非平穩(wěn)信道下極化碼的評(píng)估

達(dá)芳+方勇

摘 要： 極化碼是基于信道極化現(xiàn)象的一種新的信道編碼方法。直到現(xiàn)在，許多研究極化碼的學(xué)者仍致力于在平穩(wěn)信道下對(duì)極化碼進(jìn)行應(yīng)用研究。在此，主要研究將極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道，此研究需要利用蒙特卡洛方法來(lái)進(jìn)行。將一個(gè)特殊二進(jìn)制對(duì)稱信道（BSC）的交叉概率的變化視為服從正弦函數(shù)分布。根據(jù)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道下時(shí)，仍然存在信道極化現(xiàn)象，但是其極化現(xiàn)象并沒(méi)有像極化碼應(yīng)用于平穩(wěn)信道那樣的顯著。

關(guān)鍵詞： 信道極化； 極化碼； 非平穩(wěn)信道； 蒙特卡洛方法

中圖分類號(hào)： TN711?34； TN911.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）14?0001?04

Abstract： The polarization code is a new channel coding method based on the phenomenon of channel polarization. Up to now， most of researches on polarization code are devoted to the applications of polarization codes in stationary channels. In this paper， the research on polarization codes is applied to nonstationary channels， in which Monte Carlo method should be used for it. The variation of crossover probability of the special binary symmetric channel （BSC） is regarded as the sine function distribution. According to numerous experimental results， it is found that the phenomenon of channel polarization still exists when polarization codes are applied to nonstationary channels， but the polarization phenomenon is not so obvious as that when polarization codes are applied to stationary channels.

Keywords： channel polarization； polarization code； nonstationary channel； Monte Carlo method

0 引 言

在通信理論中，傳統(tǒng)的編碼問(wèn)題可以被分為兩大類，即信道編碼與信源編碼。信道編碼，可以提高信號(hào)傳輸?shù)目煽啃裕@對(duì)于信息論領(lǐng)域來(lái)說(shuō)是十分重要的[1]。信道碼可以大致分為隨機(jī)碼和結(jié)構(gòu)碼。Turbo碼 [2]和低密度奇偶校驗(yàn)碼[3]（LDPC）是兩種代表性的隨機(jī)碼，并長(zhǎng)時(shí)間對(duì)結(jié)構(gòu)碼造成壓倒性的優(yōu)勢(shì)。然而在2008年，E.Arikan提出一種新的構(gòu)造碼：極化碼，并且證明了它可以近乎達(dá)到香農(nóng)極限[4]。從那時(shí)起，極化碼和其他構(gòu)造碼又重新成為了熱門話題。自從極化碼的出現(xiàn)，一些學(xué)者將極化碼應(yīng)用于聯(lián)合信源信道編碼[5]，分布式信源編碼[6]和級(jí)聯(lián)極化碼[7]。盡管Arikan提出了利用計(jì)巴氏系數(shù)來(lái)進(jìn)行遞歸計(jì)算[4]，但是它的應(yīng)用范圍是非常狹窄的。在2010年，Mori將極化碼由二維信道拓展到了多維信道[8]，這使得極化碼有了更廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。然而，研究學(xué)者們主要將注意力集中在了平穩(wěn)信道下的極化碼。事實(shí)上，非平穩(wěn)信道則是更常見(jiàn)的，因其信道特性是不穩(wěn)定的甚至是波動(dòng)的。自然，會(huì)猜想在非平穩(wěn)信道下，極化現(xiàn)象是否還能存在，這顯然是一個(gè)極具意義的挑戰(zhàn)。因?yàn)榉瞧椒€(wěn)信道在人類社會(huì)生活中更加普遍并且難以規(guī)律掌控，研究在非平穩(wěn)信道下的極化碼有利于今后極化碼更普遍地應(yīng)用于生活多方面。通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道時(shí)，確實(shí)存在信道極化現(xiàn)象。本文主要給出實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)說(shuō)明，對(duì)極化碼譯碼做出改進(jìn)，對(duì)信道容量計(jì)算方法進(jìn)行改進(jìn)。

1 背景回顧

1.1 信道極化

信道組合過(guò)程與信道拆分過(guò)程是基于鏈?zhǔn)椒▌t的[1]。信道組合過(guò)程是通過(guò)特定的方法將N個(gè)二進(jìn)制離散無(wú)記憶信道（B?DMC）W整合為一個(gè)獨(dú)立的N維矢量信道。信道拆分過(guò)程是將組合的矢量信道拆分為一組相關(guān)的N個(gè)信道。根據(jù)這個(gè)原理，E.Arikan提出一種構(gòu)造信道極化使用方法，此方法正是由信道組合與信道拆分組成，并且在信道容量方面可以達(dá)到無(wú)損。

1.2 極化碼

極化現(xiàn)象是用來(lái)構(gòu)造極化碼從而可以達(dá)到對(duì)稱信道容量I（W）。極化碼的編碼原理是建立一個(gè)系統(tǒng)通過(guò)分離的信道來(lái)分別傳遞每一個(gè)二進(jìn)制輸入。然而，只有接近于1的信道來(lái)傳遞有用的信息。

每一個(gè)二進(jìn)制輸入向量都將編碼為碼字。再將碼字送入一組非平穩(wěn)信道，其交叉概率為。在極化碼譯碼過(guò)程中，將改變4個(gè)不同的參數(shù)來(lái)觀察其極化現(xiàn)象。連續(xù)刪除譯碼（SC）器是利用和來(lái)得到的估計(jì)。如果，意味著發(fā)生了譯碼錯(cuò)誤。在估計(jì)完成后，誤碼率（BER）可以被計(jì)算出來(lái)。

2 非平穩(wěn)信道下的極化碼譯碼

2.1 非平穩(wěn)對(duì)稱信道

如圖1所示，兩種概率將被進(jìn)行測(cè)試，N?1 024和N?4 096），重復(fù)次數(shù)設(shè)置為1 024次。非平穩(wěn)信道BSC的信道容量可以由平穩(wěn)信道BSC推出：

式中，為每個(gè)符號(hào)的誤碼率。

實(shí)驗(yàn)步驟總結(jié)如下：

（1） 隨機(jī)生成信源序列。

（2） 編碼為碼字，將碼字送入非平穩(wěn)信道BSC，其交叉概率為。

（3） 利用SC算法來(lái)譯碼得到輸出。與通常的極化碼譯碼算法的不同之處是估計(jì)時(shí)假設(shè)均是已知的。

（4） 對(duì)估計(jì)進(jìn)行多次試驗(yàn)，目的是通過(guò)比較與來(lái)得到誤碼率。根據(jù)BER，利用式（1）來(lái)計(jì)算非平穩(wěn)信道下的信道容量。這種方法稱為蒙特卡洛方法。

2.2 實(shí)驗(yàn)方法

蒙特卡洛方法也稱為隨機(jī)仿真方法，根據(jù)重復(fù)隨機(jī)抽樣來(lái)得到數(shù)值結(jié)果。眾所周知，對(duì)于普遍的B?DMC信道，是沒(méi)有有效的算法來(lái)計(jì)算的。因此，蒙特卡洛方法則被認(rèn)為是一種最合適的方法。設(shè)送入似然比（LR）遞歸第一層的值為初始參數(shù)，將蒙特卡洛方法應(yīng)用于非平穩(wěn)信道是為了獲得BER，然而，由于不同的初始參數(shù)，BER的值可能會(huì)不同。初始參數(shù)的值分別設(shè)定為，其中。

SC譯碼器由N個(gè)決策元素（DEs）組成，其決策元素是從1～N進(jìn)行激活的。LR遞歸的計(jì)算也是從1～N進(jìn)行的，易得出。當(dāng)給定原始值與不同概率值時(shí)，該決策將會(huì)定義為：

3 非平穩(wěn)信道下極化碼的應(yīng)用

信道極化現(xiàn)象是一部分信道容量趨近于1而另一部分趨近于0。當(dāng)塊的長(zhǎng)度增大時(shí)，信道極化現(xiàn)象越明顯。在此，需要提前做一些準(zhǔn)備工作。表示隨機(jī)變量概率密度函數(shù)，則的熵定義為。BSC的信息容量為。緊接著，需要計(jì)算每個(gè)參數(shù)的熵值與信息容量值。對(duì)于，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

對(duì)于，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

3.1 平穩(wěn)信道下碼的性能

BEC信道下的極化現(xiàn)象如圖2（a）所示，其刪除概率，所有的可以通過(guò)式（4）計(jì)算得出[3]。由于有效的遞歸使得BEC是一個(gè)很合適的信道來(lái)構(gòu)造極化碼，但其遞歸公式只適用于BEC。本文實(shí)驗(yàn)中，的遞歸計(jì)算公式如下：

由于在BSC信道下沒(méi)有有效的算法，因此在BSC信道下選用蒙特卡洛方法來(lái)構(gòu)造極化碼，如圖2（b）所示。

3.2 非平穩(wěn)信道下碼的性能

將非平穩(wěn)信道設(shè)置為BSC而不是BEC，是因?yàn)樽兓慕徊娓怕试谶f歸關(guān)系中并不適用。已知BEC信道存在遞歸關(guān)系來(lái)構(gòu)造極化碼，因此將非平穩(wěn)信道設(shè)置為BSC，且利用蒙特卡洛隨機(jī)仿真方法來(lái)構(gòu)造非平穩(wěn)信道下的極化碼是正確的。如圖3、圖4所示，在非平穩(wěn)BSC下，極化現(xiàn)象仍然存在。值得注意的是在不同的信道或不同的碼字長(zhǎng)度下，極化圖像均是不同的。從圖2與圖3中可以看出在平穩(wěn)信道下的極化現(xiàn)象比在非平穩(wěn)信道下的極化現(xiàn)象更加顯著。從圖像的角度出發(fā)，平穩(wěn)信道中大量的點(diǎn)都趨近于0或1，中間的點(diǎn)較少，即極化程度比非平穩(wěn)信道下較高。

4 實(shí)驗(yàn)比較

比較BEC與非平穩(wěn)信道下極化碼的構(gòu)造情況，在非平穩(wěn)BSC下，對(duì)于較小的值，更趨近于0，對(duì)于較大的值，更趨近于1，這一點(diǎn)與在BEC信道下是相同的。對(duì)處于中間值的，的值是振蕩的，并且在非平穩(wěn)信道下，中間點(diǎn)的值更加擴(kuò)散，點(diǎn)數(shù)目也更多。另外，BEC信道下極化圖像是中心對(duì)稱的，而非平穩(wěn)信道下的極化圖像并無(wú)此特征，但平穩(wěn)信道BSC下的極化圖像也無(wú)此特征，這是由于BSC信道特征采取的不同方法所決定的。

同樣，對(duì)比平穩(wěn)BSC信道與非平穩(wěn)BSC信道，圖2與圖3有許多相同之處，原因是他們運(yùn)用相同的處理方法。但是平穩(wěn)BSC信道極化現(xiàn)象仍然比非平穩(wěn)信道顯著。非平穩(wěn)信道下的點(diǎn)更加散亂。由于不同信道下的處理方法不同，會(huì)導(dǎo)致極化碼信道容量不同，則最后極化現(xiàn)象就會(huì)有差別。在BEC信道下，極化碼的構(gòu)造是通過(guò)嚴(yán)格的遞歸公式，而B(niǎo)SC信道下是利用不斷隨機(jī)仿真試驗(yàn)來(lái)獲得BER，從而計(jì)算信道容量。根據(jù)圖3～圖5，可以計(jì)算出信道容量所占區(qū)間的比率，容量趨近于1與趨近于0的結(jié)果如表3～表5所示。

表3～表5可以作為一種在非平穩(wěn)信道下的極化現(xiàn)象的評(píng)估指標(biāo)，可以根據(jù)其容量比率來(lái)判斷極化程度。極化碼出現(xiàn)的一個(gè)重大意義是利用其無(wú)損信道來(lái)傳輸有用信息，因此，評(píng)估極化性能時(shí)會(huì)根據(jù)這一指標(biāo)進(jìn)行。如結(jié)果所示，不同的初始參數(shù)也會(huì)導(dǎo)致不同程度的極化現(xiàn)象，當(dāng)交叉概率越大，圖像中更多的點(diǎn)趨近于0，反之，則更趨近于1。

在實(shí)驗(yàn)中，4個(gè)初始參數(shù)作為L(zhǎng)R第一層迭代所需的參數(shù)，根據(jù)表格易得，當(dāng)初始參數(shù)為和時(shí)，具有相似的結(jié)果，更重要的是，在初始參數(shù)為和時(shí)，極化現(xiàn)象更加規(guī)則、明顯。再比較圖3與圖5，當(dāng)N越大時(shí)，極化現(xiàn)象越明顯，這與文獻(xiàn)[4]具有相同的結(jié)論。

5 結(jié) 語(yǔ)

在現(xiàn)實(shí)生活中的信道通常是非平穩(wěn)的，而極化碼的基本原則意味著極化碼應(yīng)當(dāng)可以被應(yīng)用于各種信道。本文就是基于這一點(diǎn)來(lái)展開(kāi)的。總體來(lái)說(shuō)，能得出結(jié)論極化碼與極化現(xiàn)象在非平穩(wěn)信道下是可行的。本文利用實(shí)驗(yàn)證明了極化現(xiàn)象在非平穩(wěn)信道下是仍然存在的，只是極化現(xiàn)象并沒(méi)有在平穩(wěn)信道下那樣顯著。另外，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明了當(dāng)極化碼應(yīng)用于非平穩(wěn)信道時(shí)，可以通過(guò)改變修正譯碼參數(shù)來(lái)提高信道極化程度。在此之后，極化碼在非平穩(wěn)信道下的一些其他研究工作可以更加順利的展開(kāi)。

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