描述圓錐、圓臺、圓柱之間的關系時也是通過運動的方式來串通的。讓學生把握好空間幾何中的元素的運動來研究它們的關系，能培養學生的空間想象能力，現舉一例。

題目2：過△ABC所在平面a外一點P，作OP⊥a，垂足為O，連接PA、PB、PC。

（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的_點；

（2）若PA=PB=PC，則點O是△ABC的_心。

這是在人教A版高中數學必修2模塊第67頁的練習2的一部分。學習了圓錐的概念學生就知道，除了通過直角三角形繞一直角邊旋轉得到圓錐外，也可以過一個圓的圓心作這個圓面的垂直線，垂足為P，點P沿著垂線在平面的其中一側作遠離平面的運動，此時點P與圓周上的點連接，就能得到一個圓錐，這些連接的線段就是圓錐的母線。由本題中的（1）、（2）的條件PA=PB=PC可知PA、PB、PC可以看作圓錐的母線，結合其余條件，就可以輕易解決這兩個問題。這個解題過程充分運用了運動的思想，學生一旦掌握這種處理問題的方法，有助于提升他們的空間想象能力，讓他們解決這類問題表現出良好的空間想象能力。

4.3把空間圖形切開來

學習立體幾何，學生都懂得要把立體圖形問題轉化為平面圖形的問題來解決。但這個轉化對一部分學生來說，會因為空間想象能力不夠強而變得無法完成，他們的難點是不知道如何“操作”實現轉化。也許，學生比較熟悉把立體圖形各個面展開，或者在立體圖形的表面、內部畫輔助線，但其它方面的操作顯得無從下手。如果老師在適當時候給予他們點撥，有助于培養他們的空間想象能力。

題目3：如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點，則P到各頂點距離的不同取值有（ ）

A.6個 B.5個 C.4個 D.3個

題目本身不是很難，比較常見的方法是定量計算點P到各個頂點的距離，這里的困難是如何確定點P的坐標，只要取適當的棱長，經過幾步簡單運算，可以容易得到B選項為正確答案。如果教師僅這樣處理這道題目的教學本無可厚非，但卻失去了一次培養學生空間想象能力的機會。

這道題能否不通過計算來解決呢？答案是肯定的。首先引導學生把點P和其它的8個頂點“放到”某些平面內，怎么放？繼續引導——點P在對角線BD1上，現在把問題轉化為把對角線BD。和其它的8個頂點“放到”某些平面內。這就來到了解決問題的關鍵的地方，原來點P和其它的8個頂點可以確定的平面太多，現在對角線BD1和其它的8個頂點確定的平面只有3個，并且只需3個過對角線BD1平面就可以把8個頂點都包含了。進一步引導學生找出這3個平面，容易找到它們（圖4）分別是平面ABC1D1、平面BCD1A1、平面BB1D1D。如果設正方體的棱長為1，則它們是全等的以1、2為鄰邊的矩形，由此容易知道PA=PC=PB1，PD=PA1=PC1，另外還有兩種距離PB和PD1，故B選項為正確答案。這里解決幾何體的“內部”問題用的具體操作方法是過對角線BD1把幾何體切開，突破學生空間想象能力提升的瓶頸。

4.4把圖形放在大環境中

空間想象能力比較高層次的體現是對空間圖形添加輔助圖形或對圖形進行分割、補全、折疊、展開、整合等各種變化，能從復雜的圖形中區分出基本圖形，甚至在無圖的情況下根據條件想象出空間圖形的直觀形象并進行基本圖形的識記、再現和思考。

題目4：同題目3。

要把空間圖形放在某個大環境中考察，跳出問題去研究問題會得到不同的解決問題的途徑。前提是要我們對空間圖形的基本圖形、基本圖形內部的點線、點面、線線、線面、面面的位置關系非常熟悉。在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線BD1交平面AB1C于點P、交平面A1C1D于點Q，由以前所學的知識容易知道，BD1是平面ABIC、平面A1C1D的垂線，P、Q是對角線BD1的三等分點，P、Q也分別是△AB1C、△A1C1D的外接圓圓心，顯然PA=PC=PB1，PD=PA1=PC1，另外線段PB和PD1不等，并且兩者均與以上距離不等。

一般來說，結合學生的實際情況、教學的具體環境，借助合適的情景、問題來發展學生各種能力。本文的幾個案例遠遠稱不上是解決問題的有效方法，僅僅是筆者的些許經驗而已，期盼拋磚引玉，得到大家的指導。